20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1.1 集合（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲
集合
一.集合的基本概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性：
确定性、互异性、无序性．
3、元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
4、集合的表示常见的有四种方法．
（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.
（4）Venn图法
5、常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
C
6、集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集
：不含任何元素的集合
7、若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为
二、集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
（或）
空集
任意一个集合的子集，是任何非空集的真子集
，
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
三、集合的基本运算及其性质
（1）并集：.
（2）交集：.
（3）全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示．21教育网
（4）补集：，为全集，表示相对于全集的补集.
（5）集合的运算性质
①;
②;
③;
④
考向一
点集
【例1】（1）已知集合，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以.故选D．
（2）设全集，，则图中阴影部分表示的集合是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．{1，3，5}
B．{1，5，6}
C．{6，9}
D．{1，5}
【答案】D
【解析】∵，，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，
故选D．
【举一反三】
1、已知全集，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；
又，故B错误；，故C错误；，故D正确，故选D.
2、已知全集，集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，所以，选C.
考向二
与不等式相关的集合
【例2】（1）若集合A={x|-23},则A∩B=(　　)
A.{x|-2B.{x|-2C.{x|-1D.{x|1（2）已知R是实数集,M=,N={y|y=},则N∩(?RM)=(　　)
A.(1,2)
B.[0,2]
C.?
D.[1,2]
（3）已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________．
【答案】(1)A
(2)B
(3){x|0≤x<6}
【解析】(1)A∩B={x|-2(2)∵M=={x|x<0或x>2},∴?RM={x|0≤x≤2}.又N={y|y=}={y|y≥0},
∴N∩(?RM)={y|y≥0}∩{x|0≤x≤2}=[0,+∞)∩[0,2]=[0,2],故选B.21·世纪
教育网
(3)由x2－5x－6<0，解得－1由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(?UB)∩A，
因为?UB＝{x|x≥0}，所以(?UB)∩A＝{x|0≤x<6}．
【举一反三】
1、已知集合,,则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
∴，∴．故选C．
2、已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】选B.
3、已知全集，，，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得或，
.故选：C
4、已知全集，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，选B.
考向三
与函数有关的集合
【例3】（1）已知集合A={x|0（2）已知集合A={x|y=},B={x|y=ln(1-x)},则A∪B=(　　)
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(-∞,1]
D.(-∞,1)
【答案】(1)（1,2]
(2)C
【解析】(1)∵0∴A={x|1(2)∵A={x|y=}={x|x(1-x)≥0}=[0,1],B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}=(-∞,1),∴A∪B=(-∞,1].故选C.21世纪教育网版权所有
【举一反三】
1.设函数的定义域，函数的定义域为,则
A.（1,2）
B.
C.（-2,1）
D.[-2,1)
【答案】D
【解析】由得，由得，故，选D.
2.设集合
则=（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】，，则，选C.
3.设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由，，
所以，故答案选.
考向四
利用集合求参数
【例4】
设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且，则（
）www-2-1-cnjy-com
A．k＜0
B．k＜2
C．0＜k＜2
D．?1＜k＜2
【答案】C
【解析】∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴＝{x|1＜x＜3}．
∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k≤0，∴当时，0＜k＜2，故选C．
【举一反三】
1.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为　　　　　.?
【答案】1
【解析】由已知得1∈B,2?B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.
2.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,则实数a-b的取值范围是　　　　　　　　.?
【答案】(-∞,-2]
【解析】集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].
因为A?B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
3.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1【答案】(-∞,4]
【解析】当B=时,有m+1≥2m-1,可得m≤2.
当B≠时,若B?A,如图,
则解得2综上,m的取值范围为(-∞,4].
4.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则实数m＝________.
【答案】－
【解析】当m＋2＝3时，m＝1，此时2m2＋m＝3，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当2m2＋m＝3时，m＝1或m＝－，m＝1舍去，综上，m＝－.
考向五
子集个数
【例5】（1）集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是________．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0【答案】(1)7
(2)4
【解析】(1)A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，∴真子集有7个．
(2)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
【举一反三】
1.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．
【答案】3
【解析】当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3.21cnjy.com
2.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
【答案】0或
【解析】若a＝0，则A＝，符合题意；若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
综上，a的值为0或.
3．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为________．
【答案】4
【解析】因为x∈Z，∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.www.21-cn-jy.com
考向六
新概念集合
【例6】对于任意两集合A，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)B，定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，A
B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A
B＝______________.2-1-c-n-j-y
【答案】[－3,0)∪(3，＋∞)
【解析】由题意知，A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，A
B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞)．
【举一反三】
1.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“
”：A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A
B中的所有元素数字之和为________．【来源：21cnj
y.co
m】
【答案】21
【解析】由x2－2x－3≤0，x∈
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)N，得(x＋1)(x－3)≤0，x∈N，得A＝{0,1,2,3}．因为A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A
B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A
B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A
B中的所有元素数字之和为21.
2.用C(A)表示非空集合A中元素
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)的个数，定义A
B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A
B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)＝________.
【答案】　3
【解析】因为C(A)＝2，A
B＝1，所以C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±2时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－2或a>2时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－21.设集合，，则
A．[?4，
?3)
B．[?9，
?3)
C．[?4，
?3)∪[1，
9]
D．[?9，
?3)∪[l，
4]
【答案】C
【解析】∵
所以选C．
2.已知集合A={x|x2-4x+3≥0},B={x∈N|-1≤x≤5},则A∩B=(　　)
A.{3,4,5}
B.{0,1,4,5}C.{1,3,4,5}
D.{0,1,3,4,5}
【答案】D
【解析】由题意得A={x|x≤1或x≥3},B={0,1,2,3,4,5},所以A∩B={0,1,3,4,5},故选D.
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(　　)【版权所有：21教育】
A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】B
【解析】A表示圆x2+y2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点,故A∩B中有2个元素.21
cnjy
com
4.已知集合，，若，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【解析】
而，所以，因此集合
，所以，因此本题选C.
5．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题正确选项：
6．设集合，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合A：，，，
故集合，集合B：，，故集合，
，故选C。
7．已知，，则　　
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，，，
，则；故选：D．
8．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得：，又，.故选:C.
9．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，即
图中阴影部分表示的集合为：又
本题正确选项：
10．已知集合,,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，根据对数函数的性质，可得集合,
根据指数函数的性质，可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)集合,以，故选A。
11.已知全集，则图中阴影部分表示的集合是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求解分式不等式可得，
求解指数不等式可得，
由文氏图可得题中表示的集合为，
易知，故.本题选择C选项.
12．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，，所以.故选B
13．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（　　）
A．[﹣1，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．（2，3]
D．（1，3）
【答案】A
【解析】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，
N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．
14．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，所以.故选D
15．已知集合，，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】集合，，若，则a>2.故答案为：D.
16．已知集合，，则　　
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得：，则集合，
A、，故本选项错误．B、，故本选项错误．
C、，故本选项错误．D、，故本选项正确．故选：D．
17．若集合（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】N＝{0，1，2，3，4}，?RM＝{x|x≤1}；∴（?RM）∩N＝{0，1}．故选：B．
18．己知集合则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】本题正确选项：
19．设m为实数，若，则m的最大值是____．
【答案】
【解析】设，，
显然点集表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，
点集是二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
作图可知，边界交圆于点，
边界恒过原点，
要求的最大值，故直线必须单调递减，
因为，
所以当过图中B点时，取得最大，
联立方程组，解得，
故，即。
20.已知集合A＝{2＋，a}，B＝{－1,1,3}，且A?B，则实数a的值是________．
【答案】1
【解析】易知a>0.当a＝1时，A＝{1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?),3}，B＝{－1,1,3}，满足题意；当a＝3时，A＝{3,2＋}，B＝{－1,1,3}，不满足题意．所以实数a的值为1.2·1·c·n·j·y
21.已知集合A＝{x|x2－2
020x＋2
019<0}，B＝{x|x【答案】[2
019，＋∞)
【解析】由x2－2
020x＋2
019<0，解得1019，
故A＝{x|1019}．又B＝{x|x019.
22.已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{y|y＝2－x＋a}，若A?B，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】A＝[0,1]，B＝(a，＋∞)，由A?B得a<0.
23.已知集合A＝{x|－1【答案】(－∞，1]
【解析】当m≤0时，B＝?，显然B?A.
当m>0时，因为A＝{x|－1所以所以024.已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，则a＝________.
【答案】－1
【解析】若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴a＝－1，
若a2＝a，则a＝0或a＝1，由以上知不符合．综上，a＝－1.
25.若集合A＝{x|(x＋1)2<－3x＋7，x∈Z}，则A中元素个数为________．
【答案】　6
【解析】由(x＋1)2<－3x＋7得x2＋5x－6<0，∴－626.集合M＝，N＝，则集合M，N的关系为________．(填序号)
①M∩N＝?；②M＝N；③M?N；④N?M.
【答案】　④
【解析】由题意，对于集合M，当n为偶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)；当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N?M.【来源：21·世纪·教育·网】
【套路秘籍】---千里之行始于足下
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
【套路总结】
解答集合题目基本套路
1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解
2.一般地，集合元素离散型时用Venn图表示；集合元素连续时（即为不等式形式）用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)