20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1.2 逻辑用语及充分必要条件（解析版）

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第2讲
逻辑用语及充分必要条件
一、命题及其关系
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．21·世纪
教育网
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
二．充分条件、必要条件
一般地，如果p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q，且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q，且q?p
p是q的充要条件
p?q
A=B
p是q的既不充分又不必要条件
p?q，且q?p
A?B且A?B
三．逻辑连接词
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“?”表示．21教育网
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“?”表示．21·cn·jy·com
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x∈M，
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x∈M，
考向一
命题及其关系
【例1】（1）命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若x≥1且x≤－1，则x2>1
C．若－1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
（2）在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
（3）已知命题“若，则”的逆命题是真命题，则m的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】(1)D
(2)3
(3)D
【解析】由“若p，则q”的逆否命题为“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若綈q，则綈p”，得“若x2<1，则－1(2)原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.
(3)命题的逆命题为：若，则成立，
则得，得，即实数m的取值范围是，故选：D．
【举一反三】
1．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)2·1·c·n·j·y
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
【答案】B　
【解析】先证原命题为真：当z1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选B.www-2-1-cnjy-com
2．以下四个命题中是真命题的有________(填序号)．
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
【答案】　①②
【解析】对于①，命题“若xy＝1，则x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于③，命题“若A∩B＝B，则A?B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②.www.21-cn-jy.com
考向二
充分条件、必要条件
【例2】(1)设x∈R，则“2x>2”是“<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【来源：21cnj
y.co
m】
（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围
．【出处：21教育名师】
【答案】（1）充分不必要
（2）[0,3]
【解析】（1）解不等式2x>2，得x>1；不等式<1，即为>0，解得x>1或x<0.
∵{x|x>1}?{x|x>1或x<0}，∴“2x>2”是“<1”的充分不必要条件．
（2）由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]
【举一反三】
1.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则是的____________条件．
【答案】充分不必要
【解析】由5x－6>x2，得2所以是的充分不必要条件．
2.设p：|2x＋1|0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
【答案】(0,2]
【解析】由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，又m>0，∴≤，∴03.设n∈N
，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【答案】3或4
【解析】由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N
，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
4.不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．－11
B．x<－1或0C．x>－1
D．x>1
【答案】D
【解析】由x－>0可知>0，即或解得x>1或－10的解集为{x|x>1或－10成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D.
考向三
逻辑连接词
【例3-1】（1）命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n（2）若命题“?x0∈R,3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－，)
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【答案】（1）D
(2)C
【解析】(1)由全称命题的否定是特称命
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题，特称命题的否定是全称命题得，命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N
，使得n(2)
命题“?x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则“?x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”为真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得a∈[－，]．故选C.【版权所有：21教育】
【例3-2】（1）己知命题p：若为锐角三角形，则；命题，若，则或．则下列命题为真命题的是（
）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
（2）已知命题：对任意恒成立；命题：关于的方程有两个不相等的实数根.若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围
.
【答案】（1）B
（2）
【解析】（1）命题p：若△ABC为锐角三角形，则0则sinA＞sin（B）＝cosB，可知p是假命题；
命题q：?x，y∈R，若x+y≠5，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则x≠﹣1或y≠6，其逆否命题：若x＝﹣1且y＝6，则x+y＝5，是真命题，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．21
cnjy
com
（2）令，则，
∵是增函数，∴有最小值2，
若命题为真命题，则，.
若命题为真命题，则，或.
∵为真命题，为假命题，∴与一真一假.
若真，则真，此时；
若假，则假，此时，即.
故的取值范围是.
【举一反三】
1.若命题“?x∈[2,3]，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，4]
【解析】由题意得a≤x2在[2,3]上恒成立，而当x∈[2,3]时，4≤x2≤9，∴a≤4.故实数a的取值范围是(－∞，4]．
2.若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】因为命题“?x∈R，x2＋(a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
3.已知命题p：?x∈R，(m＋1)·(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2＋1)≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
【答案】(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
【解析】由命题p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，
当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－1－1.
4.已知p：?x∈，2x>m(x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
【答案】　
【解析】　?x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，
当x＝时，max＝，∴min＝，∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.故所求实数m的取值范围是.
考向四
古诗中的数学
【例4】王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知，“攻破楼兰”不一定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.
【举一反三】
1.王大妈在地摊上因为贪图便
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的_________（填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）
【答案】充分不必要
【解析】因为“好货不便宜”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“好货”是“不便宜”的充分条件．
1.命题“?x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为(　　)
A．?x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．?x?[1,2]，x2－3x＋2>0
C．?x0∈[1,2]，x－3x0＋2>0
D．?x0?[1,2]，x－3x0＋2>0
【答案】C
【解析】由全称命题的否定的定义知，命题“?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“?x0∈[1,2]，x－3x0＋2>0”，故选C.
2.下列命题中是假命题的是(　　)
A．?x0∈R，log2x0＝0
B．?x0∈R，cosx0＝1
C．?x∈R，x2>0
D．?x∈R,2x>0
【答案】C
【解析】因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A、B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题．故选C.
3．下列说法正确的是(　　)
A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am2C．?x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立
D．“若sinα≠，则α≠”是真命题
【答案】D
【解析】“若a>1，则a2>1”的否命题是“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am20时，x<1，因此x>0时均有3x<4x成立，故C错；“若sinα≠，则α≠”的逆否命题是“若α＝，则sinα＝”为真命题，则D正确．故选D.
4.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，函数g(x)＝kx－1，则“－6≤k≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若f(x)≥g(x)，则x2－(2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)k)x＋4≥0，故“f(x)≥g(x)在R上恒成立”?[－(2＋k)]2－16≤0?－6≤k≤2，所以“－6≤k≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充要条件，故选C.
5．设命题甲：关于x的不等式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么乙是甲的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式x2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝(2a)2－4×4＜0，解得－2＜a＜2；因为y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜4－2a＜1，解得＜a＜2，易知命题乙是命题甲的充分不必要条件，故选A.
6.“xm＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,2]
B．(0,2)
C．[0,2)
D．(0,2]
【答案】A
【解析】由x2－2x－3>0得x>3或x<
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－1.若“xm＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则且等号不同时成立，即0≤m≤2.故选A.
7.．命题p：x，y∈R，x2＋y2<2，命题q：x，y∈R，|x|＋|y|<2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图所示：命题“x2＋y2<2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)”对应的图形为半径为的圆的内部，命题“|x|＋|y|<2”对应的图形为边长为2的正方形的内部，x2＋y2<2对应的图形在|x|＋|y|<2对应的图形的内部，则命题“x2＋y2<2”是命题“|x|＋|y|<2”的充分不必要条件．故选A.2-1-c-n-j-y
8.在△ABC中，角A，B均为锐角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则“cos
A>sin
B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)21
cnjy
com
【答案】充要
【解析】因为cos
A>sin
B，所以cos
A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos
x在(0，π)上单调递减，
所以A<－B，所以A＋B<，
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，
所以△ABC为钝角三角形；
若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，
则C>，所以A＋B<，所以A<－B，
所以cos
A>cos，即cos
A>sin
B.
故“cos
A>sin
B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
9.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是【答案】　
【解析】解不等式|x－m|<1，得m－110.已知p：实数m满足3a(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)<4a(a>0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
【答案】　
【解析】由2－m>m－1>0，解得1解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.
11.已知集合A＝，B＝{x|x＋m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．
【答案】　∪
【解析】由y＝x2－x＋1＝2＋，0≤x≤2，得≤y≤2，∴A＝.
又由题意知A?B，∴2－m2≤，∴m2≥.∴m≥或m≤－.
12．给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件；
②“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
【答案】①②
【解析】①因为“a＝3”可以推出“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A?B”，但“A?B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故①正确；②“x<0”不能推出“ln(x＋1)<0”，但“ln(x＋1)<0”可以推出“x<0”，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，若其最小正周期为π，则＝π?a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b<0”，但由“a·b<0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b<0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
13．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0，因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得0≤m<；当命题p为假，命题q为真时，此时m不存在，故实数m的取值范围是.
14．给定命题p：对任意
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围
．
【答案】(－∞，0)∪
【解析】当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”?a＝0或
∴0≤a<4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”?Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a<4，且a>，∴若p假q真，则即a<0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
15．已知命题p：“存在a>0，使
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使?x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围
。．
【答案】
【解析】若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴∴16.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）(2,3)
（2）(1,2]
【解析】由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，
即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得
即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1由p∧q为真，知p，q均为真命题，则
得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，
由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，
有∴1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．
【套路秘籍】---千里之行始于足下
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
【数学套路】
1.
判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假。
2.
判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例
【套路总结】
1.充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么，结论是什么．
(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【数学套路】
1.判断命题真假的步骤
2.根据复合命题真假求参数的步骤
(1)
根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围
3.对全(特)称命题进行否定的方法
(1)
改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可
[提醒]　对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定。
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
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精品试卷·第
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