(共32张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
激趣诱思
知识点拨
图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?其实这些书籍并不是随意摆放的,而是按照中国图书馆分类法,将所有图书分成了22个基本大类,每一大类又细分为若干个小类,哪本书属于哪一类是明确的,按照这一原则,很快就能找到所需要的书了.
激趣诱思
知识点拨
一、集合的概念
一般地,我们把指定的某些对象的 称为集合.通常用大写英文字母A,B,C,…表示.?
集合中的 叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.?
名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.
2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
3.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.
全体
每个对象
激趣诱思
知识点拨
微思考
是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?
提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
激趣诱思
知识点拨
二、元素与集合的关系
名师点析1.a∈A与a?A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立.
2.符号“∈”“?”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.
a∈A
a?A
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合A中的元素x满足x-1<
,则下列各式正确的是( )
A.3∈A,且-3?A
B.3∈A,且-3∈A
C.3?A,且-3?A
D.3?A,且-3∈A
答案:D
激趣诱思
知识点拨
三、集合中元素的三个特性
确定性
互异性
无序性
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.
2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.
3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一定相同,但不一定依次对应相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
微练习2
已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是 .
答案:D
解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
a≠2
解析:根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.
激趣诱思
知识点拨
四、几种常用的数集及其记法
激趣诱思
知识点拨
名师点析常用数集之间的关系
实数集R
激趣诱思
知识点拨
微练习
用符号“∈”或“?”填空:
(1)1 N+;?
(2)-3 N;?
∈
?
∈
?
∈
∈
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的概念
例1给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥
的近似值的全体.
其中能够组成集合的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.
答案:B
解析:①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
答案:AC
D
解析:选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
元素与集合的关系
例2(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;②
?Q;③0∈Z;④|-1|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是不是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值.
③若1?A,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)答案:C
解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断元素与集合的关系的两种方法
(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.
(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)下列关系正确的是( )
(1)
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合中元素的特性及其应用
例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-
,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类整合思想、函数方程思想——由集合相等求参数
典例已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.
分析要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.
解:根据题意,分两种情况进行讨论:
当a=0时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故a≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素均为a,∴c≠1,∴此时无解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟①解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所以解题后需要进行检验和修正.②有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列给出的对象,能组成集合的是( )
A.很大的数
B.无限接近零的数
C.聪明的人
D.方程x2=2的实数根
答案:D
解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能组成集合;选项D中方程x2=2的实数根为x=-
或x=
,具有确定性,所以能组成集合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.a∈A,且b?A
B.a?A,且b∈A
C.a∈A,且b∈A
D.a?A,且b?A
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
答案:C
解析:因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.用符号“∈”或“?”填空:
(1)1 A,2 A,3 A(其中A表示由所有质数组成的集合);?
?
∈
∈
?
∈
∈
解析:
(1)由2,3为质数,1不是质数,得1?A,2∈A,3∈A.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.(共37张PPT)
第2课时 集合的表示
激趣诱思
知识点拨
根据集合的概念,我们知道:
1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;
2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.
同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?
激趣诱思
知识点拨
一、集合的表示方法
1.列举法
列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为
.?
名师点析用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)元素与元素之间必须用“,”隔开;(2)集合的元素必须是明确的;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)集合的元素不能重复;(5)集合的元素可以表示任何事物;(6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
一一列举
激趣诱思
知识点拨
2.描述法
描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.
2.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合
.
3.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D=
可以表示为D=
.
4.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如
中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.
5.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
激趣诱思
知识点拨
微练习
用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-9=0的解组成的集合;
(2)不大于100的自然数组成的集合.
答案:
(1){-3,3}.
(2){0,1,2,3,…,100}.
激趣诱思
知识点拨
微思考
下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.
它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};
③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};
④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.( )
(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( )
(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.( )
(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.
( )
提示:
(1)× (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
二、集合的分类
1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:
含有 的集合叫作有限集,含有 的集合叫作无限集.?
2.把不含有任何元素的集合叫作 ,记作 .?
名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.
(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
有限个元素
无限个元素
空集
?
激趣诱思
知识点拨
微思考
空集是有限集还是无限集?
提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
激趣诱思
知识点拨
三、区间及其表示
1.设a,b是两个实数,且 ,我们作出规定:?
这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称为 ,(a,b)称为 ,[a,b),(a,b]称为
.在数轴上表示区间时,用实心点表示 区间的端点,用空心点表示 区间的端点.?
a
半开半闭区间
半开半闭区间
闭区间
开区间
半开半闭区间
属于
不属于
激趣诱思
知识点拨
2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“ ”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x无穷大
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.区间左端点的值小于右端点的值.
2.有完整的区间外围记号.
3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.
激趣诱思
知识点拨
微练习
将下列集合用区间及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
(2){x|x≥3};
(3){x|-1≤x<5}.
解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:
(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:
(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为
{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)15的正因数组成的集合;
(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用描述法表示集合
例2用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;
(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3用另一种方法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){-3,-1,1,3,5}.
解:(1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知集合中元素个数求参数范围
例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2},满足题意.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即
解得k>1.综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
第三次数学危机
数学史上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.
其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.已知集合A=
,则下列关系式不成立的是( )
A.0∈A
B.1.5?A
C.-1?A
D.6∈A
答案:D
解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
答案:B
解析:N+为正整数集,所以集合{x∈N+|x<5}表示小于5的正整数组成的集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为 .?
4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .?
答案:答案不唯一,如{x||x|=1}
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.
解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x|11.2 集合的基本关系
激趣诱思
知识点拨
同学们,你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合,我们不妨记为S,如果把班内所有男生组成的集合记为A,把班内所有女生组成的集合记为B,集合A,B与集合S有怎样的关系?集合A中的元素一定是集合S中的元素吗?反过来呢?
激趣诱思
知识点拨
一、子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
激趣诱思
知识点拨
2.子集
任何一个
A?B(或B?A)
空集
A?C
激趣诱思
知识点拨
微思考
在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?
提示:不能.若A?B,则A有以下三种情况:
①A=?;
②A=B;
③A是由B中的部分元素组成的集合.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )
A.P∈Q
B.P?Q
C.Q?P
D.Q∈P
(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B?A,则实数m= .?
解析:由B?A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.
答案:
(1)
C
(2)1
激趣诱思
知识点拨
二、集合相等
名师点析1.因为A?B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B?A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.
2.证明或判断两个集合相等,只需证A?B与B?A同时成立即可.
A=B
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 .
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.
当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
答案:
0
激趣诱思
知识点拨
三、真子集
A?B
A≠B
A?C
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A?B;
②存在元素x,满足x∈B且x?A.
2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},则集合P与集合Q的关系是( )
A.P?Q
B.Q?P
C.P=Q
D.不确定
答案:B
解析:x<0?x<1,反之不成立.所以Q?P.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
写出给定集合的子集
例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为?;
含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};
含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};
含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.
含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.
其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:B
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合之间关系的判断
例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )
A.A?B
B.A=B
C.B?A
D.A?B
反思感悟
判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
答案:A
解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A?B.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究例2中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
答案:集合A与B之间不具有包含关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A?B
反思感悟
将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.A=B?C
B.A?B=C
C.A?B?C
D.B?C?A
答案:B
∵a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数;所以A?B=C.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合相等关系的应用
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
由集合间的关系求参数的范围
例5已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;
(2)若B?A,求实数a的取值范围.
分析(1)由a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其是否存在包含关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B?A.
(2)由已知B?A.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然B?A.
②当B≠?时,2a-3由已知B?A,如图在数轴上表示出两个集合,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起重视.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)不存在.因为A={x|-5(2)①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知B
?A,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,
解得a≥
或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用
对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A?B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A?B在未指明集合A非空时,应分A=?和A≠?两种情况来讨论;
②因为集合中的元素是无序的,由A?B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对A≠?这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
特别提醒
此类问题易错点有三个:(1)忽略A=?的情况,没有分类讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.
(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:
①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;
②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例已知集合A={x|1分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助数轴,求出a的取值范围.
解:∵B={x|-1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.集合{x,y}的子集个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
解析:(方法一)集合{x,y}的子集有?,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
答案:B
解析:由N={-1,0},知N?M,故选B.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C D.(填“?”“?”或“=”)
4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x= ,y= .?
解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C?D.
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
答案:?
答案:3 2
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.已知集合P={x|-2解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
由P?Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是a≤-2.(共34张PPT)
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集
激趣诱思
知识点拨
公务员,是指在各级政府机关中,行使国家行政职权,执行国家公务的人员.每年都有很多人报名参加考试,常出现一个岗位若干人争夺的局面.
2020国家公务员考试报考条件中规定,报考人员应符合以下条件(摘录):(1)具有中华人民共和国国籍;(2)18周岁以上、35周岁以下(1983年10月至2001年10月期间出生),2020年应届硕士研究生和博士研究生(非在职)人员年龄可放宽到40周岁以下(1978年10月以后出生);……(7)具有大学专科及以上文化程度.
根据以上条件,哪些人可以报名参加公务员考试呢?
激趣诱思
知识点拨
一、交集
名师点析求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.
所有
{x|x∈A,且x∈B}
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知集合A={1,3,5,6,7},B={2,4,5,6,8},则A∩B= .?
(2)(2019全国Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.(-1,+∞) B.(-∞,2)
C.(-1,2)
D.?
(3)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|-2≤x≤2},那么A∩B=( )
A.{-1,0,1}
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1,2,3}
D.{x|-2≤x≤2}
答案:
(1){5,6} (2)
C
(3)B
激趣诱思
知识点拨
二、并集
所有
或
或
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用右图形象地表示.
2.求A∪B时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=( )
A.{1,3,1,2,4,5}
B.{1}
C.{1,2,3,4,5}
D.{2,3,4,5}
(2)已知集合A={x|x>-2},B={x|x≥1},则A∪B=( )
A.{x|x>-2}
B.{x|-2C.{x|x≤-2}
D.{x|x≥1}
(3)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则实数m= .?
答案:
(1)
C (2)A (3)2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的交集与并集运算
例1(1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,3}
C.{-1,1,3}
D.{-1,1}
(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=( )
A.{x|x<2}
B.{x|1≤x<2}
C.{x|x≥1}
D.R
分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.
解析:(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.
(2)在数轴上表示出集合A,B,则
则A∪B=R.
答案:
(1)
C (2)D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=( )
A.{2,3}
B.{2,3,4,5}
C.{2}
D.{1,2,3,4,5}
(2)设集合A={x∈N+|x≤2},B={2,6},则A∪B=( )
A.{2}
B.{2,6}
C.{1,2,6}
D.{0,1,2,6}
答案:
(1)
D (2)C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例2(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3}
B.{5}
C.{3,5}
D.{1,2,3,4,5,7}
(2)设集合M={x|-3A.[1,2)
B.[1,2]
C.(2,3]
D.[2,3]
(3)(2019天津)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{-1,2,3}
D.{1,2,3,4}
答案:
(1)
C (2)
A (3)
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)直接由交集定义可得A∩B={3,5};
(2)在数轴上表示集合M,N,如图:
∴M∩N={x|1≤x<2}.
(3)A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求两个集合交集、并集的方法技巧
当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2若集合M={x∈R|-3A.{0}
B.{-1,0}
C.{-1,0,1}
D.{-2,-1,0,1,2}
答案:B
解析:N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知集合的交集、并集求参数
例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为 .?
分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.
解析:∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.
综上可得实数a的值为5或-3.
答案:
5或-3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.
解:∵A∩B={9},∴9∈A.
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例4集合A={x|-1(1)若A∩B=?,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.
分析利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件，利用数形结合的方法列出关于参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)A={x|-1∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,
∴a的取值范围为a≤-1.
(2)A={x|-1∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为-1探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知集合运算求参数的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究例4(1)中,把“A∩B=?”改为“A∩B≠?”,求a的取值范围.
解:利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠?,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为a>-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的交集、并集性质的应用
例5设集合M={x|-2分析把M∪N=M转化为N?M,利用数轴表示出两个集合,建立端点间的不等关系式求解.
综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.
答案:{t|t≤2}
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.
解:由M∩N=M,得M?N,故N≠?.用数轴(略)表示两个集合,
故实数t的取值范围为t≥4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例6设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
分析先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.
当B=?时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A?B.
∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,
∴A=B,由(1)知a=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用交集、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=M时,求实数m的值.
解:(1)由题意得M={2}.
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
∴M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)∵M∩N=M,∴M?N.∵M={2},∴2∈N,
∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,
即4-6+m=0,解得m=2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在集合运算中的应用
分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.
当a=-3时,B={2};当a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.综上,实数a的值为a=-3或a=-1.
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},
对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵A∪B=A,∴B?A.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
①当Δ<0,即a<-3时,B=?,满足条件;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;
③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,
由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.
方法点睛
将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设集合A={x∈N+|-1≤x≤2},B={2,3},则A∪B=( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{1,2,3}
C.[-1,2]
D.[-1,3]
答案:B
解析:集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}.
2.已知集合A={x|-3A.{x|x<1}
B.{x|x<3}
C.{x|-3D.{x|-3答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知集合A={0,1},B={a-2,2}.若A∩B={1},则A∪B=( )
A.{0,1,2}
B.{1}
C.{0,1,2,3}
D.{1,2}
答案:A
解析:由A∩B={1},得1=a-2,所以a=3.则B={1,2}.所以A∪B={0,1,2}.
4.已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= .?
答案:{1,8}
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知集合A={x|m-2(1)若m=1,求A∪B;
(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.
解:(1)由m=1,得A={x|-1∴A∪B={x|-1(2)∵A∩B=A,∴A?B.显然A≠?.(共26张PPT)
第2课时 全集与补集
激趣诱思
知识点拨
太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134340号,从太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”的行星除去,还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢?
激趣诱思
知识点拨
全集与补集
1.全集
在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作 ,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.?
名师点析全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的.例如,我们在研究数集时,通常把实数集R作为全集;当我们只讨论大于0且小于5的实数时,可选{x|0全集
激趣诱思
知识点拨
2.补集
U
?
A
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到.
2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
3.符号?UA有三层意思:①A是U的一个子集,即A?U;②?UA表示一个集合,且?UA?U;③?UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即?UA={x|x∈U,且x?A}.
4.若x∈U,则x∈A或x∈?UA,二者必居其一.
激趣诱思
知识点拨
微思考
集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系?
提示:集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比:
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?UA=( )
A.{1,3,5,6}
B.{2,3,7}
C.{2,4,7}
D.{2,5,7}
(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则?UA= .
(3)已知全集U={0,1,2},A={x|x-m=0},若?UA={0,1},则m= .?
答案:
(1)
C
(2){x|1≤x<5} (3)2
解析:
(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得?UA={2,4,7}.故选C.
(2)集合A={x|x<1,或x≥5}的补集是?UA={x|1≤x<5}.
(3)(方法1)由题意知A={m}={2},所以m=2.
(方法2)根据补集的性质?U(?UA)=A,得A={2},即m=2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
补集的基本运算
例1(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},则集合B= ;?
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则?UA= .?
分析(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.
(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:
(1){2,3,5,7} (2){x|x<-3,或x=5}
解析:
(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知?UA={x|x<-3,或x=5}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求集合的补集的方法
1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知集合A={x|-3≤x<5},?UA={x|x≥5},B={x|1解:由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1所以?UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
交集、并集与补集的混合运算
例2设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},B={0,-2},则B∩(?UA)=( )
A.{0,1}
B.{-2,0}
C.{-1,-2}
D.{0}
分析先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运算求出结果.
答案:D
解析:由于A={x|x2+x-2=0}={-2,1},
所以?UA={-1,0,2},
所以B∩(?UA)={0},故选D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例3已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求?UA,?UB,(?UA)∩(?UB).
分析由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.
解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,
则?UA={x|-1≤x≤3};
?UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3};
(?UA)∩(?UB)={x|1≤x≤3}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况
1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.
2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)如果全集U=R,M={x|-1A.(-1,1)∪(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,1)∪(1,2]
D.(-1,2]
(2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2(1)解析:?UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5},
∴M∩(?UN)=(-1,1)∪(1,2].
(2)解:把集合A,B在数轴上表示如图.
由图知,A∪B={x|2∵?RA={x|x<3,或x≥7},
∴(?RA)∩B={x|2答案:
(1)
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
补集性质的应用
例4已知全集为R,集合A={x|x分析先求出?RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.
反思感悟
由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
解析:∵B={x|1∴?RB={x|x≤1,或x≥2}.
又A={x|x答案:a≥2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(?UA)={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
解:(1)∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但2?A.
∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但4?B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用图示法解决集合的混合运算
1.两种图示法
(1)用Venn图表示集合的混合运算
右图中的A,B将全集U分成了四部分,这四部分分别用集合表示如下:
①表示A∩B;
②表示(?UB)∩A;
③表示(?UA)∩B;
④表示?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
(2)当集合为连续型实数集时,常常用数轴来表示集合的混合运算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.集合运算分配律的图形解释
设集合U为全集,A,B,C为全集U的子集,则有
(1)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(2)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).
这是集合运算中的分配律.
下面用图形解释:
(1)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),
利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),
利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例已知A,B均为全集U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A={9},则A=( )
A.{1,3}
B.{3,7,9}
C.{3,5,9}
D.{3,9}
解:(方法一)由题意画出Venn图,如图所示.
由图可知,A={3,9}.
(方法二)根据题意易得3∈A,9∈A.
若5∈A,则5?B(否则5∈(A∩B)),从而5∈?UB,则(?UB)∩A={5,9},与题中条件矛盾,故5?A.
同理1?A,7?A,故A={3,9}.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设集合A={1,3,4,5},B={2,4,6},C={0,1,2,3,4},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}
B.{2,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,2,3,4,5}
解析:A∪B={1,2,3,4,5,6},(A∪B)∩C={1,2,3,4}.
2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1}.
∴?U(A∪B)={x|0答案:C
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知全集U=R,A={x|1≤x4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 .?
解析:∵?UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
解析:题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.
答案:2
答案:{4,6}
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1∴A∩B={x|-13}.(共31张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
激趣诱思
知识点拨
小李设计如下三个电路图,在第一个电路中,如果开关A闭合,灯泡B是否一定会亮?要想使灯泡B亮起,是否必须闭合开关A?第二个和第三个电路中呢?
那么“闭合开关A”是“灯泡B亮”发生的什么条件呢?
激趣诱思
知识点拨
一、必要条件与性质定理
1.推出(?)
若命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p?q.
2.必要条件
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 .也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.?
名师点析说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
必要条件
激趣诱思
知识点拨
微练习
用“?”或“不能推出”填空.
(1)a,b都是偶数 a+b是偶数;?
(2)a+b是偶数
a,b都是偶数;?
(3)A∩B=?
A=?;?
(4)Rt△ABC中,∠A=30° 边BC长等于斜边长的一半.
?
不能推出
不能推出
?
激趣诱思
知识点拨
二、充分条件与判定定理
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
综上,对于真命题“若p,则q”,即p?q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.
名师点析1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.
2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何从集合角度理解必要条件、充分条件?
提示:一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A?B,如图所示,那么p(x)?q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件.
激趣诱思
知识点拨
三、充要条件
1.一般地,如果p?q,且q?p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件.记作p?q.
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”或“p与q等价”.
3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
激趣诱思
知识点拨
名师点析设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微思考
判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?
提示:(1)如果p?q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)如果p不能推出q,且q?p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)如果p?q,且q?p,则称p是q的充要条件;
(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:x=-3,q:x2=9;
(2)p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等;
(3)p:A∪B=A,q:B?A;
(4)p:a>b,q:ac>bc.
答案:
(1)充分不必要条件.
(2)必要不充分条件.
(3)充要条件.
(4)既不充分也不必要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
充分条件、必要条件及充要条件的判断
例1(1)对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(3)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)由x2+y2=0,得x=0,且y=0,
由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”不能推出“x2+y2=0”.
(2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;
但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
(3)因为A∩B=A?A?B,所以“A∩B=A”是“A?B”的充要条件.
答案:
(1)
A (2)
A (3)C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?
解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1设A,B为两个互不相同的集合.命题p:x∈A∩B;命题q:x∈A或x∈B.则p是q的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:若命题p:x∈A∩B成立,命题q:x∈A或x∈B一定成立;若命题q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
数根的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:“方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根”等价于“直线y=ax+3在[-1,2]上与x轴有交点”,则
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:令A={x|x>1},B={x|x3>1}.由于A=B,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
例3(2019湖北襄阳期中)若p是r的充分不必要条件,r是q的必要条件,r是s的充要条件,q是s的必要条件,则s是p的什么条件?
分析用推出符号表示p,q,r,s的关系→由图求出结果
解:p,q,r,s之间的关系如图所示,由图可知p?s,但s不能推出p,故s是p的必要不充分条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1.定义法:
(1)分清哪个是条件,哪个是结论.
(2)判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假.
(3)根据(2)得出结论.
2.集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断.
3.等价转化法:将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.
4.特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题.
5.传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应的“推式图”,再根据图中推式的传递性进行判断.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
A.x>1
B.x>-1
C.x<-1或0D.-10
(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是( )
分析(1)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围,即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1反思感悟
1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
答案:
(1)
A (2)B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练3下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有 ;可以作为x2<1的必要不充分条件的有 .(填序号)?
②③
①⑤
解析:由x2<1,得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
例5已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
解:方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个正实数根等价于
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
寻求q的充要条件有两种方法
(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练4(2019湖南永州高三模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
解析:∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
自主招生中的充分条件与必要条件
某大学2017年自主招生简章中规定,凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满足竞赛条件”,下同),都可以报名参加该校的自主招生考试.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)已知甲同学满足竞赛条件,那么甲能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗?
(2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试的资格,那么乙同学一定满足竞赛条件吗?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(3)已知丙同学不满足竞赛条件,那么丙同学一定不能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗?
第一个问题,相信大家都能得到正确答案能.
但第二个和第三个问题的答案都是:不一定.你知道为什么吗?
这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2017年自主招生考试的充分条件,而不是必要条件,但是充分条件可以不止一个.
事实上,全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学2017年的自主招生考试.
生活中还有很多类似的情况,请自行找出更多的例子吧！
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.“a=-3”是“|a|=3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“x>2”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
答案:A
答案:A
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 条件.?
解析:a>0且b>0?a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0?a>0,且b>0,故为充要条件.
5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:
充要条件①
;?
充要条件②
.?
(写出你认为正确的两个充要条件)
答案:充要
答案:两组对边分别平行 一组对边平行且相等(共17张PPT)
第2课时 习题课 充分条件与必要条件
的综合应用
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
充要条件的证明
例1已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab≠0时,a+b=1”.
第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论?条件”;再证充分性:“条件?结论”.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
证明:(必要性)
∵a+b=1,∴a+b-1=0.
∴a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
(充分性)
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
充要条件的证明
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明:(必要性)
∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
(充分性)
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0.
因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2已知p:-4A.(-1,6)
B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞)
D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a的取值范围.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:B
解析:设q,p表示的范围分别为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
所以-1≤a≤6.故选B.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.
解:设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,
无解.故不存在这样的实数a.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
数形结合思想的应用
在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.
1.Venn图的应用
(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.
(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例1
已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.
解析:作出Venn图,如图所示,可知x∈B?x∈A,但x∈A不能推出
x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.数轴的应用
(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.
(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例2
已知集合A={x|-1A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:在数轴上作出集合A和B如图所示,
由图可知x∈A?x∈B,但x∈B不能推出x∈A,所以x∈A是x∈B的充分不必要条件.
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例3
已知命题p:-10),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
解:设A={x|-10},因为p是q的必要条件,所以B?A,
在数轴上标出两集合,如图,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.若“xA.a≥3
B.a≤-1
C.-1≤a≤3
D.a≤3
答案:B
解析:因为“x探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么?
解:可以作为直角三角形的定义.
因为“有两个角之和为90°的三角形”?“有一个内角为90°的三角形”?“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,
故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
②必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
故可求证.(共28张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
激趣诱思
知识点拨
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,
如果我们学习了全称量词命题与存在
量词命题的知识,就可以通过逻辑进行
分析了.
激趣诱思
知识点拨
一、全称量词与全称量词命题
1.全称量词命题:
在给定集合中,断言 都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.?
2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“ ”表示,读作“对任意的”.?
名师点析1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.
2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.
3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
所有元素
?
激趣诱思
知识点拨
微练习
给出下列命题:①有的质数是偶数;②在平面内与同一直线所成角相等的两条直线平行;③存在一个三角形三个内角都相等;④对于实数a,b,|a-1|+|b-1|>0.
其中是全称量词命题的为 ,是存在量词命题的为 ,真命题为 .(填序号)?
②④
①③
①③
激趣诱思
知识点拨
二、存在量词与存在量词命题
1.存在量词命题:
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词:
在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“?”表示,读作“存在”.
名师点析1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“?a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.
3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假?
提示:(1)存在量词命题的真假判断
①要判定存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.
②要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.
(2)全称量词命题的真假判断
①要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;
②要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
激趣诱思
知识点拨
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
1.全称量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
2.存在量词命题的否定
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
激趣诱思
知识点拨
3.常见词语的否定
微练习
(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )
A.存在一个三角形的内角和等于180°
B.所有三角形的内角和都等于180°
C.所有三角形的内角和都不等于180°
D.很多三角形的内角和不等于180°
(2)命题“?x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .?
B
?x∈Z,4x-1不是奇数
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.
(1)有些素数的和仍是素数;
(2)自然数的平方是正数.
解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.
综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
①②③
④
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2判断下列命题的真假.
(1)?x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)?x∈N,x2>0.
解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.
(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.
(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“?x∈N,x2>0”是假命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
?
解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.
(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的否定
例3写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x,
>x-1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些质数是奇数.
分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)命题p的否定“存在正数x,使
≤x-1”.
(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.
(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.
(4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”.
反思感悟
1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2-x+
≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:?x∈R,x2+3x+7≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴命题p的否定是假命题.
(2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题.
(3)命题r的否定“?x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题.
∴命题r的否定是真命题.
(4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题.
∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
根据命题的真假求参数的取值范围
例4已知命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.
解:因为全称量词命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“?x∈R,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,
解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M,a>y(或aymin(或a探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
(2)若本例中的“?x∈R”改为“?x>0”,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].
(2)因为全称量词命题“?x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“?x>0,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
哥德巴赫猜想
1742年,哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,然而一直到死,欧拉也无法证明.
如今数学界已经不使用“1也是素数”这个规定,哥德巴赫猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和.(n>5:当n为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇数,n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和.)欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和”记作“a+b”.1966年陈景润证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”.
从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.2013年5月,巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020四川眉山高一检测)已知命题p:有的三角形是等边三角形,则命题p的否定是( )
A.有的三角形不是等边三角形
B.有的三角形是不等边三角形
C.所有的三角形都是等边三角形
D.所有的三角形都不是等边三角形
答案:D
解析:原命题是存在量词命题,先改变量词,再否定结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.已知命题p:?x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是( )
A.?x∈R,xB.?x∈R,x≤a2+b2
C.?x∈R,x≤a2+b2
D.?x∈R,x答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.
其中是全称量词命题且为真命题的是 .(填序号)?
4.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假.
④
解析:全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
解:量词为“所有的”.是假命题.(共27张PPT)
3.1 不等式的性质
激趣诱思
知识点拨
某商场换季促销,降价的方案有两种:一是商品8折后再6折销售,二是商品7折后再7折销售.作为消费者,你希望商场采用哪一种方案呢?
激趣诱思
知识点拨
一、实数的大小比较
比较实数a,b大小的依据
微练习
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是 .
它们
的差(a-b)与0
x2-1>2x-5
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,
∴x2-1>2x-5.
激趣诱思
知识点拨
二、不等式的性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c?a+b+(-b)>c+(-b)?a>c-b.即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
结论成立的条件是a、b要同号.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( )
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.( )
答案:
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
若a>b,则下列各式正确的是( )
A.a-2>b-2
B.2-a>2-b
C.-2a>-2b
D.a2>b2
答案:A
解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误;又取a=0,b=-1时,a>b,但a2探究一
探究二
素养形成
当堂检测
实数大小的比较
例1比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
分析利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
不等式基本性质的应用
1.应用不等式性质判断命题真假
例2对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若aab>b2;
分析判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2已知a,b,c满足c答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.应用不等式性质证明不等式
∵a>b>0,c∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
又(a-c)2(b-d)2>0,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.利用不等式性质求取值范围
解:因为3所以3+1又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
因为9探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解:设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),
则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
即-1≤9a-b≤20.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一题多解——应用不等式性质求范围
典例若1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
解:方法一(待定系数法)
设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
则4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).
因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.
又2≤a+b≤4,
所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.
即5≤4a-2b≤10.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法二(换元法)
所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,
而1≤m≤2,所以3≤3m≤6,又2≤n≤4,
所以5≤3m+n≤10,即5≤4a-2b≤10.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
出a与b的取值范围,再求4a-2b的取值范围,得3≤4a-2b≤12,则会导致取值范围的扩大.这是因为变量a,b并不是相互独立的关系,而是由不等式组决定的相互制约的关系,a取最大(小)值时,b并不能同时取得最小(大)值.
解题时应将条件视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围,再去求由此构成的代数式的取值范围,这往往会扩大代数式的范围.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.若实数a,b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是( )
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.(x+5)(x+7) (x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)?
3.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为 .?
解析:
(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
解析:∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
答案:<
答案:
[-9,0]
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共25张PPT)
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
激趣诱思
知识点拨
某金店有一台天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均值
作为项链的质量来计算价格.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,他认为项链的质量应该用
来计算.如果按金店的计算方式,顾客是吃亏了还是占便宜了呢?请在学习完本节内容后给出你的判断.
激趣诱思
知识点拨
一、基本不等式
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微拓展
1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).这个不等式叫重要不等式.它成立的条件是a,b∈R.
2.它的几个常见变形式有:
激趣诱思
知识点拨
微练习
因为ab>0,a,b同号,所以a=b,即式中等号成立的条件是a=b.
激趣诱思
知识点拨
二、利用基本不等式求最值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值
;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2
.
名师点析1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.
2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即一正二定三相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知x>0,y>0.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是 ;?
(2)若x+y=4,则xy的最大值是 .?
∴xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,
∴xy的最大值为4.
答案:
(1)4 (2)4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
应用基本不等式时要注意以下三点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列结论不成立的是( )
A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
D.若a∈R,则有a2+9≥6a
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用基本不等式证明不等式
分析(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用基本不等式求最值
例3(1)已知x>0,则
+x的最小值为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为 .?
答案:
(1)
A (2)4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解——利用基本不等式求最值
解:(方法一)已知条件从形式上认为是两项之和,问题的类型是求最小值,所以根据基本不等式的结构特点,需要寻找乘积是定值的条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的,采用消元将问题转化为单变量问题.在此基础上,或直接求最值,或换元法后求最值,都可以将难度有效降低.
方法点睛
根据已知的条件形式,合理地选择方法,简洁准确地求解,是解决问题的重点和目标,需要总结、反思和积累.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
D.最大值144
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共22张PPT)
第2课时 习题课 基本不等式的应用
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用基本不等式求函数和代数式的最值
1.通过变形后应用基本不等式求最值
例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
4
反思感悟
在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:1
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用基本不等式解决实际应用中的最值问题
例4如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18
000
cm2,四周空白的宽度为10
cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
即当x=140,y=175时,S取得最小值24
500.
故当广告牌的宽为140
cm,长为175
cm时,可使矩形广告牌的面积最小.
反思感悟
求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出答案.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2某商场预计全年分批购入每台价值为2
000元的电视机共3
600台,每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元,贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43
600元.现在全年只有24
000元资金可以用于支付这笔费用,请问:如何恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
此时x=120台,全年共需要资金24
000元.
故只需每批购入120台,可以使资金够用.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
基本不等式的变形技巧
技巧一:裂项
思路点拨先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
技巧二:添项
思路点拨当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
技巧三:放入根号内或两边平方
思路点拨求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一个根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.函数y=2x(2-x)(其中0答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数关系式,并求出水池的最低造价.
解:由于长方体蓄水池的容积为8立方米,深为2米,因此其底面积为4平方米,设底面一边长为x米,则另一边长为
米,又因为池壁的造价为每平方米100元,
而池底的造价为每平方米300元,池底的面积为4平方米,因此池底的总造价为1
200元,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共19张PPT)
4.1 一元二次函数
激趣诱思
知识点拨
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
本节我们将进一步研究一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的平移,函数值的变化趋势,最大值或最小值等性质.
激趣诱思
知识点拨
一、一元二次函数的图象及其变换
1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
名师点析一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2)后,得到的新函数的解析式为 .
解析:可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为形状与开口不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.
答案:y=-2(x+3)2+2
激趣诱思
知识点拨
二、一元二次函数的性质
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下:
向上
向下
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元二次函数图象的平移变换
例1抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
答案:B
解析:∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟一元二次函数图象平移问题的解题策略
(1)要注意平移的方向,即由哪个函数变换到另一个函数;
(2)将函数化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式;
(3)判定h与k的正负,利用“左加右减,上加下减”的规则判定平移的方向和大小.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元二次函数的性质及应用
例2(1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.
(2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究在区间[-1,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元二次函数的最值
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.当自变量x的取值范围为闭区间[m,n]时,其最值在m,n,-
三者所对应的函数值中取得,最值情况如下:
当a>0时,抛物线开口向上,
①若-
∈[m,n](如下图①,②),顶点取最小值,离对称轴较远点处取得最大值.
②若-
?[m,n](如下图③,④),函数在区间内单调,较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
当a<0时,仍是在顶点处或者端点处来取得最值,至于是最大值还是最小值,就受对称轴x=-
与区间[m,n]的相对位置的影响了.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例当x为何值时,函数y=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( )
A.(4,1)
B.(0,1)
C.(2,3)
D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( )
A.最大值-5
B.最小值-5
C.最大值-4
D.最小值-4
答案:B
解析:∵二次函数解析式为y=(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1),向左平移2个单位长度,得到的点是(0,1).
答案:C
解析:配方,得y=-(x-1)2-4,所以当x=-1时,ymax=-4.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.对于一元二次函数y=-4x2+8x-3,
(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
(2)画出它的图象,并说明其图象由y=-4x2的图象经过怎样平移得来.
解:(1)函数y=-4x2+8x-3=-4(x-1)2+1图象的开口向下;对称轴方程为x=1;顶点坐标为(1,1);
(2)图象如图所示,其图象由y=-4x2的图象向右平移1个单位长度得到y=-4(x-1)2的图象,再将y=-4(x-1)2的图象向上平移1个单位长度而得.(共37张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
4.3 一元二次不等式的应用
激趣诱思
知识点拨
某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0激趣诱思
知识点拨
一、一元二次不等式的概念
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0,(其中x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.
2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 叫作这个一元二次不等式的解集.?
名师点析1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说,不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
集合
激趣诱思
知识点拨
微练习
下面哪些不等式是一元二次不等式:
(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;
(3)x3+5x-6>0;
(4)3x2-x+y<0;
(5)ax2+bx+c>0.
解:(1)是;(2)是;
(3)不是,因为x的最高次为3次;
(4)不是,它含有两个未知数;
(5)不是,因为a=0时,不符合一元二次不等式的定义.
激趣诱思
知识点拨
二、一元二次不等式的解法
一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
激趣诱思
知识点拨
微技巧
解一元二次不等式的口诀:
先看开口再看根,函数图象是根本;横轴上方y为正,根间根外想谨慎.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)不等式x2-2x>0的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
答案:D
解析:解方程x2-2x=0,得两根x1=0,x2=2,画出y=x2-2x的图象.如图,观察图象得原不等式解集为{x|x<0或x>2}.
激趣诱思
知识点拨
(2)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
解:不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.
画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图).
观察图象得原不等式的解集为?.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)因为方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=9+4×2×2=25>0,所以该方程的解是x1=-
,x2=2.
因为该函数的图象是开口向上的抛物线,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画图像.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图像.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式
Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
分析根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程解的情况,利用根与系数的关系进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
含参数的一元二次不等式的解法
例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
分析先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解含参数的一元二次不等式,与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).
解:由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为?;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a当a<-4a,即a<0时,解不等式为a综上所述,当a=0时,不等式的解集为?;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a当a<0时,不等式的解集为{x|a探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
一元二次不等式的实际应用
例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6
m,则行驶的最大速度是多少?
分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
3.解一元二次不等式,得到实际问题的解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80
km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65
m,试问该车是否超速行驶?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分式不等式与简单高次不等式的解法
一、分式不等式的解法
解分式不等式总的指导原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.
其基本的情况列表如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.(-2,2)
B.(-2,2]
C.(-2,0)
D.(0,2)
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:(1)A (2)D
点评如果分式不等式是大于等于零或小于等于零时,变形为整式不等式时要注意分母不为0.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
二、简单高次不等式的解法
不等式中未知数的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.
解决这一类不等式的基本方法是:在解y<0(或>0)时,将多项式分解成若干个不可约因式的积,根据实数运算法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组)(由各因式的符号所有可能的组合决定).于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但这一方法在因式较多时比较烦琐.此时通常采用下面的方法:
(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可分解因式的积.
(2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出.
(3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根要穿而不过.
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方法叫穿根法.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例2解不等式:x3+2x2-x-2>0.
解:原不等式可化为(x+1)(x-1)(x+2)>0.将方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的各个根-2,-1,1标在数轴上,并用穿根法依次通过每一个根.如图:
所以,原不等式的解集为{x|-21}.
注意
(1)对于数轴穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系数须为正数;(2)要注意准确考察各根是否在解集内.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.不等式x2-9<0的解集为( )
A.{x|x<-3}
B.{x|x<3}
C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-32.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-16,0)
B.(-16,0]
C.(-∞,0)
D.(-8,8)
答案:D
解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3答案:D
解析:∵不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],则a+b= .?
答案:11
解析:∵关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2
400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少
t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 .?
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
故t的取值范围是[3,5].
答案:
[3,5]
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为?;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1章末整合
专题一 集合的运算?
例1已知全集U={x|x>0},集合A={x|3≤x<7},B={x|2(1)求A∪B,(?UA)∩B;
(2)若C?(A∪B),求a的取值范围.
解:(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2方法技巧
集合运算过程中应力求做到“三化”
(1)意义化:首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形;是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解集.
(2)具体化:具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的取值范围或方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.
(3)直观化:借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题.
变式训练1已知全集U={x∈N|1≤x≤6},集合A={x|x2-6x+8=0},集合B={3,4,5,6}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)写出集合(?UA)∩B的所有子集.
解:(1)全集U={x∈N|1≤x≤6}={1,2,3,4,5,6},集合A={x|x2-6x+8=0}={2,4},集合B={3,4,5,6}.
A∩B={4},A∪B={2,3,4,5,6}.
(2)∵?UA={1,3,5,6},
∴(?UA)∩B={3,5,6},它的所有子集是?,{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6},共8个.
专题二 用集合知识解决实际应用题?
例2某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
解:设全集U={全班30名学生},A={喜爱篮球运动的学生},B={喜爱乒乓球运动的学生},画出Venn图如图所示.
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x,喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10-x,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x=15-3=12.
方法技巧
容斥原理的应用
在部分有限集中,经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数.则有如下结论:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
变式训练2某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?
解:设参加数学、物理、化学小组的同学构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学参加课外探究小组可得
(26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.
专题三 根据充分和必要条件求参数范围?
例3设p:0≤x+2≤6,q:1-m0).
(1)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
分析设p,q所对应的集合分别为A,B,再由p是q的必要不充分条件得到集合B是集合A的真子集,由p是q的充分不必要条件得到集合A是集合B的真子集,数形结合建立不等式(组)求解.
解:(1)设条件p对应的集合为A,
则A={x|-2≤x≤4},设条件q对应的集合为B,则B={x|1-m0,所以B≠?.
若p是q的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,所以
方法技巧
根据充要条件求参数范围的方法
(1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
(2)在求解参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解.
解:由题意得p:-2≤x≤10,
设P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}.
∵q是p的必要不充分条件,∴P?Q.
∴Q≠?,
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.
专题四 用基本不等式求最值?
(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;
(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.
分析(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.
方法技巧
应用基本不等式求最值的技巧
应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式;若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
答案:C
专题五 解含参不等式?
例5解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).
分析首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a≠0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根
与2的大小关系.
解:当a=0时,化为x<2;
当a≠0时,原不等式可化为(ax-3)(x-2)>0.
方法技巧
解含参不等式的一般方法
(1)二次项系数不含参数时,对Δ的取值进行讨论.
若Δ>0,再根据两根大小进行比较,分x1x2三种情况解答.
(2)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0两种情况进行解答.
变式训练5已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.
解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}.
(2)若a>0,Δ=4-4a2.
①当Δ>0,即0②当Δ=0,即a=1时,原不等式的解集为?.
③当Δ<0,即a>1时,原不等式的解集为?.
(3)若a<0,Δ=4-4a2.
①当Δ>0,即-1②当Δ=0,即a=-1时,原不等式化为(x+1)2>0,
∴当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1}.
③当Δ<0,即a<-1时,原不等式的解集为R.
综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为?;
当0当a=0时,原不等式的解集为{x|x>0};
当-1当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};
当a<-1时,原不等式的解集为R.
专题六 不等式中的恒成立问题?
例6已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4.
(1)若x∈R时,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若x>1时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
分析(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围;
(2)通过x>1时,不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.也可分离参数m,用基本不等式求最值,得出m的取值范围.
解:(1)将不等式x2+mx>4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+4>0.
由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0故m的取值范围是(0,4).
方法技巧
分离参数法解恒成立问题
对于在区间D上,f(x)≥0(或f(x)≤0)型恒成立问
题,我们一般利用分离参数法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应二次函数的图象与性质求解,注意要讨论对称轴与区间D之间的关系,从而确定函数的最小(大)值.
变式训练6若关于x的不等式ax2-2x+2>0对于满足1方法二 依据a的取值进行分类讨论:
(1)当a=0时,-2x+2>0在(1,4)上不成立;
(2)当a<0时,函数f(x)=ax2-2x+2的图象开口向下,对称轴为直线