北师大版数学九年级下册 3.9 弧长及扇形的面积 课件（34张ppt）

第三章 圆
第9节 弧长及扇形的面积
1
课堂讲解
弧长公式
扇形面积公式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？
下面我们就来学习本节内容.
1
知识点
弧长公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A
被传送多少 厘米？
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被
传送多少 厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
知1－导
归 纳
知1－导
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
l=__________________.
（1）半径为R的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？
（5）n°圆心角所对的弧长是多少？
（1）C=2πR
（2）360°
（3）
（4）n 倍
（5）
也可以用ABl表示AB的长.
知1－讲
n°
o
⌒
⌒
知1－讲
1．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
2．易错警示：在弧长公式 l＝ 中，n表示1°的n
倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
知1－讲
制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长
度”再下料.试计算如图所示的管道 的展直长度，
即 的长（结果精确到0.1 mm).
例1
解：
R= 40mm，n = 110，所以
的长= 76.8 (mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
知1－讲
[ 中考·沈阳] 如图所示，正方形ABCD 内接于⊙ O，
AB=2 ，则AB 的长是（ ）
A. π B. π C. 2π D. π
例2
导引：如图所示，连接OA，OB，
∵正方形ABCD 内接于⊙ O，
∴ AB=BC=DC=AD.
弧AB =弧 BC = 弧DC = 弧AD，
∴∠ AOB= ×360° =90°.
在Rt △ AOB 中，由勾股定理得2AO2=（2 ）2，
解得AO=2.
∴弧AB 的长为
=π.
A
总 结
知1－讲
在弧长公式中有三个量：弧长、半径、圆心角的度数. 利用弧长公式可以解决已知这三个量中的两个量求第三个量的问题. 解题时，可以利用方程求解.
知1－练
如图，某田径场的周长(内圈)为400 m，其中两个弯道内圈(半圆形)共长 200 m,直线段共长200 m，而每条跑道宽约1 m (共6条跑道).
(1) 内圈弯道半径为多少米？(结果精确到0.1 m)
一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？
(结果精确到0.1 m)
1
知1－练
解：
(1)设内圈弯道的半径为r m．由题意知 ×2πr＝100.
解得r≈31.8.∴内圈弯道的半径约为31.8 m.
(2)设外圈弯道的半径为R m．
∵共有6条跑道，故外圈弯道的半径R＝
∴一个外圈弯道的弧长为
×2πR＝πR＝π ＝(100＋6π)(m)．
∴一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约
100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．
【中考·三明】在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
知1－练
2
B
【中考·南宁】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则BC的长等于(　　)
A.
B.
C.
D.
知1－练
3
︵
A
【中考·烟台】如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为(　　)
A. π
B. π
C. π
D. π
知1－练
4
︵
B
2
知识点
扇形面积公式
知2－导
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长
3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
知2－讲
1.半径为R的圆,面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1. S=πR2
2. 360°
3.
若设⊙O半径为R， n°的圆
心角所对的扇形面积为S，则
A
B
O
思考1：
知2－讲
思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？
扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.
知2－讲
比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：
其中l为扇形的弧长，R为半径.
知2－讲
扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求
的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精
确到0.1 cm2).
例3
解：
的长= 25.1 ( cm).
S扇形= 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约
为150.7 cm2.
知2－讲
如图所示，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.π-2 B.π-4 C. 4π-2 D.4π-4
例4
A
知2－讲
导引：
总 结
知2－讲
所谓弓形就是由弦及其所对的弧组成的图形. 求弓形的面积一般转化为求扇形与三角形的面积之差（和）.
知2－讲
如图所示，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，雨刷器AC扫过的面积为 cm2.（结果保留π）
例5
知2－讲
导引：
总 结
知2－讲
解此类以实际生活为背景的题目需分析题意，明确题目要求，将不规则图形的面积转化为学习过的规则图形的面积求解.
知2－练
如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12 cm，
其中有油的部分油面高 6cm，求截面上有油部分的
面积(结果精确到0.1 cm2).
1
知2－练
解：
如图，连接OA，OB. 设OC⊥AB于点C，交圆O于点D.
∵CD＝6 cm，OD＝OA＝12 cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，
AC＝
∴AB＝12 cm，cos ∠COA＝
∴∠COA＝60°. ∴∠AOB＝120°.
∴截面上有油部分的面积为S扇形AOB－S△AOB
＝ ≈88.4(cm2)．
【中考·兰州】如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．π＋1
B．π＋2
C．π－1
D．π－2
知2－练
2
D
【中考·桂林】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B.
C．3＋π
D．8－π
知2－练
3
D
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ 并运用公式进行计算.
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系，
1
知识小结
已知AB所对的圆周角为30°，AB所在圆的半径为30 cm，求AB的长．
∵AB所对的圆周角为30°，
∴AB所对的圆心角为60°，
∴AB的长l＝ ＝10π(cm)．
2
易错小结
︵
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解：
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易错点：对弧长公式及扇形面积公式中的n的意义理解不
充分而致错.
在公式l＝ ，S扇形＝ 中，n°是圆心角的度数，而题干给出的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要求出圆心角的度数后再代入公式计算．本题易错解为
AB的长＝ ＝5π(cm)．
易错总结：
︵
谢谢！