高三不等式总复习：常用不等式，基本不等式，均值不等式（含答案）

p D．p＝r>q
【解析】　(1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2.
所以＝＝≤＝1，
当且仅当＝，即x＝2y时取等号，此时z＝2y2，＝1，
则＋－＝＋－＝
＝≤4＝1.
(2)方法一：由题意知，p＝f()＝ln，q＝f＝ln，
r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ab＝ln.
又∵b＞a＞0，∴＞＞0.
∵函数f(x)＝ln x为增函数，∴p＝r＜q，故选B.
方法二(特值法)：令a＝1，b＝2，∴p＝f()＝ln，
q＝f＝f＝ln，r＝(ln 1＋ln 2)＝ln .
∵<，∴ln 【答案】　(1)B　(2)B
【名师点睛】
(1)含有三个变量，可以把其中一个变量用另两个变量来代替，借助基本不等式求最值；
解(2)时注意利用不等式与对数函数相结合，方法二是不等式常用的方法，特殊值法应灵活应用．
利用基本不等式求最值的类型及方法
(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．
(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．
(2015·福建文，5)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C　将(1，1)代入直线＋＝1得＋＝1，a＞0，b＞0，
故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.
基本不等式的实际应用
高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．
【典例】
2(1)(2014·福建，13)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
(2)(2012·江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
①求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【解析】　(1)设池底长为x m，宽为y m，则xy＝4，所以y＝，
则总造价为f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x
＝20＋80，x∈(0，＋∞)．
所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．
(2)①令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
②因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，
故关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，即a≤6.
所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．,
【名师点睛】
解(1)关键是列出函数关系式f(x)＝20＋80，利用基本不等式求最值；
题(2)①求炮的最大射程即求y＝kx－(1＋k2)x2(x＞0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；②求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；
(3)在定义域内，求函数的最值；
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
【针对训练】
1．(2016·江西南昌调研，5)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)
A．16 B．25 C．36 D．49
1．A　因为a，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝ab，
所以＋＝＝＝4b＋16a－20.
又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)·＝20＋4≥20＋4×2＝36，
当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．
所以＋≥36－20＝16.
2．(2016·河北五校联考，7)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m＞0，n＞0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4 C. D.
3．(2015·山东菏泽一模，10)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)
A．9 B．8 C．4 D．2
3．A　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)
＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
4．(2016·山东济南模拟，14)已知x＞0，y＞0，若＋＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】　(－4，2)
5．(2015·福建厦门模拟，14)若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________．
5．【解析】　设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，
因为x>－3，所以x＋3>0，
故f(x)≥2－3
＝2－3，
当且仅当x＝－3时等号成立，
所以a的取值范围是(－∞，2－3]．
【答案】　(－∞，2－3]
6．(2016·江苏南京一模，13)已知实数x，y满足x－＝－y，则x＋y的最大值为________．
6．【解析】　∵x－＝－y.
∴x＋y＝＋≤2，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.
【答案】　4
7．(2015·河南郑州模拟，18，12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?
7．解：方法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y＝，其中k为比例系数，且k>0.
根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
所以b＝(0所以ab＝a×＝
＝－a＋32－
＝34－
≤34－2＝18.
当a＋2＝时取等号，y达到最小值．
此时解得a＝6，b＝3.
所以当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
方法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y＝，其中k为比例系数，且k>0.
根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
即2b＋ab＋a＝30.
因为a＋2b≥2，
所以30－ab＝a＋2b≥2.
所以ab＋2－30≤0.
因为a>0，b>0，所以0当a＝2b时取等号，ab达到最大值18.
此时解得a＝6，b＝3.
所以当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
【点击高考】
1．(2013·重庆，3，易)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B. C．3 D.
2．(2012·湖南，8，难)已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．8 D．4
2．B　在平面直角坐标系中作出函数y＝|log2x|的图象如图所示，不妨设点A(x1，m)，B(x2，m)，C，D，则0＜x1＜1＜x2，0＜x3＜1＜x4，此时有－log2x1＝m，log2x2＝m，－log2x3＝，log2x4＝，解得x1＝，x2＝2m，x3＝，x4＝2，线段AC与BD在x轴上的投影长度分别为a＝|x1－x3|＝，b＝|x2－x4|＝，
则＝＝2m＋，令t＝m＋(m＞0)，则t＝m＋＝＋－≥4－＝，当且仅当＝4，即m＝时，t取最小值为，此时的最小值为8.
3．(2014·上海，5，易)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
3．【解析】　∵x2＋2y2≥2＝2·xy＝2，当且仅当x＝y时等号成立，∴x2＋2y2的最小值为2.
【答案】　2
4．(2013·天津，14，易)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．
4．【解析】　∵a＋b＝2，
∴＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1.
当且仅当＝且a＜0，即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．
【答案】　－2
5．(2010·湖北，17，12分，中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
5．解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝，
由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝.
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，
∴f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)方法一：f(x)＝＋6x
＝＋6x＋10－10
≥2－10＝70，
当且仅当＝6x＋10，即x＝5时取等号．
∴当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用最小，最小值为70万元．
方法二：f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当00.
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用达到最小，最小值为70万元．
利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1、高中阶段涉及的几个平均数：设
（1）调和平均数：
（2）几何平均数：
（3）代数平均数：
（4）平方平均数：
2、均值不等式：，等号成立的条件均为：
特别的，当时，即基本不等式
3、基本不等式的几个变形：
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当求的最小值。此时若直接使用均值不等式，则，右侧依然含有，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中为了乘积消掉，则要将拆为两个，则
② 乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
例如：已知，求的最小值
解：

（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例如：已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以
二、典型例题：
例1：设，求函数的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为
答案：
例2：已知，且，则的最大值是________
思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：
，解得：，所以最大值为4
答案：4
例3：已知实数，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。，结合分母可将条件，变形为，进而利用均值不等式求出最值
解：
，即的最小值为
答案：A
例4：已知正实数满足，则的最小值为__________
思路：本题所求表达式刚好在条件中有所体现，所以考虑将视为一个整体，将等式中的项往的形式进行构造，，而可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于的不等式，解不等式即可
解：
方程变形为：
解得：
答案：的最小值为
例5：已知，则的最小值为______________
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：
思路二：观察到表达式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，从而，设，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：
答案：3
小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解
（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元
（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验
例6：设二次函数的值域为，则的最大值为__________
思路：由二次函数的值域可判定，且，从而利用定值化简所求表达式：，则只需确定的范围即可求出的最值。由均值不等式可得：，进而解出最值
解：二次函数的值域为
答案：
例7：已知，则的最大值是________
思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以
答案：
小炼有话说：本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。
例8：已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________
思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用均值不等式换成，然后解出的范围再求最小值即可
解：


解得：或（舍）
（在时取得）
例9：已知，则的最小值是___________
思路：观察到所求的两项中部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形的分子。因为，所以，则，所以原式，因为要求得最小值，所以时，，故最小值为
答案：
小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造
例10：已知，且是常数，又的最小值是，则________
思路：条件中有，且有，进而联想到求最小值的过程中达到的最值条件与相关：，即的最小值为，所以，解得，所以
答案：7
三、历年好题精选
1、(2016，天津河西一模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2、（2016，南昌二中四月考）已知都是负实数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3、（2016，重庆万州二中）已知为正实数，且，则的最小值为________
4、（扬州市2016届高三上期末）已知且，则的最小值为________
5、已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
6、设，为坐标原点。若三点共线，则的最小值是_________
7、已知，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8、设，若，则的最大值为
9、已知，且，则的最小值是
习题答案：
1、答案：D
解析：，因为三点共线，所以，根据所求表达式构造等式为，所以有：，由均值不等式可得：，所以
2、答案：B
解析：
是正实数
3、答案：
解析：




4、答案：3
解析：
或

5、答案：A
解析：
解得：或（舍）
而
下面验证等号成立条件：解得：
所以等号成立，的最小值为
注：本题要注意到，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件
6、答案：
解析：三点共线

7、答案：A
解析：

8、答案：1
解析：
9、答案：
解析：
【综合不等式】
若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是 (　　)．
A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c|
已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>> B.>>a C.>a> D.>>a
已知a、b为非零实数，且aA．a2设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0
若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D.
已知a，b，c，d∈R且ab>0，－<－，则(　　)
A．bcad C.> D.<
给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得<成立的是________．
如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
对于①，∵ab＞0，bc－ad＞0，∴－＝＞0，∴①正确；对于②，∵ab＞0，又－＞0，即＞0，∴bc－ad＞0，∴②正确；对于③，∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0，∴ab＞0，∴③正确．
12.若a，b为实数，则“0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A　当00，则有a<；若b<0，则a<0，从而有b>，故“0”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<或b>，但ab<0，故选A.
13.已知，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵0＜x＜y＜a＜1，∴0＜xy＜1，故loga(xy)＞0，排除A，
又xy＜y＜a，故loga(xy)＞logaa＝1，排除B，
∵loga(xy)＝logax＋logay＞logaa＋logaa＝1＋1＝2，故选D。
【对指数比较大小】
1.设，则的大小关系是______________
思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以
答案：
2.设，则的大小关系是___________
思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为
答案：
3.设 则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致： ，通过比较底数的大小可得：
答案：C
4.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
思路：观察可发现：
，所以可得：
答案：D
5.设 则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上：
答案：B
6.已知三个数，则它们之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。，而，从而，大小顺序为
答案：A
小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。
7.设，则（ ）
A. B. C. D.
思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而
答案：D
8.设且，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。，而，因为，所以，所以顺序为
答案：C
9.下列四个数：的大小顺序为________
思路：观察发现，其余均为正。所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：，所以，综上所述，大小顺序为
答案：
10.已知均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。观察到，从而，所以顺序为
答案：A
小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。
若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 (　　)．
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