题型分类教案：含参导数题型分析（含答案）

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题型分类：含参导数分析复习
①求导分析函数单调性：
1.先求导、令导数=0，求出极值点
2.极值点把定义域分开，判断每个区间的导数正负，并确定单调性
3.根据单调性分析出极大值与极小值（函数值）
4.若函数定义域有端点，代入端点的函数值，并且与极大极小值比较得出最值
②含参导数求单调性：
1.先求导、令导数=0，求出极值点（按照极值是否存在展开分析：根号里的数，定义域）
2.极值点把定义域分开，判断每个区间的导数正负，并确定单调性（讨论两个极值的大小关系）
3.根据单调性分析出极大值与极小值（带参数的函数值）
4.若函数定义域有端点，代入端点的函数值，并且与极大极小值比较得出最值
【讨论点：极值点是否存在】已知函数，求函数的单调区间；
依题意，函数的定义域为，
对求导，得．（2分）
令导数=0，得，因为定义域为，
①若，对一切有，函数的单调递增区间是，无单调递减区间．
②若，当时，；当时，．
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（6分）
【讨论点：极值点大小关系】已知函数，其中．求的单调区间；
【讨论点：参数影响导数正负】已知函数．求函数的单调区间；
由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
【练习1】已知函数.讨论函数的单调性；
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当时，f′(x)＞0；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减．
【练习2】设函数.求的单调区间；
试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a， 1分
若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 2分
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增. 5分
【练习3】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，证明：；
（2）讨论函数极值点的个数.
（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证，
记，则
当时，，单调递减；当时，，单调递增
所以，即，原不等式成立.
（2）
记
（ⅰ）当时，，在上单调递增，，
所以存在唯一，且当时，；当
①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点
②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点
③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.
（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上
单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
（ⅲ）当时，
由（1）可知，对任意，从而
而对任意，所以对任意
此时令，得；令，得
所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号
此时令，得；令得
所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
综上可得：
①当或时，有两个极值点；
②当时，无极值点；
③当时，有一个极值点.
【导数求最值：直接求】已知函数， 若函数，求在区间上的最大值；
【导数求最值：知最值求参数】已知函数f(x) =x2—lnx.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (0，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值.(e是为自然对数底数）
【导数求最值：用最值分析零点】已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个零点，求的取值范围
答案：（1）①当时，增；减；②当时，增，增；减；③，增，增；减；④，R增；（2）；
解析：（Ⅰ）
①当时，解得；解得；
②当时，解得或者；解得
③，解得或者；解得
④，恒成立；
（Ⅱ）设即，当时等式不成立。当时，，设，因此；
当时单调递减，当时单调递增，而且时，，因此当时，且单调递增，当当时单调递减，而且时，，，因此函数有两个零点时a的取值范围为。
【练习1】（1）求函数的最大值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
解：（1）对求导数，.
在时，为增函数，在时为减函数，
∴，从而的最大值为.
（2）①在时，在上为增函数，且，故无零点.
②在时， 在上单增，又，
，故在上只有一个零点.
③在时，由可知在时有唯一极小值，.
若，，无零点，
若，，只有一个零点，
若，，而.
由（1）可知，在时为减函数，∴在时，，从而.
∴在与上各有一个零点.综上讨论可知：时，有两个零点.
【练习2】设函数f（x）=xlnx﹣ax+1．求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；
解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx﹣ax+1，的定义域为：x＞0，f′（x）=lnx+1﹣a，
由题意可知函数不可能是单调函数，
∴f′（x）=0，可得x=ea﹣1，当x＞ea﹣1时，f′（x）＞0；x∈（0，ea﹣1）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在[，e]上有两个零点，
可得：，解得：1．
函数f（x）在[，e]上有两个零点，a的取值范围：（1，1+]；
【练习3】已知函数（），其中无理数…．若函数有两个极值点，求的取值范围．
解：（1）， 令，，
∵有两个极值点，∴有两个不等的正实根，，
当时，，在上单调递增，不符合题意．
当时，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
又，当→时，→，∴，∴．
综上，的取值范围是．
【孤立系数法1】已知函数．若在定义域上为增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）将函数在定义域上为增函数转化为不等式在定义域上恒成立的问题去处理，并借助参数分离法求参数的取值范围；（2）对的范围进行分类讨论，确定函数在上的单调性，进而确定函数在上的最小值。
试题解析：（1）因为函数，
所以函数的定义域为． 1分
且． 2分
若在定义域上是增函数，
则在上恒成立． 3分
即在上恒成立，所以． 4分
由已知，
所以实数的取值范围为． 5分
【孤立系数法2】已知函数，.如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
【解析】
试题分析：解：（1）当时，在上是单调增函数，不符合题意．…1分
当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，不符合题意．
当时，函数在上是单调减函数， 则，解得，
综上，的取值范围是． 4分
【存在性问题与恒成立问题】设函数，求m的取值范围：
①若对任意，关于的不等式恒成立，则 ；
②若存在，使得不等式成立，则 ；
③若对任意及任意，不等式恒成立，则 ；
④若对任意，存在，使得不等式成立，则 ；
⑤若存在及，使得不等式成立，则 .
⑥若存在及，使得成立，则 .
⑦若任意，存在，使得成立，则 .
⑧若存在，任意，使得成立，则 .
答案：，，，，，，m无解，；
【解析】
试题分析：①对任意，关于的不等式恒成立, 即,恒成立,令,,只需即；②若存在，使得不等式成立,由①可知只需,即；③若对任意及任意，不等式恒成立,即,即,所以；④若对任意，存在，使得不等式成立,则,即,所以；⑤若存在及，使得不等式成立，则,即,所以.
1.已知函数，其中.若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
2.设，若函数有4不同的零点，则的取值范围为 .
3.曲线在点处的切线方程为 。
4.已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( ) A. 　B. 　C. 　D.
6.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( ) A. B. C. D.
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