(共25张PPT)
第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第2课时
二次函数y=ax2的
图象与性质
1
课堂讲解
二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
回顾旧知
1.
抛物线y=x2与y=－x2的顶点是原点，对称轴是y轴.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；
抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向
下，并且向下无限伸展.
1
知识点
二次函数y=ax2的图象
想一想
知1－导
在图中画出
y=
x2的图
象.它与y=x2，y=2x2的图象有
什么相同和不同？
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
在同一直角坐标系中画出函数y=
x2和y=2x2的图像
(1)
列表
(2)
描点
(3)
连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
函数y=
x2,
y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?
知1－讲
当a＜0时，它
的图象又如
何呢？
归
纳
知1－讲
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.
不同点：
相同点：
例1
在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和
y3＝
x2的图象，正确的是图中的( )
知1－讲
D
知1－讲
当x＝1时,
y1,
y2,
y3的图象上的对应点分别是(1,
2),
(1,
－2),
(1，
),
可知,
其中有两点在第一象限,
一
点在第四象限,
排除B,
C；在第一象限内,
y1的对应点(1,
2)在上,
y3的对应点(1，
)在下,
排除A.
导引：
1
(中考·丽水)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，
则该图象必经过点( )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
知1－练
A
函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
知1－练
2
A
【中考·赤峰】函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝
(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
知1－练
3
C
【中考·南宁】如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝
(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C
1交于点E，F，则
的值为( )
B.
C.
D.
知1－练
4
D
2
知识点
二次函数y＝ax2的性质
知2－讲
1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：
函数y＝ax2
图象
开口方向
开口大小
顶点坐标
对称轴
a＞0
向上
|a|越大，
开口越小
(0，0)
y轴(直线x＝0)
a＜0
向下
|a|越小，
开口越大
(0，0)
y轴(直线x＝0)
知2－讲
函数y＝ax2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0
当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＜0时，y随x的增大而增大
当x＝0时，
y最大值＝0
续表：
知2－讲
例2
如图所示，四个二次函数的图象分别对应的是：
①
y=ax2；②
y=bx2；
③
y=cx2；④
y=dx
2.
①与③，②与④分别关于x
轴对称.
（1）比较a，b，c，d
的大小关系；
（2）说明a
与c，b
与d
的数量关系.
导引：（1）由抛物线的开口方向，知a
＞
0，b
＞
0，c
＜
0，d
＜
0.
由抛物线的开口大小，知|a|
＞
|b|，|c|
＞
|d|，因此a
＞
b，c
＜
d.
∴
a
＞
b
＞
d
＞
c.
（2）∵①与③，②与④分别关于x
轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.
∴
a+c=0，b+d=0.
总
结
知2－讲
用特殊值法：当x=1时，四个函数值分别等于二次项系数，
∴直线x=1
与四条抛物线的交点从上到下依次为
（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
∴
a>b>d>c.
知2－讲
导引：(1)由增减性可知a－2＜0，从而可求a的取值范围；
(2)由于函数有最大值，所以其图象的开口方向向下，
从而得到3a－2＜0；
例3
根据下列条件分别求a的取值范围：
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－
x2的形状相同；
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
知2－讲
导引：(3)由两抛物线的形状相同可知|a＋2|＝
，进而求
出a的值；(4)由其图象是开口向上的抛物线，可知
进而可求出a的值．
解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜
.
(3)由题意得|a＋2|＝
，解得a1＝－
，a2＝－
.
(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，
由题知a＞0，∴a＝1.
总
结
知2－讲
二次函数y＝ax2的图象和性质都是考查a的正负性，
可以直接记性质也可以画草图.
1
(中考·玉林)抛物线y＝
x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对
称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知2－练
B
2
对于二次函数：①y＝3x2；②y＝
x2；③y＝
x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是( )
A．②>③>①
B．②>①>③
C．③>①>②
D．③>②>①
A
3
若二次函数y＝－ax2，当x＝2时，y＝
；则当x＝－2时，y＝________．
知2－练
1.
画函数图象的步骤有哪些？
2.
二次函数y=ax2的图象有哪些性质？
1
知识小结
已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
易错点：不能准确地掌握二次函数y＝ax2的图象与性质
2
易错小结
当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；
当x＝4时，y＝42＝16.
∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.
－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，
y＝16，所以最大值为16.
∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16.
错解：
诊断：
正解：
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第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第3课时
二次函数y=ax2+k
图象与性质
1
课堂讲解
二次函数y=ax2+k的图象
二次函数y=ax2+k的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
复习回顾：
二次函数y=ax?的性质
函数y＝ax2
图象
开口
方向
顶点坐标
对称轴
a＞0
向上
(0，0)
y轴(直线
x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y轴(直线
x＝0)
续表：
函数y＝ax2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0
当x＞0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大
当x＝0时，
y最大值＝0
1
知识点
二次函数y=ax2+k的图象
做一做
知1－导
1.画二次函数y=
x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行
交流.
2.二次函数y=x2+1的图象与二次函数y=x2
的图象有什么关
系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐
标分别是什么？
二次函数y
=
x2-1的图象呢？
知1－讲
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1和y=x2
－1的图像
解:
列表；
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2+1
y=x2-1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
描点；
连线.
y=x2－1
虚线为y＝x2
的图象
知1－讲
导引：根据题意，ab>0，即a，b
同号.
当a>0
时，b>0，y=ax2
的图象开口向上，过原点，y=ax+b
的图象过一、二、三象限，此时，没有选项符合.当a<0
时，b<0，y=ax2
的图象开口向下，过原点，y=ax+b
的图象过二、三、四象限，此时，D
选项符合.
例1
[
模拟·淄博博山]
当ab>0
时，y=ax2
与y=ax+b
的图象大致是下图
中的（
）
C
D
总
结
知1－讲
在同一坐标系中确定两个函数图象是否同时成立的方法：先确定一个础函数图象，再根据这个基础函数图象的位置确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的范围是否满足另一个函数图象.
1
抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取
值范围是____________．
知1－练
a＜2且a≠0
2
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交
点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B
2
知识点
二次函数y＝ax2+k的性质
知2－讲
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
函数
y＝ax2＋k(a＞0)
y＝ax2＋k(a＜0)
图象
k＞0
k＜0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，k)
(0，k)
知2－讲
函数
y＝ax2＋k(a＞0)
y＝ax2＋k(a＜0)
对称轴
y轴(或直线x＝0)
y轴(或直线x＝0)
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随
x的增大而减小
最值
当x＝0时，y最小值＝k
当x＝0时，y最大值＝k
续表：
知2－讲
总
结
知2－讲
本题考查了二次函数的性质、垂线段最短、三角形三边关系.
根据垂线段最短确定点P
的位置是解题的关键.
1
对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
知2－练
C
y=ax2+k
(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
向上
向下
(0
,k)
(0
,k)
y轴
y轴
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
二次函数y=ax2+k的图象与性质
1
知识小结
y=ax2+k
(a≠0)
a>0
a<0
极值
续表
x=0时，y最小=
k
x=0时，y最大=k
抛物线y=ax2
+k
(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|k|个单位得到.
能否通过上下平移二次函数y＝
x2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．
易错点：对平移的规律理解不透彻
2
易错小结
能．设平移后的图象对应的二次函数表达式为
y＝
x2＋b,
将点(3，－3)的坐标代入表达式，
得b＝－6.
所以平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度．
解：
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第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第1课时
二次函数y=x2与y=-x2
的图象与性质
1
课堂讲解
二次函数
y
=
x2与
y
=
-x2的图象
二次函数
y
=
x2与
y
=
-x2的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
1
知识点
二次函数
y
=
x2与
y
=
-x2的图象
知1－导
在同一直角坐标系中，画出函数y
=
x2
和
y
=－x2
的图象，这两个函数的图象相比，
有
什么共同点？有什么不同点？
知1－导
y=x2
y=－x2
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
0
－0.25
－1
－2.25
－4
－0.25
－1
－2.25
－4
x
0
－2
1
1.5
0.5
2
－1.5
－0.5
－1
函数图象画法
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
例1
作出二次函数
y＝x2的图象．
知1－讲
按列表、描点、连线三个步骤画函数的图象．
(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
解：
导引：
知1－讲
(2)描点；
(3)连线．
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
总
结
知1－讲
画二次函数y=x2
的图象时，应用平滑曲线连接相邻点，因为x的取值为全体实数，所以抛物线应向开口方向无限延伸.
已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数关系图象为(
)
知1－练
1
C
关于y＝x2与y＝－x2的图象，下列说法中错误的是( )
A．其形状相同，但开口方向相反，原因是函数
表达式的系数互为相反数
B．都关于y轴对称
C．图象都有最低点，且其坐标均为(0，0)
D．两图象关于x轴对称
知1－练
2
C
已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝x2上，则m，n之间的关系正确的是( )
A．m＝n
B．m＋n＝0
C．m＋n>0
D．m＋n<0
知1－练
3
B
如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________．
知1－练
4
2π
2
知识点
二次函数
y
=
x2与
y
=
-x2的性质
知2－导
议一议
观察二次函数y=x2与
y
=－x2的图象，你能发现什么问题？
知2－导
抛物线
y=x2
y=－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0.
当x=0时，最大值为0.
知2－导
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=－2时，y=4
当x=－1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=－2时，y=－4
当x=－1时，y=－1
当x=1时，y=－1
当x=2时，y=－4
例2
[
中考·玉林]抛物线y=x2，y=-x2
的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y
轴为对称轴；
④都关于x
轴对称.
其中正确的有（
）
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个
知2－讲
导引：抛物线y=x2
的开口向上，y=-x2
的开口向下，①错误；抛物线y=x2，y=-x2
的顶点都为（0，0），对称轴都为y
轴，②③正确；④错误.
故选B.
知2－讲
K2-2
知2－讲
总
结
知2－讲
1.根据二次函数的定义可知x
的次数是2，且系数不
能为0；
2.
抛物线有最低点意味着k2＞0，据此可求k的值；
3.
函数有最大值意味着k2＜
0，据此可求k的值.
知2－讲
y2总
结
知2－讲
代入比较法：若已知二次函数的表达式，则将几个点的横坐标分别代入，求出对应的函数值，再比较大小.
已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1知2－练
1
y1＜y2
如图，点A是抛物线y＝－x2上一点，AB⊥x轴于点B，连接AO，若B点坐标为(－2，0)，则A点坐标为____________，S△AOB＝________．
知2－练
2
(－2，－4)
4
如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1A．x<－1
B．x>2
C．－1D．x<－1或x>2
知2－练
3
D
已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
知2－练
4
C
1.研究函数图象，就是要明确该函数图象的画法、名称、
形状特征以及分布在坐标系中的位置．二次函数
y＝
x2和y＝－x2的图象都是抛物线，是轴对称图形．开口
方向、顶点、对称轴统称为抛物线的三要素．
2.二次函数y＝x2和y＝－x2图象的形状和大小完全相同，
只是开口方向不同，这两个函数的图象既关于x轴对
称又关于原点对称．
1
知识小结
函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____，最小值为______．
易错点：求函数的最值问题时忽略自变量的取值范围.
2
易错小结
0
－4
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第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第6课时
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与性质
1
课堂讲解
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
回顾旧知
y＝ax2
y＝a(x－h)2
＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a(x－h)2
＋k与y＝ax2的________相同，_______不同.
形状
位置
1
知识点
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
探究：
如何画出y＝
x2－6x＋21的图象呢？
知1－导
我们知道，像y＝a(x－h)2
＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝
x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
知1－导
y＝
x2－6x＋21
配
方
y＝
(x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶点式.
y＝
(x2－12x)＋21
y＝
(x2－12x＋36－36)＋21
y＝
(x－6)
2＋21－18
y＝
(x－6)
2＋3
1.
“提”：提出
二次项系数；
2.“配”：括
号内配成完全
平方式；
知1－导
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
知1－导
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
例1
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y=ax2+bx+c
知1－讲
知1－讲
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直
线x=
,顶点坐标是
例2.抛物线的表达式为y=x2-4x+3.
（1）将抛物线的一般式化为顶点式；
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
解：（1）∵
y=x2-4x+3=（x2-4x+4）-4+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点式为y=（x-2）2-1.
知1－讲
知1－讲
（2）列表
图像如右图所示
总
结
知1－讲
若二次函数图象与x
轴和y
轴有交点，
则最好选取交点进行描点.
在画二次函数的大致图象时，
应注意以下五点：
（1）开口方向；（2）对称轴；（3）顶点；（4）与x
轴的交点；（5）与y
轴的交点.
这种画法先研究函数图象的特点，确定图象的大致形状后，再选点就有了依据，避免了盲目性.
知1－练
【中考·眉山】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为( )
A．y＝(x－2)2＋3
B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x2－1
D．y＝x2＋4
1
C
知1－练
【中考·滨州】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是( )
A．
B．
C．
D．
2
A
2
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知2－导
思考：1.你能画出
的图象吗？
2.如何直接画出
的图象？
3.观察图象，二次函数
的性质是什么？
知2－讲
如果直接画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线y＝
x2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
知2－讲
然后描点画图，得到y＝
的图象(如图)．
从图中二次函数y＝
x2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．
知2－讲
探究：你能用上面的方法讨论二次函数
y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？
知2－讲
知2－讲
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
知2－讲
续表：
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性
当x＜－
时，y随x的增大而减小；
当x＞－
时，y随x的增大而增大
当x＜－
时，y随x的增大而增大；
当x＞－
时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－
时，y有最小
值，为
当x＝－
时，y有最大
值，为
1
(中考·广州)对于二次函数y＝－
x2＋x－4，下列说
法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x轴有两个交点
知2－练
B
知2－练
【中考·扬州】如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b≤－2
B．b＜－2
C．b≥－2
D．b＞－2
2
C
3
知识点
二次函数y=ax2
+bx+c的图形与a,b,c之间的关系
知3－讲
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
知3－讲
例3已知二次函数y=ax2+bx+c
的图象如图，有下列
结论：①
a+b+c<0；②
a-b+c>0；③
abc>0；④
b=2a.
其中正确的结论有（
）
A.
4
个
B.
3
个
C.
2
个
D.
1
个
B
总
结
知3－讲
当x=1
时，对应的函数值y=ax2+bx+c=a+b+c，观察图象可知此时抛物线上对应的点在x
轴下方，说明此时的函数值y<0，即a+b+c<0.
知3－练
【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
1
B
知3－练
【中考·毕节】一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
2
C
知3－练
【中考·安顺】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3
C
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1
知识小结
开口方向：当a＞0时，开口向上；
当a＜0时，开口向下；
顶点坐标：
对称轴：直线x＝－
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性
当x＜－
时，y随x的增大而减小；
当x＞－
时，y随x的增大而增大
当x＜－
时，y随x的增大而增大；
当x＞－
时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－
时，y有最小
值，为
当x＝－
时，y有最大
值，为
【中考?黄石】以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )
A．b≥
B．b≥1或b≤－1
C．b≥2
D．1≤b≤2
易错点：不善于结合方程的根的知识而致错
2
易错小结
A
谢谢！(共27张PPT)
第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第5课时
二次函数y=a(x-h)2+k
的图象与性质
1
课堂讲解
二次函数y=a(x-h)2+k的图象
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象的平移关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
回顾旧知
y＝ax2
k＞0
上移
y＝ax2＋k
y＝ax2
y＝a(x－h)2
k＜0
下移
顶点在y轴上
左加
右减
顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
知1－导
1
知识点
二次函数y＝a(x-h)2+k的图象
画出函数
的图像
知1－讲
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
…
知1－讲
导引：①∵
a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④
x>1
时，y
随x
的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3
个，故选C.
例2
对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
①
抛物线的开口向下；②
对称轴为直线x=1；
③
顶点坐标为（-1，3）；④
x>1
时，y
随x
的增大而减小.
其中正确结论有（
）
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个
C
总
结
知1－讲
解答抛物线y=a（x-h）2+k
的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性规律等问题，首先必须弄清顶点式y=a（x-h）2+k中a，h，k
与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a，h，k
间的关系，再结合相关知识按题目要求解答.
【中考·长沙】抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A．(3，4)
B．(－3，4)
C．(3，－4)
D．(2，4)
知1－练
1
A
2
(中考·益阳)若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
知1－练
B
二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
知1－练
3
C
2
知识点
二次函数y＝a(x-h)2+k的性质
知2－讲
观察图象得到：抛物线的开口向下，
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1,
－1).
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
知2－讲
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
抛物线
与
有什么关系?
知2－讲
导引：如图所示，当h
＜
2
时，
有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）；
当2
≤
h
≤
5
时，y=-（x-h）2
的最大值为0，不符合题意；
当h>5
时，有-（5-h）2=-1，解得h3=4（舍去），h4=6.
综上所述，h
的值为1
或6.
例3[
中考·潍坊]
已知二次函数y=-（x-h）2（h
为常数），当自变量x
的值满足2
≤
x
≤
5
时，与其对应的函数值y
的最大值为-1，则h
的值为（
）
A.
3
或6
B.
1
或6
C.
1
或3
D.
4
或6
B
知2－讲
例4
若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增
大而减小，则m的取值范围是( )
A．m＝1
B．m＞1
C．m≥1
D．m≤1
C
知2－讲
二次函数y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称轴
为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1)，在对称轴的左
侧，y随x的增大而减小．因为当x≤1时，y随x的增大
而减小，所以直线x＝1应在对称轴x＝m的左侧或与
对称轴重合，故m≥1.
导引：
【中考·泰安】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，点P从点A沿AC向点C以1
cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2
cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为( )
A．19
cm2
B．16
cm2
C．15
cm2
D．12
cm2
知2－练
1
C
3
知识点
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象间的平移关系
想一想
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象有什么关系?
知3－导
知3－讲
归
纳
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
例1
〈泰安〉将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左
平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系
式为( )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3
D．y＝3(x－2)2－3
知3－讲
导引：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移
3个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3x2＋3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左
平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3(x
＋2)2＋3.
A
总
结
知3－讲
将抛物线在平面直角坐标系中平移，关键就是顶
点坐标在发生变化，抛物线的形状和大小不变，故紧
扣顶点式y＝a(x－h)2＋k中h，k的变化即可．
【中考·宿迁】将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是( )
A．y＝(x＋2)2＋1
B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋1
D．y＝(x－2)2－1
知3－练
1
C
【中考·襄阳】将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．y＝2x2＋1
B．y＝2x2－3
C．y＝2(x－8)2＋1
D．y＝2(x－8)2－3
知3－练
2
A
【中考·绵阳】将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＞8
B．b＞－8
C．b≥8
D．b≥－8
知3－练
3
D
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点：
(1)当a>0时，
开口向上；
当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h；
(3)顶点是(h，k)
.
1
知识小结
【中考?舟山】二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
A.
B．2
C.
D.
易错点：对二次函数y＝a(x－h)2＋k在指定条件下的最值理解不透而致错
2
易错小结
D
结合二次函数的增减性及图象的开口方向，对称轴进行解答即可．
谢谢！(共27张PPT)
第二章
二次函数
第2节
二次函数的图象与性质
第4课时
二次函数y=a(x-h)2
的图象与性质
1
课堂讲解
二次函数y=a(x-h)2的图象
二次函数y=a(x-h)2的性质
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象的平移关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
二次函数
y＝ax2，y＝ax2＋k
有何位置关系？
回顾旧知
二次函数
y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位就得到二
次函数y＝ax2＋k
的图象是什么？
二次函数
y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位就得到二
次函数y＝ax2－k
的图象是什么？
y＝ax2与y＝ax2＋k
的性质呢？
前面我们学习了y＝ax2，y＝ax2＋k型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.
1
知识点
二次函数y=a(x-h)2的图象
议一议
二次函数y=
(x-1)2的图象与二次函数y=
x2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y=
(x+1)2的图象与二次函数y=
(x-1)2的图象有什么关系吗？
知1－导
知1－导
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
解:
先列表
描点
画出二次函数
与
的图像,
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-2
…
0
-0.5
-2
-0.5
-8
…
-4.5
-8
…
-2
-0.5
0
-4.5
-2
…
-0.5
x=－1
x=1
由图知：对称轴是直线x＝h，
顶点坐标是(h，0).
1
抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对
称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
知1－练
B
A
对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
C
3
知2－导
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、
增减性和最值?
2
知识点
二次函数y＝a(x-h)2的性质
知2－讲
根据图象得出二次函数y＝a(x－h)2的性质如下表：
二次函数
y＝a(x－h)2
图象的
开口方向
图象的
对称轴
图象的顶点坐标
最值
a＞0
向上
直线
x＝h
(h，0)
当x＝h时，
y最小值＝0
a＜0
向下
当x＝h时，
y最大值＝0
知2－讲
二次函数
y＝a(x－h)2
增减性
a＞0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而增大
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
续表：
知2－讲
例1
下列命题中，错误的是( )
A．抛物线y＝－
x2－1不与x轴相交
B．抛物线y＝
x2－1与y＝
(x－1)2形状相同，
位置不同
C．抛物线y＝
的顶点坐标为
D．抛物线y＝
的对称轴是直线x＝
D
知2－讲
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
x2－1与y＝
(x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
的顶点坐标为
；抛物线y＝
的对称轴是直线x＝－
.
导引：抛物线y＝－
x2－1的开口向下，顶点在y轴的
总
结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二
次函数的性质，画出图象进行判断．
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
知2－练
B
1
2
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论
成立的是( )
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
知2－练
A
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12
B．12
C．32
D．－32
知2－练
D
3
知3－讲
3
知识点
二次函数y=a（x-h）2与y=ax2图象的平移关系
问
题
前面已画出了抛物线y=－
(x+1)2，y=－
(x－1)2，在此坐标系中画出抛物线y=－
x2
(见图中虚线部分),
观察抛物线y=－
(x+1)2，y=－
(x－1)2与抛物线y=－
x2有什么关系？
抛物线
与抛物线
有什么关系?
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移1个单位
向右平移1个单位
即:
知3－讲
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线x=－2
直线x=2
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线:
x=0
在同一坐标系中作出下列二次函数:
向右平移2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
知3－讲
例2
二次函数y=－
(x－5)2的图象可有抛物线y=－
x2
沿___轴向___平移___个单位得到，它的开口向___,
顶点坐标是_______,对称轴是_________.当x=___时，
y有最____值.当x___5时，y随x的增大而增大；当
x___5时，y随x的增大而减小.
知3－讲
y=－
(x－5)2的图象与抛物线y=－
x2的形状相
同，但位置不同，y=－
(x－5)2的图象由抛物线
y=－
x2向右平移5个单位得到.
x
右
下
大
5
（5,0）
直线x=5
5
<
>
导引：
【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
知3－练
A
对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线
y＝－(x－h)2的相同点是( )
A．形状与开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点相同
D．都有最低点
知3－练
A
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
y＝ax2
y＝a(x－h)2图象
a＞0时，开口向上，最低点是顶点；
a＜0时，开口向下，最高点是顶点；
对称轴是直线x＝h，
顶点坐标是(h，0).
向右平移h个单位(h＞0)
向左平移h个单位(h＞0)
y＝a(x－h)2
y＝a(x＋h)2
1
知识小结
对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：
①它们的图象都是开口向上；
②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；
③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们图象的开口的大小是一样的．
其中正确的说法有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
易错点：函数y＝ax2＋c与y＝a(x－h)2的图象与性质区别不清
2
易错小结
B
二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
谢谢！
