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第41讲
椭圆
考情分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
INCLUDEPICTURE
"../资料备份/第10讲
函数的图象-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W387.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../资料备份/第10讲
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\
MERGEFORMAT
性质范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)>1.
经典例题
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
INCLUDEPICTURE
"../资料备份/第10讲
函数的图象-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/V261.tif"
\
MERGEFORMAT
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24
B.12
C.8
D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1
(m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴ 解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】
已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8
B.7
C.6
D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
INCLUDEPICTURE
"../资料备份/第10讲
函数的图象-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GS43.tif"
\
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设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】
设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0∴0②当焦点在y轴上，依题意m>3，且≥tan＝，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
考点四 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
【例4－1】
已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y＝1，①,\f(x,2)＋y＝1，②))
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
【例4－2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|
＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝
(k为直线斜率).
考点五 最值与范围问题
【例5】
已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(
)
因直线l与E有两个交点，即方程(
)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得则则满足条件的斜率k的取值范围为∪.
规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
【方法技巧】
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
4.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
5.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
6.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
7.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
8.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.
课时作业
1．（2018·福建省泰宁第一中学月考（文））椭圆的长轴长是（
）
A．2
B．4
C．
D．10
2．（2020·江苏海陵·泰州中学开学考试）已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
3．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（
）
A．
B．8
C．2
D．4
4．（2020·赣榆智贤中学月考）椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））椭圆的一个焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·湖北东西湖·武汉为明学校月考）椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·广西钦州一中月考（文））已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·浙江嘉兴·月考）双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2019·湖南雨花·期末（文））已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离
A．2
B．3
C．5
D．7
10．（2020·正定县弘文中学月考）焦点在x轴上的椭圆
焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（
）
A．20
B．28
C．
D．
11．（2020·河南高三其他（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（文））若椭圆的焦点是和，长轴长为10，则椭圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·广东禅城·佛山一中月考）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．
B．
C．
D．
14．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．（2019·福建省泰宁第一中学月考（文））过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于A，B两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·云南一模（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
17．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知椭圆的离心率，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
18．（多选题）（2020·全国课时练习）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（
）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2020·全国课时练习）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（
）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
20．（多选题）（2020·全国高二课时练习）（多选）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（
）
A．的周长为12
B．
C．点P到x轴的距离为
D．
21．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点
（2）经过两点
22．（2020·邢台市第二中学开学考试）
在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
23．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
24．（2020·河北桃城·衡水中学高三其他（文））如图所示椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，右焦点为，，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于点，（点在第一象限），直线与直线交于点，求点的坐标.
25．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知椭圆：的左焦点为，过点做轴的垂线交椭圆于、两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，直线不经过P点，且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由．
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精品试卷·第
2
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第41讲
椭圆
考情分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
INCLUDEPICTURE"W387.TIF"
INCLUDEPICTURE"W388.TIF"
性质范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)>1.
经典例题
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
INCLUDEPICTURE"V261.tif"
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24
B.12
C.8
D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1
(m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴ 解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】
已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8
B.7
C.6
D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
INCLUDEPICTURE"18GS43.tif"
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】
设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0∴0②当焦点在y轴上，依题意m>3，且≥tan＝，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
考点四 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
【例4－1】
已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y＝1，①,\f(x,2)＋y＝1，②))
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
【例4－2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|
＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝
(k为直线斜率).
考点五 最值与范围问题
【例5】
已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(
)
因直线l与E有两个交点，即方程(
)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得则则满足条件的斜率k的取值范围为∪.
规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
【方法技巧】
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
4.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
5.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
6.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
7.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
8.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.
课时作业
1．椭圆的长轴长是（
）
A．2
B．4
C．
D．10
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程是，
所以，
解得，
所以长轴长是
2．已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【解析】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一个焦点的距离为.
3．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（
）
A．
B．8
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由题意，
且，∴．
4．椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为椭圆中，，
所以，
得
5．椭圆的一个焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，又椭圆的焦点在轴，
椭圆的一个焦点为
6．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得，
因为椭圆的一个焦点是，所以.
7．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由椭圆的右焦点为知，
又，∴，，
所以椭圆方程为.
8．双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由双曲线方程得，，则，，
则双曲线的离心率
9．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【解析】由椭圆，可得，则，且点到椭圆一焦点的距离为，由定义得点到另一焦点的距离为，故选C.
10．焦点在x轴上的椭圆
焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（
）
A．20
B．28
C．
D．
【答案】D
【解析】解：因为焦点在x轴上的椭圆
焦距为8，所以，解得；
如图，根据椭圆的定义可得，，所以
故选：D
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设O为坐标原点，的外接圆的圆心必在线段上，
且有，得，即，所以，
所以，即椭圆C的离心率为.
12．若椭圆的焦点是和，长轴长为10，则椭圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点是和，
所以，且焦点在x轴上，
又长轴长为10，
所以
所以椭圆的方程是
13．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率
14．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】延长交延长线于N,
则
15．过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于A，B两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：左焦点上顶点，
所以直线l的方程为，即，
因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，
所以以为直径的圆的圆心为右焦点，半径为，
因为以为直径的圆与存在公共点，
所以圆心到直线的距离不大于半径，
即，即，
所以，
所以
16．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】设椭圆的方程为，
双曲线方程为，点在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得：，，
解得，，
在中，由余弦定理得：
，
即：
整理得：。
所以，，即，
当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为。
17．（多选题）已知椭圆的离心率，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】解：由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得；
18．（多选题）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
19．（多选题）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（
）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【解析】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.
对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.
对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.
对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.
20．（多选题）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（
）
A．的周长为12
B．
C．点P到x轴的距离为
D．
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；
在中，由余弦定理可得
，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；
，故D选项正确．
21．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点
（2）经过两点
【解析】（1）椭圆的焦点坐标为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设所求的椭圆方程为．
把两点代入，
得：，解得，
∴椭圆方程为．
22．在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
【解析】（Ⅰ）由点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.
由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.
设椭圆方程为.
又可得
所以动点P表示的曲线E的方程为.
（Ⅱ）证明：
易知A（-2,0），B（2,0）.
设，则，即，
则，，
即，
∴为定值．
23．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
【解析】（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．
24．如图所示椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，右焦点为，，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于点，（点在第一象限），直线与直线交于点，求点的坐标.
【解析】解：（1）由及，
可知，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）依题可设过点且斜率为的直线，，，
联立方程组，
解得，，则，，
所以，，
由（1）知，，.
所以直线，①
直线，②
由①②，解得，
所以点的坐标为.
25．已知椭圆：的左焦点为，过点做轴的垂线交椭圆于、两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，直线不经过P点，且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由．
【解析】解：（1）由题意可知，
令，代入椭圆可得，
又，
两式联立解得：，，
；
（2）①当斜率不存在时，设，，
，
得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意．
②当斜率存在时，设，
，
联立，整理得，
所以，，
，
，
此时，存在使得成立．
∴直线的方程为，即，
当，时，上式恒成立，
所以过定点．
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