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第42讲
双曲线
考情分析
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图 形
INCLUDEPICTURE
"../第41讲
椭圆-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W393.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第41讲
椭圆-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W394.TIF"
\
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性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
经典例题
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos
∠F1PF2＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos
∠F1PF2＝＝.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
INCLUDEPICTURE
"../第41讲
椭圆-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/5S40a.TIF"
\
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根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案 (1)C (2)x2－＝1(x≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
考点二 双曲线的标准方程
【例2】
(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 (1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点三 双曲线的性质
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】
双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析 法一 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二 由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】
(1)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A.
B.2
C.
D.
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋
a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.(1，2)
D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝
－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为F1(－，0)，F2(，0)，eq
\f(x,2)－y＝1，所以·＝(－－x0，
－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
[方法技巧]
1.与双曲线－＝1
(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t
(t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1
(a>0，b>0)的两条渐近线方程.
3.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，
＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
5.双曲线－＝1
(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1
(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
课时作业
1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线的离心率为，则C的虚轴长为（
）
A．4
B．
C．
D．2
2．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线的焦距是（ ）
A．4
B．
C．8
D．
3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线离心率为（
）
A．
B．2
C．
D．
4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4
B．－4
C．－
D．
6．（2020·浙江其他）双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（
）
A．2
B．
C．
D．3
7．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线的焦距为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（
）
A．
B．
C．10
D．
14．（2020·安徽高三月考（文））已知离心率为的双曲线C：的一个顶点为，直线轴，交双曲线于，两点，则取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点，若，为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点，则当|取最小值时，点P的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（
）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
18．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（
）
A．的方程为
B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点
D．直线与有两个公共点
19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线.（
）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（
）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．
D．的面积为6
21．（2020·全国课时练习）已知双曲线的一个焦点在直线上，且其一条渐近线与直线l平行，求该双曲线的方程.
22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为.
（1）求的值；
（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.
23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线
(a>0,b>0)的离心率为,
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.
24．（2020·上海高三专题练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
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精品试卷·第
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第42讲
双曲线
考情分析
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图 形
INCLUDEPICTURE"W393.TIF"
INCLUDEPICTURE"W394.TIF"
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
经典例题
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos
∠F1PF2＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos
∠F1PF2＝＝.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
INCLUDEPICTURE"5S40a.TIF"
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案 (1)C (2)x2－＝1(x≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
考点二 双曲线的标准方程
【例2】
(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 (1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点三 双曲线的性质
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】
双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析 法一 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二 由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】
(1)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A.
B.2
C.
D.
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋
a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.(1，2)
D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝
－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为F1(－，0)，F2(，0)，eq
\f(x,2)－y＝1，所以·＝(－－x0，
－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
[方法技巧]
1.与双曲线－＝1
(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t
(t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1
(a>0，b>0)的两条渐近线方程.
3.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，
＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
5.双曲线－＝1
(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1
(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
课时作业
1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线的离心率为，则C的虚轴长为（
）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的离心率为，故，
解得，所以虚轴长为.
2．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线的焦距是（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】C
【解析】由题意可得，c2＝a2+b2＝m2+12+4﹣m2＝16
∴c＝4
焦距2c＝8
3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线离心率为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，
所以，则，
所以该双曲线离心率为.
4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可得，
所以双曲线的渐近线方程为．
5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4
B．－4
C．－
D．
【答案】C
【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.
6．（2020·浙江其他）双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（
）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【解析】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为
所以双曲线的左顶点到其渐近线的距离为
7．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】双曲线与椭圆有公共焦点
由椭圆可得
双曲线离心率，
双曲线的方程为：
8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为：
过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则
所以在中，，所以
则，即
所以，即，所以，故
故选：C
9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知，，即==，
∴=，∴=，
∴的渐近线方程为.
10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线的焦距为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程得即焦距为，答案为D
11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知①，
双曲线的渐近线方程得，又因为一条渐近线方程是，
所以②，又因为③，
由①②③解得：，，
所以双曲线的方程为：
，故选：C
12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
其渐近线方程为，
圆的圆心为，半径为.
又渐近线均和圆相切，
所以圆心到渐近线的距离等于半径，即，即
圆的圆心是双曲线的右焦点，
再由双曲线，则，所以，
所求的双曲线的方程为.
13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（
）
A．
B．
C．10
D．
【答案】C
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
14．（2020·安徽高三月考（文））已知离心率为的双曲线C：的一个顶点为，直线轴，交双曲线于，两点，则取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
设，，则.
不妨设，，，，所以，
15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，焦点坐标为，，
不妨设为第一象限内的点，则，，
则，
由余弦定理得：，
，，又，，
.
16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点，若，为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点，则当|取最小值时，点P的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由条件可知，
即，解得：，，
，，
，
当三点共线时取等号，，
此时直线的斜率，直线的方程为，
联立
，解得：，
，
即点的坐标为.
17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（
）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【答案】BC
【解析】由双曲线方程，得，，，
所以实轴长，故选项A错误；
渐近线方程为，故选项B正确；
离心率，故选项C正确；
准线方程，取其中一条准线，
与的交点，
点到直线的距离，故选项D错误.
18．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（
）
A．的方程为
B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点
D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；
对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；
对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.
19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线.（
）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（
）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．
D．的面积为6
【答案】ABD
【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.
双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，
故选：ABD.
21．（2020·全国课时练习）已知双曲线的一个焦点在直线上，且其一条渐近线与直线l平行，求该双曲线的方程.
【解析】依题意得，双曲线的焦点在y轴上，又直线l与y轴的交点为，所以双曲线的一个焦点坐标为，即.
又因为直线l的斜率为，所以，解得，
故双曲线的方程为.
22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为.
（1）求的值；
（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.
【解析】（1）焦距为
（2）由（1）知，双曲线方程为：，即，
双曲线顶点坐标为，渐近线方程为：
23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线
(a>0,b>0)的离心率为,
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.
【解析】解：（Ⅰ）由题意，得，
∴，即
∴所求双曲线的渐进线方程
（Ⅱ）
由（1）得当时,
双曲线的方程为.
设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）,
∴,
∵点在圆上,∴，∴.
24．（2020·上海高三专题练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）设圆C的圆心坐标为，，由题意，
或，
所以
所以圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上,
且实轴为4，焦距为的双曲线，
，
故的圆心轨迹的方程为.
（2）过点的直线方程为，代入，
解得.
故直线与的交点为.
因为在线段外，在线段上，故，
.
若点不在上，则，
若点在处，则；
综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为
.
25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．
过点与渐近线平行的直线方程为
，即．
解方程组得
所以所求三角形的面积为．
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即．
由得．
设，，则
又，
所以
．
故．
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