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第43讲
抛物线
考情分析
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
INCLUDEPICTURE
"../第42讲
双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W398.TIF"
\
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"../第42讲
双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W399.TIF"
\
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"../第42讲
双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W400.TIF"
\
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INCLUDEPICTURE
"../第42讲
双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W401.TIF"
\
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标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
经典例题
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】
(1)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A.4
B.6
C.8
D.10
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2
B.
C.
D.3
解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.
(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案 (1)B (2)A
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】
(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A.1
B.
C.2
D.2
(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为( )
A.y2＝x
B.y2＝x
C.y2＝x
D.y2＝x
解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则＝＝＝，
则cos
∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.
(2)由题意，知直线AB必过原点，
则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，
圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，
由得或
把代入抛物线方程，
得＝2p·，解得p＝，
所以抛物线C2的方程为y2＝x.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】
(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py得y′＝，
则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，
则有p＝2.
(2)设切线AN为y＝x＋b，
又切点A在抛物线y＝上，
∴y1＝eq
\f(x,2p)，∴b＝eq
\f(x,2p)－eq
\f(x,p)＝－eq
\f(x,2p)，
切线AN的方程为yAN＝x－eq
\f(x,2p)，
同理切线BN的方程为yBN＝x－eq
\f(x,2p).
又∵N在yAN和yBN上，
∴eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,p)x－\f(x,2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(x,2p)，))解得N.
∴N(pk，－1).
|AB|＝|x2－x1|＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，
∴2＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
[方法技巧]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.
3.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
4.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
课时作业
1．（2020·江苏省镇江中学开学考试）抛物线的焦点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·福建省泰宁第一中学月考）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()
A．
B．
C．
D．或
3．（2020·云南昆明一中高三其他（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（
）
A．
B．
C．
D．1
4．（2020·沭阳县修远中学月考）抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．4
5．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））抛物线的准线方程为，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·湖北宜昌·高二期末）抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·宁夏吴忠中学期末（文））若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2019·湖北东西湖·武汉为明学校月考）对抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
9．（2019·广东月考（理））已知抛物线与双曲线的焦点相同，双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·长春市第八中学一模（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为(
)
A．
B．
C．
D．
11．（2020·四川武侯·成都七中高三开学考试（理））抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·陕西莲湖·西安一中月考（理））已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（
）
A．4
B．
C．8
D．16
14．（2020·江苏海陵·泰州中学开学考试）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（
）
A．
B．
C．或
D．或
15．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上三个不同的点，若，则有（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学其他（文））已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（
）
A．
B．
C．3
D．9
17．（2020·梅河口市第五中学其他（理））已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2020·湖北黄石港·黄石一中高二期末）经过点的抛物线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2020·全国月考）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（
）
A．的准线方程为
B．点的坐标为
C．
D．三角形的面积为（为坐标原点）
20．（多选题）（2020·山东高三其他）已知抛物线过点则下列结论正确的是(
)
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
21．（2020·青海平安一中高二月考（文））求下列各曲线的标准方程.
（1）长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点.
22．（2020·广西田阳高中高二月考（文））如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
23．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））、抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求的值；
（2）过焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，求线段的长.
24．（2020·全国高二课时练习）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
25．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
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精品试卷·第
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第43讲
抛物线
考情分析
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
INCLUDEPICTURE"W398.TIF"
INCLUDEPICTURE"W399.TIF"
INCLUDEPICTURE"W400.TIF"
INCLUDEPICTURE"W401.TIF"
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
经典例题
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】
(1)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A.4
B.6
C.8
D.10
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2
B.
C.
D.3
解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.
(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案 (1)B (2)A
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】
(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A.1
B.
C.2
D.2
(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为( )
A.y2＝x
B.y2＝x
C.y2＝x
D.y2＝x
解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则＝＝＝，
则cos
∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.
(2)由题意，知直线AB必过原点，
则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，
圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，
由得或
把代入抛物线方程，
得＝2p·，解得p＝，
所以抛物线C2的方程为y2＝x.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】
(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py得y′＝，
则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，
则有p＝2.
(2)设切线AN为y＝x＋b，
又切点A在抛物线y＝上，
∴y1＝eq
\f(x,2p)，∴b＝eq
\f(x,2p)－eq
\f(x,p)＝－eq
\f(x,2p)，
切线AN的方程为yAN＝x－eq
\f(x,2p)，
同理切线BN的方程为yBN＝x－eq
\f(x,2p).
又∵N在yAN和yBN上，
∴eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,p)x－\f(x,2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(x,2p)，))解得N.
∴N(pk，－1).
|AB|＝|x2－x1|＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，
∴2＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
[方法技巧]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.
3.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
4.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
课时作业
1．（2020·江苏省镇江中学开学考试）抛物线的焦点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，故选:D.
2．（2019·福建省泰宁第一中学月考）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【解析】根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，
所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，故选B.
3．（2020·云南昆明一中高三其他（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为，
双曲线的渐近线为，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，
又因为，所以，故选：C.
4．（2020·沭阳县修远中学月考）抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【解析】因为由焦半径公式可知，
所以，，
将点代入抛物线方程中，可得，，故选：C.
5．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））抛物线的准线方程为，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：抛物线的标准方程为，其准线方程为，
由题意得，解得，故选：A
6．（2020·湖北宜昌·高二期末）抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
抛物线的准线方程为，即，故选A
.
7．（2020·宁夏吴忠中学期末（文））若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.
8．（2019·湖北东西湖·武汉为明学校月考）对抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
【答案】B
【解析】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B
9．（2019·广东月考（理））已知抛物线与双曲线的焦点相同，双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，
∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，
设，
∴，
∴，
∴双曲线的离心率为.
10．（2020·长春市第八中学一模（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由抛物线方程，得其准线方程为：，设，，
由抛物线的性质得，，中点的横坐标为，
线段的中点到轴的距离为：.
11．（2020·四川武侯·成都七中高三开学考试（理））抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x＝－1，
线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，
因为点到直线的距离是线段长度的2倍，
所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍
设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，
所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2
12．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，
代入抛物线方程得：，
又点在第四象限，所以，故.
13．（2020·陕西莲湖·西安一中月考（理））已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（
）
A．4
B．
C．8
D．16
【答案】A
【解析】因为为抛物线的焦点，所以，
设，由抛物线的性质得：，
∴，故到的距离为4.
14．（2020·江苏海陵·泰州中学开学考试）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得
，
则抛物线的标准方程为，
当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，
则抛物线的标准方程为.
故选：C．
15．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上三个不同的点，若，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，故选：C．
16．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学其他（文））已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（
）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
17．（2020·梅河口市第五中学其他（理））已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点，设直线的方程为：
联立方程组，得
设，则有，即
由抛物线的定义可得
所以，当且仅当时等号成立
所以的最小值是
18．（多选题）（2020·湖北黄石港·黄石一中高二期末）经过点的抛物线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
19．（多选题）（2020·全国月考）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（
）
A．的准线方程为
B．点的坐标为
C．
D．三角形的面积为（为坐标原点）
【答案】ACD
【解析】如图，不妨设点位于第一象限，
设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.
由抛物线的解析式可得准线方程为，
点的坐标为，则，，
在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有，结合题意，有，
故，，.
20．（多选题）（2020·山东高三其他）已知抛物线过点则下列结论正确的是(
)
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
【答案】BCD
【解析】因为抛物线过点，
所以，
所以抛物线方程为：，焦点坐标为
对于A，，故A错误.
对于B，，所以，与联立得：，
所以，
所以，故B正确.
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为，与联立得：，
，解得，
所以切线方程为，故C正确.
对于D，
依题意斜率存在，设，与联立得：，
所以，即，则，
所以点，同理，
所以，故D正确.
21．（2020·青海平安一中高二月考（文））求下列各曲线的标准方程.
（1）长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
由已知，2a=12,e=
,
所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为（-3，0）
设抛物线的标准方程为，
其焦点坐标为，
则
即p=6
所以抛物线的标准方程为
22．（2020·广西田阳高中高二月考（文））如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
【解析】（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
23．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））、抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求的值；
（2）过焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，求线段的长.
【解析】（1）抛物线的焦点是，由题可得，解得
所以，抛物线的方程为，又点在抛物线上，所以
（2）设，直线的方程为
联立得
所以，，.
24．（2020·全国高二课时练习）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【解析】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
25．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
【解析】（1）双曲线方程可化为，
因此，所以双曲线的一个焦点是，
于是抛物线的焦点为，
则，
故抛物线的方程为．
（2）依题意，直线l的斜率一定存在，
设其为k，则l的方程为．
由可得，
设，
则．
因为，所以，即．
设，则由
得，
由于D在抛物线上，因此，可得．
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精品试卷·第
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