解析几何
[回归教材]
1．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0?相交，Δ<0?相离，Δ＝0?相切；
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相离，d＝r?相切(主要掌握几何方法).
2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行?A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交?A1B2—A2B1≠0；
(3)重合?A1B2—A2B1＝0且B1C2—B2C1＝0；
(4)垂直?A1A2＋B1B2＝0.
3．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则该点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
4．通径
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝；
(4)＋＝；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
【易错提醒】
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．
5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
[保温训练]
1．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1，2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－＋≤.故选A．]
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )
A．±
B．±1
C．±
D．±
A [设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±.故选A．]
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的左、右两个焦点，M是双曲线与椭圆＋＝1的一个公共点，则△MF1F2的面积等于( )
A．2 B．4
C．6
D．8
B [法一：由得不妨设点M是两曲线在第一象限的交点，则有M，点M到x轴的距离为，由已知可得|F1F2|＝2c＝2，故△MF1F2的面积等于×2×＝4.故选B．
法二：依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点M是两曲线在第一象限的交点，则有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F1F2|2，故△MF1F2是直角三角形，其面积为×4×2＝4，故选B．]
4．已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．x2－＝1
D．y2－＝1
C [由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.
由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.
故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C．]
5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
[如图所示，
令|PF1|＝1，在Rt△PF1F2中，由∠F1PF2＝60°，可知|PF2|＝2，|F1F2|＝，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3，2c＝，所以e＝＝.]
6．[一题两空]已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________，其离心率为________．
－＝1 2 [因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.
在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.
又c2＝a2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝＝2.]
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