立体几何
[回归教材]
1．柱体、锥体、台体侧面积公式间的关系
(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，由此可得：
S＝Ch′S＝(C＋C′)h′S＝Ch′.
(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S＝2πrlS＝π(r＋r′)lS＝πrl.
2．球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a，外接球的半径为a.
3．空间中平行(垂直)的转化关系
平行关系及垂直关系的转化示意图
【易错提醒】
1．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．
2．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
3．几种角的范围：
两条异面直线所成的角0°<α≤90°；
直线与平面所成的角0°≤α≤90°；
二面角0°≤α≤180°；
两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°；
直线的倾斜角0°≤α<180°；
两个向量的夹角0°≤α≤180°.
4．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
[保温训练]
1．[多选]下列说法正确的是
( )
A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥
ABD [在A中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；在B中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B正确；在C中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C错误；在D中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确．]
2．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )
A．6∶5
B．5∶4
C．4∶3
D．3∶2
D [设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1，S2，则S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝.故选D．]
3．[多选]设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列命题中正确的是( )
A．若l⊥α，则l与α相交
B．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
D．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
ACD [对于A，若l⊥α，则l与α不可能平行，l也不可能在α内，所以l与α相交，A正确；对于B，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则有可能是l?α，故B错误；对于C，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故D正确．故选ACD．]
4．已知E，F分别是三棱锥P?ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝6，EF＝3，则异面直线AB与PC所成的角为( )
A．120°
B．45°
C．30°
D．60°
D [设AC的中点为G，连接GF，EG(图略)，∵E，F分别是三棱锥P?ABC的棱AP，BC的中点，PC＝6，AB＝6，∴EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3.
在△EFG中，EF＝3，∴cos∠EGF＝＝－，∴∠EGF＝120°，∴异面直线AB与PC所成的角为60°.]
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论：
①EF∥平面ABCD；
②平面ACF⊥平面BEF；
③三棱锥E?ABF的体积为定值；
④存在某个位置使得异面直线AE与BF所成的角为30°.
其中正确的是________．(写出所有正确的结论序号)
①②③④ [由正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝知，在①中，连接BD，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；在②中，如图，连接CF，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥平面BDD1B1，而BE?平面BDD1B1，BF?平面BDD1B1，则AC⊥平面BEF.又因为AC?平面ACF，所以平面ACF⊥平面BEF，故②正确；在③中，三棱锥E?ABF的体积与三棱锥A?BEF的体积相等，三棱锥A?BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E?ABF的体积为定值，故③正确；在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝30°，故存在某个位置使得异面直线AE与BF所成角为30°，故④正确．]
6．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S?ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．
π [设所给半球的半径为R，则四棱锥的高h＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.]
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