概率与统计
[回归教材]
1．直方图的三个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(2)各小长方形的面积之和等于1；
(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
2．线性回归方程
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
3．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．
4．二项式定理
(1)各二项式系数之和：
①C＋C＋C＋…＋C＝2n；
②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
(2)二项式系数的性质：
①C＝C，C＋C＝C；
②二项式系数最值问题：
当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数C，C相等且最大．
(3)求两个二项式乘积的展开式中xk项(或系数)，要用系数配对．
5．八组公式
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差.
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
(8)条件概率公式
P(B|A)＝.
【易错提醒】
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．
4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
[保温训练]
1．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是( )
A． B． C． D．
C [因为x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝3，
所以＝，＝，所以样本中心点的坐标为，
代入回归直线方程得＝×＋，解得＝，故选C．]
2．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有( )
A．96
B．114
C．168
D．240
C [先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168种，故选C．]
3．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ<ξ＜μ＋σ)＝0.682
7，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954
5)
A．0.045
6
B．0.135
9
C．0.271
8
D．0.317
4
B [因为P(－3<ξ<3)＝0.682
7，P(－6<ξ＜6)＝0.954
5，所以P(3<ξ＜6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝×(0.954
5－0.682
7)＝0.135
9，故选B．]
4．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )
A．232
B．252
C．472
D．484
C [由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝560－16－72＝472(种)，选C．]
5．某商场在2020年端午节的促销活动中，对6月7日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．
12 [由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为＝30万元，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．]
6．某篮球比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4局，则此队获胜，比赛就此结束．由于参加比赛的两队实力相当，每局比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一局比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每局比赛门票收入比上一局增加10万元，则组织者在此次比赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为________．
[依题意，每局比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{an}，则易知首项a1＝40，公差d＝10，故Sn＝40n＋×10＝5n2＋35n.由Sn≥390，得n2＋7n≥78，所以n≥6.所以要使获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6局．①若比赛共进行6局，则P6＝C×＝；②若比赛共进行了7局，则P7＝C×＝.所以门票收入不少于390万元的概率P＝P6＋P7＝＝.]
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