集合、常用逻辑用语
命题点1 集合
解集合运算问题应注意的4点
(1)注意元素构成：即看集合中元素是数还是有序数对；
(2)注意限定条件：即集合中的元素有无特定范围，如集合中x∈N，x∈Z等；
(3)应用数学思想：集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．尤其是借助数轴解决集合运算时，要注意端点值的取舍；
(4)警惕空集失分：如若遇到A?B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝( )
A．{－4,1}
B．{1,5}
C．{3,5}
D．{1,3}
D [由x2－3x－4<0，得－12．(2020·合肥调研)若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1＞0}，则A∩B＝( )
A．{x|x＞1或x＜0}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2}
D．{x|x＞1}
C [法一：因为A＝{x|x(x－2)＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|x＞2}，故选C．
法二：因为A，所以(A∩B)，故排除A，B，D，选C．]
3．(2020·江西红色七校第一次联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝{x|y＝}，则(?RA)∪B＝( )
A．{x|－1≤x≤3}
B．{x|x≥3}
C．{x|x≤－1}
D．{x|x≥－1}
D [由题意知A＝{x|x＜－1或x＞3}，所以?RA＝{x|－1≤x≤3}，又B＝{x|x≥1}，所以(?RA)∪B＝{x|x≥－1}．]
4．[教材改编]已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
D [集合B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B，可得B?A，结合数轴得a≥2.故选D．]
5．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义PQ＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合PQ的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
B [由所定义的运算可知PQ＝{1,2,3,4,5}，所以PQ的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B．]
6．[多选][教材改编]已知集合A＝{x|lg
x＞0}，B＝{x|x≤1}，则下列说法正确的是( )
A．A∩B＝?
B．A∪B＝R
C．B?A
D．A?B
AB [因为A＝{x|lg
x＞0}＝(1，＋∞)，B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝?，A∪B＝R.故选AB．]
7．[多选]已知集合A＝{x|＜2}，集合B＝eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，x∈R))))，则下列说法正确的是( )
A．A∩B＝(0,3)
B．A∪B＝[－1，＋∞)
C．(?RA)∩B＝(3，＋∞)
D．A∪(?RB)＝(－∞，3)
ABD [由题意可得解得故A＝[－1,3)，B＝(0，＋∞)，故A∩B＝(0,3)，A∪B＝[－1，＋∞)，(?RA)∩B＝[3，＋∞)，A∪(?RB)＝(－∞，3)，故ABD正确．]
8．[多选]已知集合M＝{1,2,3，…，n}(n∈N
)，若集合A＝{a1，a2}?M，且对任意的b∈M，存在λ，μ∈{－1,0,1}，使得b＝λai＋μaj，其中ai，aj∈A,1≤i≤j≤2，则称集合A为集合M的基底．下列集合中不能作为集合M＝{1,2,3,4,5,6}的基底的是( )
A．{1,5}
B．{3,5}
C．{2,3} D．{2,4}
ABD [若以{1,5}为基底，设3＝λ×1＋μ×5，当λ＝－1时，μ＝，不符合题意；当λ＝0时，μ＝，不符合题意；当λ＝1时，μ＝，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}，使得3＝λ×1＋μ×1或3＝λ×5＋μ×5，故{1,5}不能作为集合M的基底．
若以{3,5}为基底，设1＝λ×3＋μ×5，当λ＝－1时，μ＝，不符合题意；当λ＝0时，μ＝，不符合题意；当λ＝1时，μ＝－，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}使得1＝λ×3＋μ×3或1＝λ×5＋μ×5，故{3,5}不能作为集合M的基底．
若以{2,3}为基底，1＝－1×2＋1×3,2＝1×2＋0×3,3＝0×2＋1×3,4＝1×2＋1×2,5＝1×2＋1×3,6＝1×3＋1×3，故{2,3}能作为集合M的基底．
若以{2,4}为基底，设1＝λ×2＋μ×4，当λ＝－1时，μ＝，不符合题意；当λ＝0时，μ＝，不符合题意；当λ＝1时，μ＝－，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}使得1＝λ×2＋μ×2或1＝λ×4＋μ×4，故{2,4}不能作为集合M的基底．
综上，选ABD．]
命题点2 常用逻辑用语
求解常用逻辑用语问题的3个易失分点
(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念；
(2)命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论；
(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词．
[高考题型全通关]
1．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由a2＞a得a＞1或a＜0，反之，由a＞1得a2＞a，则“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A．]
2．(2020·济南模拟)已知命题p：?x＞0，lg
x＞0，则﹁p为( )
A．?x＞0，lg
x≤0
B．?x0＞0，lg
x0＜0
C．?x＞0，lg
x＜0
D．?x0＞0，lg
x0≤0
D [全称命题的否定是特称命题，需把全称量词改为存在量词，并否定结论，所以﹁p为?x0＞0，lg
x0≤0，故选D．]
3．下列命题中，为真命题的是( )
A．?x0∈R，e≤0
B．?x∈R，2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1
D [因为ex＞0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2x＝x2，所以选项B错误．当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时无意义，所以也不可能推出＝－1；当＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0.故a＋b＝0的充分不必要条件是＝－1，故选项C错误．假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y＞2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．]
4．(2020·北京高考)已知α，β∈R，则“存在k∈Z”使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sin
α＝sin(2nπ＋β)＝sin
β；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1)π－β，则sin
α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin
β.若sin
α＝sin
β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，k∈Z，故选C．]
5．[多选]下列命题正确的是( )
A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
ABD [若＜1，则a＞1或a＜0，则“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“?x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD．]
6．[多选]已知a，b为实数，则下列是ln
a＞ln
b的必要不充分条件的是( )
A．＞
B．ac2＞bc2
C．a2＞b2
D．2a＞2b
ACD [ln
a＞ln
b?0＜b＜a.易知A，C，D都是ln
a＞ln
b的必要不充分条件．对于B，由ac2＞bc2不一定能得到ln
a＞ln
b，且由ln
a＞ln
b不一定能得到ac2＞bc2，故ac2＞bc2是ln
a＞ln
b的既不充分也不必要条件，故选ACD．]
7．[多选]直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是( )
A．m2≤1
B．m≥－3
C．m2＋m－12＜0
D．＞1
BC [若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交，则＜1，解得－＜m＜.A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}?{m|－＜m＜}，所以m2≤1不是－＜m＜的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}?{m|－＜m＜}，所以m≥－3是－＜m＜的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3}?{m|－＜m＜}，所以m2＋m－12＜0是－＜m＜的必要不充分条件；D项中，由＞1，得0＜m＜3，所以＞1不是－＜m＜的必要不充分条件．]
8．[多选]下列说法正确的是( )
A．“x＝”是“tan
x＝1”的充分不必要条件
B．定义在[a，b]上的偶函数f
(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30
C．命题“?x0∈R，x0＋≥2”的否定是“?x∈R，x＋＞2”
D．函数y＝sin
x＋cos
x＋无零点
AB [由x＝，得tan
x＝1，但有tan
x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan
x＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数f
(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则得则f
(x)＝x2＋5，在[－5,5]上的最大值为30，所以B是正确的；命题“?x0∈R，x0＋≥2”的否定是“?x∈R，x＋＜2”，所以C是错误的；当x＝时，y＝sin
x＋cos
x＋＝0，故D是错误的．]
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