平面向量与复数
命题点1 平面向量的线性运算
记牢向量共线问题的4个结论
(1)若a与b不共线且λa＝μ
b，则λ＝μ＝0；
(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线?＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)；
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b?＝.
[高考题型全通关]
1．[教材改编]已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，若向量＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4)
B．(3,7)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
D [因为＝(2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(－1，－1)，即＝＝(－1，－1)，故选D．]
2．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝( )
A．－
B．－
C．＋
D．＋
A [因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－.故选A．]
3．[多选]设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin
α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A．
B．
C．
D．
CD [因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0，即≠0.因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin
α·b＝2λa－λb，所以解得sin
α＝－.又α∈(0,2π)，故α可为或.故选CD．]
4．[多选]已知向量a＝(1，－2)，b＝(t,1)，若a＋b与3a－2b共线，则下列结论正确的是( )
A．t＝
B．|b|＝
C．a·b＝－
D．a∥b
BCD [由已知可得a＋b＝(1，－2)＋(t,1)＝(t＋1，－1)，3a－2b＝3(1，－2)－2(t,1)＝(3－2t，－8)，因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×(t＋1)＋1×(3－2t)＝0，得到t＝－，则|b|＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b，故选BCD．]
5．已知G是△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，则当△ABC与△APQ的面积之比为20∶9时，实数λ的值为________．
或 [设＝μ，则由＝λ，＝，
可得＝＝，
所以λμ＝.
①
又G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，结合P，G，Q三点共线，得＋＝1.
②
联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝或.]
6．[一题两空](2020·烟台模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上有一点M满足＝m＋(m∈R)，则m＝________，·＝________.
－ [法一：设＝λ，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，所以＝＋＋＝＋＋λ＝＋＋λ(－)＝(1－λ)＋.又＝m＋，所以1－λ＝m，＋λ＝，所以λ＝，m＝，所以＝＋，所以·＝·(－)＝2－2＋·.因为在棱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝×4－×4＋×2×2×cos
60°＝－.
法二：设AM与BD交于点P，则＝＝m＋，因为B，P，D三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，所以＝＋，所以·＝·(－)＝2－2＋·.因为在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝×4－×4＋×2×2×cos
60°＝－.]
命题点2 平面向量的数量积
平面向量的数量积的运算的2种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
[高考题型全通关]
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B．]
2．[多选]已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2,4)，则( )
A．a∥b
B．(a＋b)·a＝－5
C．b⊥(a－b)
D．2|a|＝|b|
ABD [因为1×4＝－2×(－2)，所以a∥b.又a＋b＝(－1,2)，所以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3，－6)，b·(a－b)≠0，所以C错误．|a|＝，|b|＝2，2|a|＝|b|，故选ABD．]
3．已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，|a|＝|b|，则a，b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
B [依题意得(a－2b)·a＝0，所以a2＝2a·b，又|a|＝|b|，所以|a|2＝2|a|2·cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝，即a，b的夹角为，故选B．]
4．[多选]已知|a|＝1，|b|＝，且|a＋2b|＝，则有( )
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a·b＝－
C．向量a与b的夹角为150°
D．a在b方向上的投影为
AC [因为|a|＝1，|b|＝，所以(a＋b)·(a－b)＝3a2－b2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故A正确；由|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝7，故a·b＝－，则B错误；设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝－，所以θ＝150°，故C正确；a在b方向的投影为|a|cos
θ＝－，故D错误．]
5．(2020·大同调研)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D，E，使＝2，＝3，那么·＋·＝( )
A．－6
B．6
C．－3
D．3
D [由＝2，得－＝2(－)，得＝＋.
由＝3，得－＝3(－)，得＝－＋.
因为∠C＝，即⊥，所以·＝0.
则·＋·＝·＋·＝2－2＝3，故选D．]
6．[多选]已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则( )
A．若a∥b，则x＝－2
B．若x＝1，则|b－a|＝
C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°
D．若a＋2b与a垂直，则x＝3
ABD [由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1，则b＝(2,1)，|b－a|＝|(2,1)－(1，－1)|＝＝，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．]
7．[一题两空]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cos
A＝，D是边BC的中点，E是AB上一点，且＝λ(0≤λ≤1)，·＝，则λ＝________，·＝________.
0 [由已知得·＝3×2×＝，＝－＝λ－，所以·＝λ·(λ－)＝λ22－λ·＝9λ2－λ＝，因为0≤λ≤1，所以λ＝.因为＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝－，所以·＝(＋3)·(－)＝(－2－2·＋32)＝0.]
8．[一题两空](2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
[依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为.]
命题点3 复数
掌握复数代数形式的运算的方法
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可；
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－i
D．i
D [
∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝－i，∴z＝i，故选D．]
2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
C [法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．
法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．
法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B．故选C．]
3．(2020·四川五校联考)已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
A [(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i，由于(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，故解得a＝－，故选A．]
4．(2020·青岛模拟)复数z满足＝1－i，则|z|＝( )
A．2i
B．2
C．i
D．1
D [法一：z＝＝＝i，则|z|＝1.
法二：|z|＝＝＝1.]
5．[多选]已知z满足(i＋2)z＝1－i，记z的共轭复数为，则下列说法正确的是( )
A．|z|＝2
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．的虚部为
D．的实部为
BCD [由题意得z＝＝＝＝－i，所以|z|＝，故A不对；易知z在复平面内对应的点位于第四象限，故B对；＝，所以的虚部为，实部为，故CD对．故选BCD．]
6.[多选][教材改编]已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的是( )
A．复数z的虚部为－5
B．复数z的共轭复数＝1－5i
C．|z|＝
D．z在复平面内对应的点位于第三象限
ACD [z＝(a－i)(3＋2i)＝3a＋2＋(2a－3)i，则3a＋2＝－1，解得a＝－1，所以其虚部为2a－3＝2×(－1)－3＝－5，故A正确；z＝－1－5i，其共轭复数＝－1＋5i，故B错误；|z|＝＝，故C正确；z在复平面内对应的点为(－1，－5)，位于第三象限，故D正确．]
7．[多选]已知复数z＝－1＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若复数ω＝，则下列结论正确的是( )
A．ω在复平面内对应的点位于第二象限
B．|ω|＝1
C．ω的实部为－
D．ω的虚部为i
ABC [ω＝＝＝＝＝－＋i，ω在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，|ω|＝＝1，ω的实部为－，虚部为.故选ABC．]
8．[多选]已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A．若z1＋z2是实数，则z1与不一定相等
B．若|z1|＝|z2|，则z＝z
C．若z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若z＋z＞0，则z＞z
AC [当z1＝2，z2＝3时，z1＋z2＝5∈R，但＝3，z1≠，故A正确；当z1＝1＋i，z2＝1－i时，|z1|＝，|z2|＝，|z1|＝|z2|，但z＝2i，z＝－2i，z≠z，故B错误；设z2＝a＋bi(a∈R，b≠0)，则z1＝＝a－bi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，－b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，－b)与点(a，b)关于实轴对称，故C正确；设z＝2＋2i，z＝1－2i，z＋z＞0，但由于z，z不能比较大小，故D错误．]
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