不等式
命题点1 不等式的性质及解法
1．解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f
(x)＞a对一切x∈I恒成立?f
(x)min＞a，f
(x)＜a对一切x∈I恒成立?f
(x)max＜a；
(2)f
(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立?f
(x)的图象在g(x)的图象的上方；
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
[高考题型全通关]
1．[多选]若＜＜0，则下列不等式中正确的是( )
A．a＋b＞ab
B．|a|＜|b|
C．a＜b
D．＋＞2
BD [若＜＜0，则a＜0，b＜0，且a＞b，所以a＋b＜0，ab＞0，故A错；a＜0，b＜0，且a＞b，显然|a|＜|b|，故B正确；显然C错；由于a＜0，b＜0，故＞0，＞0，则＋≥2＝2(当且仅当＝，即a＝b时取“＝”)．又a＞b，所以＋＞2，故D正确．故选BD．]
2．[多选]已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2＜－ab
B．|a|＜|b|
C．＞
D．＜
CD [当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，∴A，B不一定成立．∵a＞0＞b，∴b－a＜0，ab＜0，∴－＝＞0，∴＞一定成立．又y＝单调递减，∴＜，故选CD．]
3．[教材改编]已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )
A．2
B．－2
C．－
D．
B [根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×＝－，解得a＝－2.故选B．]
4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．∪{2}
B [当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2＜a＜.综上，实数a的取值范围为.故选B．]
5．(2020·浙江高考)已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则( )
A．a＜0
B．a＞0
C．b＜0
D．b＞0
C [法一：若a，b,2a＋b互不相等，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；
若a＝b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；
若a＝2a＋b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；
若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；
若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾．
综上，b＜0，故选C．
法二：特殊值法：当b＝－1，a＝1时，(x－1)(x＋1)(x－1)≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，(x＋1)(x－1)(x＋1)≥0在x≥0时不一定成立．故选C．]
6．[一题两空]设函数f
(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f
(x)＜0的解集是(1,5)，则f
(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f
(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
2x2－12x＋10 [－10，＋∞) [由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f
(x)＝2x2－12x＋10.不等式f
(x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.]
命题点2 基本不等式
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
[高考题型全通关]
1．[多选]下列不等式的证明过程错误的是( )
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若a＜0，则a＋≥－2＝－4
C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2
D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2
ABC [由于，的符号不定，故选项A错误；∵a＜0，∴a＋＝－≤－2＝－4，故B错误；由于lg
a，lg
b的符号不定，故选项C错误；∵2a＞0,2－a＞0，∴2a＋2－a≥2＝2，故选项D正确．故选ABC．]
2．(2020·枣庄模拟)已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3
B．4 C．5 D．6
C [由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取等号，故m＋n的最小值为5.故选C．]
3．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为( )
A．
B．2
C．
D．3
C [∵P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，∴＋＝·(a2＋b2)＝≥＝，当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝.故选C．]
4．(2020·惠州第一次调研)已知x＞，则函数y＝4x＋的最小值为________．
7 [当x＞时，y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，即y＝4x＋的最小值为7.]
5．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
4 [∵x＞0，y＞0，∴＞0.
∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4.
当且仅当2＝时取等号．
∴的最小值为4.]
6．[一题两空]若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．
2 [由log2x＋log2y＝1，得log2(xy)＝1，即xy＝2，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时等号成立．由题意知＝＞0，又＝(x－y)＋≥2＝4，当且仅当x－y＝，即x＝1＋，y＝－1时等号成立，所以的最小值为4，所以的最大值为.]
7．[一题两空]已知四面体ABCD的所有棱长都为，O是该四面体内一点，且点O到平面ABC，平面ACD，平面ABD，平面BCD的距离分别为，x，和y，则x＋y＝________，＋的最小值是________．
[棱长为的正四面体的体积V＝×()3＝，每个面的面积为××sin
60°＝，由等体积法可得V＝V＋V＋V＋V＝××＝，即x＋y＝.∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当即时等号成立，∴＋的最小值为.]
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