概率与统计
命题点1 用样本估计总体
用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意4点
(1)频率分布直方图的纵轴是，而不是频率；
(2)在频率分布直方图中，每个小长方形的面积才是相应区间的频率；
(3)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数；
(4)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数．
[高考题型全通关]
1．(2020·惠州第一次调研)某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20]，(20，22.5]，(22.5，25]，(25，27.5]，(27.5，30]．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不超过22.5小时的人数是( )
A．68 B．72 C．76 D．80
B [这320名学生中每周的自习时间不超过22.5小时的人数是(0.07＋0.02)×2.5×320＝72，故选B．]
2．[多选]某地4月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与同年3月份相比)变动情况，如下表：
4月份居民消费价格分类别环比涨跌幅
则下列叙述正确的是( )
A．八大类消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品和服务环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．4月份居民消费平均价格环比持平
ABC [在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，另外四类分别上涨，A正确；其中其他用品和服务环比涨幅最大，为0.4%，B正确；生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅均为0.1%，C正确；居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%＋0.3%＋0.1%＋0.4%)÷8＝0.112
5%，D错误．故选ABC．]
3．[多选]AQI是表示空气质量的指数，AQI的值越小，表明空气质量越好，当AQI的值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日AQI的值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI的值为201.则下列叙述正确的是( )
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是3月9日
C．这12天的AQI的值的中位数是90.5
D．从3月4日到9日，空气质量越来越好
ABD [由3月1日到12日AQI的值的统计数据知，AQI的值不大于100的共有6天，故A正确；由3月1日到12日AQI的值的统计数据知，3月9日AQI的值为67，空气质量最好，故B正确；由3月1日到12日AQI的值的统计数据知，这12天的AQI的值的中位数是99.5，故C错误；由3月1日到12日AQI的值的统计数据知，从3月4日到9日，AQI的值逐渐变小，空气质量越来越好．故D正确．故选ABD．]
4.[多选]根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：
则下列说法正确的是( )
A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况
B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加
C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质
D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%
ABD [由饼图知，对于A、B，2017年、2018年Ⅰ～Ⅱ类水质占的总比例分别为46.4%、60.4%，Ⅰ～Ⅲ类水质占的总比例分别为82.5%、87.5%，所以2018年的水质情况好于2017年的水质情况，故A正确，同时也可知2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故B正确．对于C，2018年与2017年相比较，Ⅳ类水质比例减小了2.5%、Ⅲ类水质比例减小了9%，2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C错误．对于D，2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为60.4%，故D正确．故选ABD．]
5．[多选]某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80，90]，(90，100]，(100，110]，(110，120]，(120，130]，(130，140]，(140，150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )
A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分
B．估计本次考试数学成绩的众数为115分
C．估计本次考试数学成绩的中位数为114分
D．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数
ABC [由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A正确．由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B正确．前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在(110，120]之间，中位数为110＋×10≈114(分)，C正确．因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩110分以上的人数多于110分以下的人数．故选ABC．]
6．[多选]根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3＋3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生的选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到排名前4的选课组合，如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科．根据统计数据，下列判断正确的是( )
学科人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
124
√
√
×
×
×
√
101
×
×
√
×
√
√
86
×
√
√
×
×
√
74
√
×
√
×
√
×
A．前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向于选择两理一文组合
B．前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数
C．整个高一年级，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数
D．整个高一年级，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数
ABC [前4种组合中，选择生物学科的学生有三类：“生物＋历史＋地理”有101人，“生物＋化学＋地理”有86人，“生物＋物理＋历史”有74人．选择两理一文的有86＋74＝160(人)，选择两文一理的有101人，故选择生物学科的学生更倾向于选择两理一文组合，故A正确．前4种组合中，选择两理一文的学生有三类：“物理＋化学＋地理”有124人，“生物＋化学＋地理”有86人，“生物＋物理＋历史”有74人，共计124＋86＋74＝284(人)．选择两文一理的学生有一类：“生物＋历史＋地理”有101人，284＞101，故B正确．整个高一年级，选择地理学科的学生总人数至少为124＋101＋86＝311，选择物理学科的总人数至多为425－(101＋86)＝238，选择化学学科的总人数至多为425－(101＋74)＝250，选择生物学科的总人数至多为425－124＝301，选择政治学科的总人数至多为425－(124＋101＋86＋74)＝40，选择历史学科的总人数至多为425－(124＋86)＝215，故C正确．整个高一年级，选择物理学科的总人数至多为425－(101＋86)＝238，选择生物学科的总人数至少为101＋86＋74＝261，故D错误．综上所述，选ABC．]
7．[多选]某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是
( )
2018年家庭支出比例
①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他
2019年家庭支出比例
①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他
A．2019年日常生活支出减少
B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上
C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上
D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上
BD [设2018年的总支出为x，则2019年的总支出为1.5x，2018年日常生活支出为0.35x，2019年日常生活支出为0.34×1.5x＝0.51x，故2019年日常生活支出增加，A错误；2018年保险支出为0.05x，2019年保险支出为0.07×1.5x＝0.105x，B正确；2018年其他支出为0.05x，2019年其他支出为0.09×1.5x＝0.135x，(0.135x－0.05x)÷0.05x＝1.7，故C错误；2018年日常生活支出和房贷支出之和为0.65x，超过2018年总支出的一半，2019年日常生活支出和房贷支出之和为0.59×1.5x＝0.885x，超过2019年总支出的一半，故D正确．]
8．[多选]采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用．制造业PMI在50%以上，通常反映制造业总体扩张，低于50%，通常反映制造业总体衰退．如图是2019年10月到2020年10月我国制造业PMI的统计图，下列说法正确的是( )
制造业PMI(经季节调整)
注：50%＝与上月比较无变化
A．大部分月份制造业总体衰退
B．2020年3月制造业总体扩张最大
C．2019年11月到2020年10月中有3个月的PMI比上月增长
D．2020年10月份，PMI为49.3%，比上月下降0.5个百分点
ABD [根据折线图可知，大部分月份制造业总体衰退，A正确；2020年3月制造业总体扩张最大，B正确；2019年11月到2020年10月中有4个月的PMI比上月增长，C错误；2020年10月PMI为49.3%，比上月下降0.5个百分点，D正确．故选ABD．]
命题点2 变量的相关关系、统计案例
1．回归直线一定过样本点的中心(，)．
2．K2的观测值k越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．
[高考题型全通关]
1．(2020·合肥调研)某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：
月份x
2
3
4
5
6
销售额y/万元
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
根据上表可得到回归直线方程＝0.75x＋.据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为
( )
A．19.5万元
B．19.25万元
C．19.15万元
D．19.05万元
D [由表中数据，得＝＝4，＝＝16.8.因为回归直线过样本点的中心，所以16.8＝0.75×4＋，解得＝13.8，所以回归直线方程为＝0.75x＋13.8，所以该公司7月份这种型号产品的销售额为＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元)，故选D．]
2．[多选](2020·惠州第二次调研改编)下列说法正确的是( )
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是分层抽样
B．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在回归直线方程＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位
CD [A中所描述的抽样方法属于系统抽样，不是分层抽样，故A错误；概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；在回归直线方程＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D正确．]
3．为了判断高中生是否选修理科与性别的关系，现随机调查了50名学生，得到如下的2×2列联表：
选修理科
选修文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
根据表中的数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，若P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，则认为高中生是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为( )
A．2.5%
B．5%
C．1%
D．10%
B [因为4.844＞3.841，P(K2≥3.841)≈0.05，所以认为是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为5%.]
4．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的2×2列联表：
爱好
不爱好
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
参照附表，得到的正确结论是( )
P(K2≥k)
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
A．有99.5%以上的把握认为是否爱好该项运动与性别有关
B．有99.5%以上的把握认为是否爱好该项运动与性别无关
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为是否爱好该项运动与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为是否爱好该项运动与性别无关
A [由题得K2的观测值k＝≈8.333，因为8.333＞7.879，所以有99.5%以上的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．故选A．]
5．[多选]随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养的要求逐渐提高．据了解，烧烤食品含有强致癌物，因此吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也随之减少．某市对2015年至2019年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码t
1
2
3
4
5
盈利店铺的个数y
260
240
215
200
180
根据所给数据，得出y关于t的回归直线方程为＝t＋273，则下列说法正确的是
( )
A．该市2015年至2019年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数＝219
B．y关于t的回归值直线方程为＝－18t＋273
C．估计该市2021年烧烤店盈利店铺的个数为147
D．预测从2026年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100
ABC [由已知数据得＝3，＝219，因为y关于t的回归直线过点(3，219)，所以219＝3＋273，所以＝－18，所以y关于t的回归直线方程为＝－18t＋273.2021年的年份代码为7，故2021年该市烧烤店盈利店铺的个数约为y＝－18×7＋273＝147.令－18t＋273≤100，由t∈N
，得t≥10，t∈N
，故从2024年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故选ABC．]
6．[多选]2020年是中华人民共和国成立七十一周年，中华人民共和国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是中共十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2014年到2019年六年间我国公共图书馆业机构数与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2014年编号为1，2015年编号为2，…，2019年编号为6，把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变量进行回归分析)，得到回归直线方程为＝13.743x＋3
095.7，其相关指数R2＝0.981
7，下列结论正确的是( )
A．公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强
B．在2015～2019年间，2017年公共图书馆业机构数增加量最多
C．公共图书馆业机构数平均每年增加13.743
D．可预测2020年公共图书馆业机构数为3
190
AC [因为散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，因为R2＝0.981
7接近于1，所以公共图书馆业机构数与年份编号的相关性较强，故A正确；由题图可知，在2015～2019年间，2016年公共图书馆业机构数增加量最多，故B错误；因为回归直线的斜率为13.743，所以公共图书馆业机构数平均每年增加13.743，故C正确；将x＝7代入回归直线方程＝13.743x＋3
095.7，解得＝3
191.901≈3
192，所以可预测2020年公共图书馆业机构数为3
192，故D错误．综上所述选AC．]
命题点3 古典概型、条件概率、相互独立事件与独立重复试验
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
提醒：利用独立重复试验的概率公式计算概率时，其计算量往往很大，计算时要小心谨慎，以确保计算正确．
[高考题型全通关]
1．(2020·西安模拟)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为( )
A． B． C． D．
D [10以内的素数有2，3，5，7，共4个，从中任取2个构成的素数对有A个．根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对(3，5)，(5，7)为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P＝＝，故选D．]
2．[教材改编]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时仍然完好，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )
A．0.75
D．0.46
C．0.6
D．0.48
A [设事件A表示“一个这种元件使用寿命超过2年”，事件B表示“一个这种元件使用寿命超过1年”，由题知P(AB)＝0.6，P(B)＝0.8，P(A|B)＝＝＝0.75.]
3．[新情境]2019年山东鲁南高铁的开通，使得山东省内高铁实现环形贯通，高铁环形列车途经济南、泰安、济宁、临沂、日照、青岛、潍坊、淄博8个地市，仅需6个多小时，乘客便能乘高铁环游齐鲁，短时间内吃遍泉水宴、孔府菜、博山菜等地道鲁菜成为可能．小王打算从泰安乘坐此环线的高铁去这几个地市旅游，最终乘坐此环线的高铁回家，他在该路线的其他地市下车与不下车是等可能的，则他恰好在其中3个地市(不含泰安)下车的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [根据题意知，恰好在其中3个城市(不含泰安)下车的概率P＝＝＝.]
4．[多选]近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、其他垃圾、有害垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1
000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾的总投放质量/千克
400
100
100
可回收物的总投放质量/千克
30
240
30
其他垃圾的总投放质量/千克
20
20
60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是( )
A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差是20
000
ACD [厨余垃圾投放正确的概率P1＝＝.居民生活垃圾投放错误的概率P2＝＝.易知该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差是s2＝＝20
000.故选ACD．]
5．(2020·济宁模拟)某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2∶2∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，再从所抽取样本中选2人进行问卷调查，则至少有1人是高一学生的概率为________．
[从高一、高二、高三所抽取的人数分别为4，4，2，再从所取样本中选2人进行问卷调查的总的情况数为C＝45，则至少有1人是高一学生的情况数为CC＋C＝4×6＋6＝30，故至少有1人是高一学生的概率为＝.]
6．随着电商的流行，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿、物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”．现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为________．
[每轮测试中有2家公司排名不变的概率为＝＝，因而3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C××＝.]
7．(2020·石家庄模拟)有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，用小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．
[小目标M被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了，所以小目标M被套上的概率P＝×＋×＋×＝.]
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