三角函数的概念、图象与性质
命题点1 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1．同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α建立联系，注意tan
α＝的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sin
α＝tan
α·cos
α的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ2.利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．提醒：“奇变偶不变，符号看象限”．
[高考题型全通关]
1．(2020·长春质量监测一)中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A．(3－)π
B．(－1)π
C．(＋1)π
D．(－2)π
A [设扇形的圆心角的弧度数为θ，其所在圆的半径为r，则＝＝，解得θ＝(3－)π，故选A．]
2．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y＝3x重合，且sin
α＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝(O为坐标原点)，则m－n等于( )
A．2
B．－2 C．4 D．－4
A [因为P(m，n)在直线y＝3x上，所以n＝3m ①，又sin
α＜0，所以m＜0，n＜0.由|OP|＝，得m2＋n2＝10 ②.联立①②，并结合m＜0，n＜0，可得m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2，故选A．]
3．(2020·四川五校联考)已知sin
α＋cos
α＝2，则tan
α＝( )
A．
B．
C．－
D．－
A [法一：由得4cos2α－4cos
α＋3＝(2cos
α－)2＝0，得cos
α＝，则sin
α＝，所以tan
α＝＝，故选A．
法二：sin
α＋cos
α＝2＝2sin＝2，故sin＝1，可得α＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ＋，k∈Z，所以tan
α＝tan＝tan＝，故选A．]
4．设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )
A．25
B．50
C．75
D．100
D [当1≤n≤24时，an＞0；当26≤n≤49时，an＜0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an＞0；当76≤n≤99时，an＜0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn＞0.故选D．]
5．[教材改编]已知sin
α和cos
α是方程4x2＋2x＋m＝0的两个实数根，则sin3α－cos3α＝________.
± [由根与系数的关系，
得sin
α＋cos
α＝－，sin
αcos
α＝，
∵(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
α·cos
α，
∴＝1＋，解得m＝1.
∴sin
αcos
α＝，∴sin
α＜0，cos
α＜0，
则α为第三象限角．
∴sin3α－cos3α＝(sin
α－cos
α)·(sin2α＋sin
α·cos
α＋cos2α)＝(sin
α－cos
α)·(1＋sin
α·cos
α)＝(sin
α－cos
α)．
而(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－＝，
当sin
α＞cos
α，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)时，sin
α－cos
α＝，此时，sin3α－cos3α＝；
当sin
α＜cos
α，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)时，sin
α－cos
α＝－，此时sin3α－cos3α＝－.
综上，sin3α－cos3α＝±.]
6．[一题两空]已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则sin
θcos(π－θ)＝________；tan
θ＝________.
－ [因为sin
θ＋cos
θ＝，所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，所以sin
θcos
θ＝－.
所以sin
θcos(π－θ)＝－sin
θcos
θ＝.
(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝.因为θ∈(0，π)，sin
θcos
θ＝－＜0，所以sin
θ＞0，cos
θ＜0，即sin
θ－cos
θ＞0，所以sin
θ－cos
θ＝.
联立解得sin
θ＝，cos
θ＝－，所以tan
θ＝－.]
命题点2 三角函数的图象
1．图象变换
(先平移后伸缩)y＝sin
xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
(先伸缩后平移)y＝sin
x
y＝sin
ωxy＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
2．由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
[高考题型全通关]
1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知曲线C1：y＝sin
2x，C2：y＝sin
2x＋cos
2x，则下面结论正确的是( )
A．把曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把曲线C2向右平移个单位长度，得到曲线C1
D．把曲线C2向右平移个单位长度，得到曲线C1
D [因为C1：y＝sin
2x，C2：y＝sin
2x＋cos
2x＝sin＝sin，所以把曲线C2向右平移个单位长度，得到曲线C1，选D．]
2．(2020·长春质量监测一)把函数y＝f
(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin(ωx＋φ)的图象(部分图象如图所示)，则y＝f
(x)的解析式为( )
A．f
(x)＝2sin
B．f
(x)＝2sin
C．f
(x)＝2sin
D．f
(x)＝2sin
C [将点(0，1)代入y＝2sin(ωx＋φ)中，得sin
φ＝.又|φ|＜，所以φ＝.由“五点作图法”知点为图象上的第五点，则ω×＋＝2π，解得ω＝2，所以y＝2sin，将其图象上所有点的横坐标缩短成原来的，得y＝f
(x)＝2sin的图象，故选C．]
3．(2020·四省八校联盟高三联考)如图是函数f
(x)＝sin(ω＞0)的部分图象，若|AB|＝4，则f
(－1)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D．
D [设f
(x)的最小正周期为T，则|AB|2＝(2)2＋，即16＝12＋，则T＝4，所以T＝4＝，ω＝，所以f
(x)＝sin，所以f
(－1)＝sin＝sin＝×＝.]
4．[多选]已知函数f
(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f
(x)的值域是[0，1]
B．f
(x)是以π为最小正周期的周期函数
C．f
(x)在区间上单调递增
D．f
(x)在[0，2π]上有2个零点
AD [f
(x)＝
作出函数f
(x)的大致图象如图所示．
由图可知f
(x)的值域是[0，1]，故A正确；
因为f
(π)＝|sin
π|＝0，f
(2π)＝|cos
2π|＝1，所以f
(2π)≠f
(π)，所以π不是f
(x)的最小正周期，故B不正确；
由图知f
(x)在区间上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
由图知，在[0，2π]上，f
(π)＝f
＝0，所以f
(x)在[0，2π]上有2个零点，故D正确．故选AD．]
5．[多选]如图是函数f
(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，将函数f
(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是( )
A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为kπ＋，kπ＋(k∈Z)
AD [依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，T＝＝π，解得ω＝2.f
＝2sin＝2sin＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝，故f
(x)＝2sin.将函数f
(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin
2x的图象，函数g(x)＝2sin
2x是奇函数，故A对；函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B不对；函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C不对；函数g(x)＝2sin
2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D对．选AD．]
6．(2020·安徽示范高中名校联考)已知函数f
(x)＝asin
2x－cos
2x的图象关于直线x＝－对称，若f
(x1)·f
(x2)＝－4，则|x1－x2|的最小值为________．
[因为f
(x)＝asin
2x－cos
2x的图象关于直线x＝－对称，所以f
(0)＝f
，可得a＝1，所以f
(x)＝sin
2x－cos
2x＝2sin.
又f
(x1)·f
(x2)＝－4，所以f
(x1)，f
(x2)有一个取最大值，另一个取最小值，所以|x1－x2|的最小值为半个周期，即.]
7．[一题两空](2020·济宁模拟)已知函数f
(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)与函数y＝g(x)的部分图象如图所示，且函数f
(x)的图象可由函数y＝g(x)的图象向右平移个单位长度得到，则ω＝________，函数f
(x)在区间上的值域为________．
2 [－，2] [法一：由题意知将函数y＝g(x)的图象上的点向右平移个单位长度，可得到函数f
(x)的图象在五点作图法中的第一个点，坐标为，即.
由f
(x)的部分图象知五点作图法中的第三个点的坐标为，所以解得所以函数f
(x)＝2sin.
由x∈，得2x＋∈，则在上，当2x＋＝，即x＝时，f
(x)max＝2，当2x＋＝，即x＝时，f
(x)min＝－，故函数f
(x)在区间上的值域为[－，2]．
法二：因为函数f
(x)的图象可由函数y＝g(x)的图象向右平移个单位长度得到，所以由图象知，函数f
(x)的最小正周期T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f
(x)＝2sin(2x＋φ)．
把代入，得0＝2sin，即sin＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|＜，所以φ＝，所以f
(x)＝2sin.
由x∈，得2x＋∈，则在上，当2x＋＝，即x＝时，f
(x)max＝2，当2x＋＝，即x＝时，f
(x)min＝－，故函数f
(x)在区间上的值域为[－，2]．
命题点3 三角函数的性质
1．三角函数的单调性
y＝sin
x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos
x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan
x的单调递增区间是(k∈Z)．
2．三角函数的对称性
正弦函数y＝sin
x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；余弦函数y＝cos
x的对称轴为x＝kπ，k∈Z.正弦函数y＝sin
x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z；余弦函数y＝cos
x的对称中心为，k∈Z；正切函数y＝tan
x的对称中心为，k∈Z.
3．三角函数的周期性
f
(x)＝Asin(ωx＋φ)和f
(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.
[高考题型全通关]
1．(2020·泰安模拟)已知函数f
(x)＝axsin
x＋xcos
x(a∈R)为奇函数，则f
＝( )
A．－
B．－ C． D．
A [法一：因为f
(x)为奇函数，所以?x∈R，f
(－x)＝－f
(x)，即a(－x)sin(－x)＋(－x)cos(－x)＝－(axsin
x＋xcos
x)，整理得2axsin
x＝0，所以a＝0，f
(x)＝xcos
x，f
＝－cos＝－，选A．
法二：因为f
(x)为奇函数，y＝xcos
x为奇函数，所以y＝f
(x)－xcos
x＝axsin
x为奇函数，所以a＝0，f
(x)＝xcos
x，f
＝－cos＝－，选A．]
2．(2020·广东四校联考)已知函数f
(x)＝sin，若x1x2＞0，且f
(x1)＋f
(x2)＝0，则|x1＋x2|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
D [由f
(x)＝sin，若x1x2＞0，且f
(x1)＋f
(x2)＝0，可得x1，x2的符号相同，且＋＝2kπ，k∈Z，或－＝kπ，k∈π＋，k∈Z，故|x1＋x2|的最小值为，故选D．]
3．(2020·菏泽模拟)已知函数f
(x)＝sin，若方程f
(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则sin(x1－x2)＝( )
A．－
B．－
C．－
D．－
B [令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则可得函数f
(x)＝sin图象的对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)．令k＝0可得函数f
(x)的图象在(0，π)上的一条对称轴的方程为x＝.结合三角函数图象的对称性可知x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，sin(x1－x2)＝sin＝sin＝cos.由题意得，sin＝，且0＜x1＜x2＜π，故＜x1＜＜x2＜，＜2x2－＜π，由同角三角函数的基本关系可知，cos＝－.故选B．]
4．[多选](2020·日照模拟)将函数f
(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，则下列说法正确的是( )
A．φ＝
B．函数f
(x)的最小正周期为π
C．函数f
(x)的图象关于点成中心对称
D．函数f
(x)的一个单调递减区间为
BD [由题可知函数f
(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；将函数f
(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，所以sin＝sin＝sin.因为0＜φ＜π，所以－＋φ∈，所以－＋φ＝，φ＝，故A错误；f
(x)＝sin，令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z，故C错误；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f
(x)的一个单调递减区间为，则D正确．]
5．[多选]已知f
(x)＝sin
ωx－cos2＋(ω＞0)，则下列说法正确的是( )
A．若y＝|f
(x)|的最小正周期为π，则ω＝2
B．若f
(x)在(0，π)内无零点，则0＜ω≤
C．若f
(x)在(0，π)内单调，则0＜ω≤
D．当ω＝2时，直线x＝－是函数f
(x)图象的一条对称轴
BCD [f
(x)＝sin
ωx－cos2＋＝
sin
ωx－cos
ωx＝sin.对于A，若y＝|f
(x)|的最小正周期为π，则f
(x)的最小正周期为2π，因此＝2π，所以ω＝1，A错误；对于B，由0＜x＜π，得－＜ωx－＜ωπ－，若f
(x)在(0，π)内无零点，则ωπ－≤0，解得ω≤，故0＜ω≤，B正确；对于C，若f
(x)在(0，π)内单调，则ωπ－≤，解得ω≤，故0＜ω≤，C正确；对于D，f
(x)＝sin，令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－2时，得f
(x)图象的一条对称轴为直线x＝－，D正确．]
6．(2020·唐山模拟)已知函数f
(x)＝sin(ω＞0)，若f
(x)在[0，2π]上恰有3个极值点，则ω的取值范围是________．
[令t＝ωx＋，∵x∈[0，2π]，ω＞0，∴t∈，结合y＝sin
t的图象得＜2ωπ＋≤，解得＜ω≤.]
7．[一题两空]已知函数f
(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，与y轴交点坐标是(0，1)．若f
(x)的最小正周期是π，则f
(x)＝________；若f
(x)的图象关于点对称，且在区间上单调递减，则ω的最大值是________．
2sin 11 [由于函数f
(x)的图象经过点(0，1)，所以2sin
φ＝1，sin
φ＝，由图象及|φ|＜π可知φ＝，于是f
(x)＝2sin，又f
(x)的最小正周期是π，所以ω＝＝2，故f
(x)＝2sin.由f
(x)的图象关于点对称，得－ω＋＝nπ，n∈Z，即ω＝－6n＋5，n∈Z，令＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以f
(x)在(k∈Z)上单调递减，又f
(x)在区间上单调递减，所以(k∈Z)，即(k∈Z)，即6k－1≤ω≤＋(k∈Z)，由0＜6k－1≤＋，得＜k≤2，当k＝1时，5≤ω≤，当k＝2时，ω＝11，又ω＝－6n＋5，n∈Z，所以ω＝5或ω＝11，所以ω的最大值是11.]
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