空间几何体的表面积与体积
命题点1 空间几何体的直观图和截面图
1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
2．常见三类空间几何体的截面图
轴截面、横截面与斜截面：
利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决，确定截面的形状是解决此类问题的关键．
[高考题型全通关]
1．[教材改编]水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
A [AO＝2A′O′＝2×＝，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2，在Rt△AOB中，AB＝＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等边三角形．]
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A．
B． C． D．
B [取C1D1，B1C1的中点分别为P，Q，连接PQ，PD，NP，QB，B1D1.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四边形ANPD为平行四边形，则AN∥DP.又BD和DP为平面BDPQ的两条相交直线，所以平面BDPQ∥平面AMN，即平面α为平面BDPQ.
由PQ∥DB，PQ＝BD＝，得四边形BDPQ为梯形，其高h＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4))))＝.
所以平面α截该正方体所得截面的面积为(PQ＋BD)·h＝××＝.故选B．]
3．已知表面积为12π的圆柱的上下底面的中心分别为O1，O2.若过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则O1O2＝( )
A．2
B．2 C． D．
B [因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为r，则母线长为2r，所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝，所以O1O2＝2r＝2，故选B．]
4．[多选]如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
BC [假设D1D⊥AF，因为DD1⊥AE，所以D1D⊥平面AEF，又D1D⊥平面ABCD，所以平面AEF∥平面ABCD，显然不正确，故选项A不正确；连接AD1，D1F(图略)，因为EF∥AD1，所以平面AEF即平面AEFD1，因为A1G∥D1F，所以A1G∥平面AEFD1，所以选项B正确；平面AEF截正方体的截面为梯形AEFD1，EF＝，AD1＝，梯形的高为eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4))))＝，所以其面积为×＝，故选项C正确；连接CG交EF于点H(图略)，显然H不是EF的中点，所以C，G到平面AEF的距离不相等，选项D不正确．]
5．(2020·四川五校联考)在棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
6＋3 [如图，延长EF和A1B1相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE和A1D1相交于N，连接AN交DD1于G，连接FH，EG，可得截面五边形AHFEG.因为ABCD?A1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，所以EF＝3，AG＝AH＝2，EG＝FH＝，截面的周长为AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝6＋3.]
6．已知球O是正三棱锥A?BCD的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．
2π [如图，设△BCD的中心为点O1，球O的半径为R，则A，O，O1三点共线．连接O1D，O1E，OD，OE，则O1D＝，AO1＝＝3.
在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，即R＝2，所以OO1＝1.
在△O1DE中，DE＝BD＝2，∠O1DE＝30°，所以由余弦定理得O1E＝＝1.
所以OE＝.过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，所以截面圆的面积为2π.]
命题点2 空间几何体的表面积、体积
1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2．求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
[高考题型全通关]
1．已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( )
A．5
B． C．9 D．3
B [∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝.故选B．]
2．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )
A．13.25立方丈
B．26.5立方丈
C．53立方丈
D．106立方丈
B [由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B．]
3．如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1?AEF的体积为2，则四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积为( )
A．12
B．8
C．20
D．18
A [设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得V＝V.又V＝S·h＝×·h＝(AA1·AB)·h＝S四边形ABB1A1·h＝V，所以V＝6V＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积为12.故选A．]
4．已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝2，点D是斜边AB上一点(不同于点A，B)．沿线段CD折起形成一个三棱锥A?CDB，则三棱锥A?CDB体积的最大值是( )
A．1
B．
C．
D．
D [设AD＝x，将△ACD折起使得平面ACD⊥平面BCD．在△ACD中，由面积公式得CD·h1＝AD·1(h1为点A到CD的距离)，则h1＝.
由题易知h1为点A到平面BCD的距离，故三棱锥A?CDB体积为V＝S△BCD·h1＝×·h1＝·，x∈(0，2)．
令t＝，则t∈[1，)，故V＝·＝·.
由于－t是减函数，故当t＝1时，V取得最大值为×(2－1)＝.故选D．]
5．2020年山东省某镇重点打造运动休闲小镇品牌，修建了运动休闲广场，广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳可看成是由一个正方体截去8个相同的四面体得到的，如图．若被截正方体的棱长是50
cm，则石凳的表面积为( )
A．2
500(3＋)cm2
B．17
500
cm2
C．7
500
cm2
D．5
000(3＋)cm2
A [由题意知石凳的表面由6个正方形和8个正三角形构成，每个正方形的面积为(25)2cm2，每个正三角形的面积为×(25)2cm2，所以石凳的表面积为6×(25)2＋8××(25)2＝2
500(3＋)cm2.]
6．(2020·江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.
12－ [正六棱柱的体积为6××22×2＝12(cm3)，圆柱的体积为π×0.52×2＝(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为(12－)cm3.]
7．(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
1 [法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.
法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.]
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