空间位置关系与空间角
命题点1 空间位置关系的判定
判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理进行判断；
(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
[高考题型全通关]
1．(2020·成都模拟)如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中正确的是( )
A．EF⊥BB1
B．EF⊥平面BCC1B1
C．EF∥平面D1BC
D．EF∥平面ACC1A1
D [题中未涉及垂直条件，故排除A，B；连接BA1，CD1，则BA1与AB1交于点E，所以直线EF与平面CBA1D1相交，即直线EF与平面D1BC相交，故排除C；连接B1C交BC1于点F，由于平行四边形BCC1B1的对角线互相平分，故F是B1C的中点．因为E是AB1的中点，所以EF是三角形B1AC的中位线，故EF∥AC．又AC?平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.故选D．]
2．[多选]已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是( )
A．若m?α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
ABC [若m?α，n∥α，则m与n可能平行或异面，故A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故B错误；若α∩β＝n，m∥n，则m还可能在平面α或β内，故C错误；若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α∥β，故D正确．]
3．[多选]如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列选项正确的是( )
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
ACD [∵PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确；∵B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，∴BC⊥AB，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；∵AB⊥BC，BC⊥PA，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，又AN?平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确．故选ACD．]
4．[多选](2020·泰安模拟)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，下列判断正确的是( )
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是
D．三棱锥D1?APC的体积不变
ABD [在正方体中，B1D⊥平面ACD1，B1D?平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以A正确；连接A1B，A1C1，如图，容易证明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以B正确；因为BC1∥AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范围是，所以C错误；V＝V，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1?APC的体积不变，所以D正确．综上，选ABD．]
5．[多选](2020·枣庄模拟)在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点(不含端点)，则下列说法不正确的是( )
A．不存在E，F，使得EF⊥CD
B．存在E，使得DE⊥CD
C．存在E，使得DE⊥平面ABC
D．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF
ABC [为了方便解题，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示．连接HG，OD，对于选项A，取E，F分别为AB，CD的中点，则易知EF⊥CD，所以选项A不正确；对于选项B，在正方体中，易知CD⊥平面ABHG，因为过点D且与平面ABHG平行的平面不经过点E，所以不存在点E，使得DE⊥CD，故选项B不正确；对于选项C，在正方体中，易证OD⊥平面ABC，所以不存在E，使得DE⊥平面ABC，故选项C不正确；对于选项D，设OD与平面ABC的交点为K，连接CK，当平面CDK与AB的交点为E，F为CD上任意一点(不含端点)时，平面CDE⊥平面ABF，故选项D正确．]
6．[多选](2020·日照模拟)已知在四面体ABCD中，△ABC，△BCD均为边长为1的等边三角形，E，F分别为BC，BD的中点，则( )
A．BC⊥AD
B．若AD＝1，则四面体ABCD的体积为
C．若AD＝，则平面ABC⊥平面BCD
D．若AF＝，则截面AEF的面积为
ACD [连接AE，DE(图略)，因为△ABC，△BCD均为边长为1的等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又AE∩DE＝E，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥AD，故A正确；设点A在平面BCD内的射影为点O，则AO＝eq
\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\f(2,3))))＝，所以四面体ABCD的体积为××12×＝，故B错误；易知∠AED为二面角A?BC?D的平面角，AE＝，DE＝，当AD＝时，AE2＋DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，所以平面ABC⊥平面BCD，故C正确；因为E，F分别为BC，BD的中点，连接EF，AF(图略)，易知EF＝CD＝，由余弦定理可得cos∠AEF＝＝，所以sin∠AEF＝，所以S△AEF＝×××＝，故D正确．]
命题点2 异面直线所成的角、线面角
1．对于异面直线所成的角，一般是通过平移构建三角形求角，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出是钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
2．求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线，则斜线和射影所成角即为所求．
3．当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解．
[高考题型全通关]
1．(2020·泉州模拟)平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线A1C1所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
D [如图，连接AC．在平面ABCD内过点A作AF∥BD，交CB的延长线于点F，在平面ADD1A1内过点A作AE∥A1D且AE＝A1D，连接EF，则平面AEF即为平面α，则平面α∩平面ABCD＝l＝AF.∵BD∥AF，A1C1∥AC，∴直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，即直线l与直线A1C1所成的角为90°.故选D．]
2．(2020·兰州模拟)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
C [如图，因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以B1G与平面ABCD所成角即为B1G与平面A1B1C1D1所成角，可知B1G与平面A1B1C1D1所成角为∠D1B1G.
设AB＝6，则AF＝3，DE＝2.
又平面BEF∩平面CDD1C1＝GE，且BF∥平面CDD1C1，可知BF∥GE，
则＝，即＝，可得DG＝1，D1G＝5.
在Rt△B1D1G中，tan∠D1B1G＝＝＝，
故B1G与平面ABCD所成角的正切值为，故选C．]
3．(2020·四川五校联考)已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为2的等边三角形，BD＝DC，BD⊥CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意知CD⊥平面ABD，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，1，)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，0)，＝(2，－1，－)，＝(0，－2，0)，设异面直线AC与BD所成的角为α，则cos
α＝＝，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．]
4．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
B [法一：取B1C1的中点D1，连接A1D1，D1C(图略)，易证A1D1∥AD，A1D1，A1C所成的角就是AD，A1C所成的角，∵AB＝AC＝，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD＝＝＝1，∴A1D1＝AD＝1，又A1C＝＝＝2，D1C2＝＝＝，∴A1D＋D1C2＝A1C2，∴△D1A1C为直角三角形，cos∠D1A1C＝，∴∠D1A1C＝，故选B．
法二：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，，0)，∴D，∴＝，＝(0，，－)，∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝.故选B．]
5．[一题两空](2020·东营模拟)正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________，CE和该截面所成角的正弦值为________．
2 [如图，分别取CD，BC的中点H，G，连接HE，HG，GE，HF，ME，NH.
易证MENH，所以四边形MEHN是平行四边形，所以MN∥HE，又MN?平面EFHG，HE?平面EFHG，所以MN∥平面EFHG，所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG，平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG，EF＝，FH＝2，所以所得截面的面积为2×＝2.
连接AC，交HG于I，则CI⊥HG，又平面EFHG⊥平面ABCD，平面EFHG∩平面ABCD＝HG，所以CI⊥平面EFHG，连接EI，则CI⊥EI，∠CEI为直线CE和截面所成的角．
在Rt△CIE中，CE＝＝，CI＝AC＝＝.所以sin∠CEI＝＝.]
6．[一题两空]在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则四面体ABCD的体积为________，异面直线AB与CD所成角的余弦值为________．
[因为AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，所以四面体ABCD的体积V＝AD·S△BCD＝AD·BD·BC＝×1×1×2＝.
法一：如图，在平面BCD内，过点D作BC的平行线与过点B作的CD的平行线相交于E，连接AE，则四边形BCDE为平行四边形，所以DE＝BC＝2，且∠ABE为异面直线AB与CD所成的角．
由AD⊥平面BCD，且AB＝＝，则AD⊥DE，所以AE＝＝.
因为BD⊥BC，所以DC＝＝，则BE＝CD＝，于是在△ABE中，由余弦定理，得cos∠ABE＝＝＝.
法二：以D为坐标原点，在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴，以DB，DA所在的直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(－2，1，0)，D(0，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(－2，1，0)，则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.]
命题点3 翻折问题
翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
[高考题型全通关]
1．[多选]已知某几何体的展开图如图所示，图中小正方形的边长均为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该几何体所得截面面积为S，则下列结论正确的为( )
A．当CQ＝时，异面直线AC1与PQ所成的角为45°
B．当CQ＝时，S＝
C．当CQ＝1时，S＝
D．当CQ＝1时，A1B与平面APQ平行
BCD [对于A，如图1，连接BC1，因为P，Q均是中点，所以BC1∥PQ，所以∠BC1A为异面直线AC1与PQ所成的角，因为tan∠BC1A＝＝≠1，故A错误．
对于B，过点A，P，Q的截面如图1中平面APQD1，其中PQ∥AD1且PQ＝AD1，四边形APQD1是等腰梯形，在Rt△ABP中，AB＝1，BP＝，可得AP＝D1Q＝，在Rt△PQC中，CP＝，CQ＝，可得PQ＝，AD1＝，可得等腰梯形APQD1的高为，所以S＝＝，故B正确．
对于C，当CQ＝1时，点Q与点C1重合，如图2，取A1D1的中点M，连接AM，MC1，PM，可得AMPQ，又易知AM＝MC1＝，所以截面APQM为菱形，其面积为MP×AQ＝××＝，故C正确．
对于D，因为M，P分别为A1D1，BC的中点，所以A1MBP，所以四边形A1MPB为平行四边形，A1B∥MP，又MP?平面APQ，所以A1B∥平面APQ，故D正确．
图1 图2]
2．[多选]已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D?ABC，则在翻折的过程中，下列结论正确的是( )
A．三棱锥D?ABC的体积的最大值为
B．三棱锥D?ABC的外接球的体积不变
C．三棱锥D?ABC的体积最大时，二面角D?AC?B的大小是60°
D．异面直线AB与CD所成角的最大值为90°
BD [对于A，三棱锥D?ABC的体积VD?ABC＝S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离)，S△ABC＝×1×＝，所以当h最大时，三棱锥D?ABC的体积取得最大值，又当平面ADC⊥平面ABC时，h最大，为，此时VD?ABC＝××＝，故A错误；对于B，设AC的中点为O，连接OB，OD(图略)，则OA＝OB＝OC＝OD，所以O为三棱锥D?ABC外接球的球心，则外接球的半径为AC＝1，所以外接球的体积为π，即翻折的过程中，三棱锥D?ABC的外接球的体积不变，故B正确；对于C，三棱锥D?ABC的体积最大时，平面ADC⊥平面ABC，所以此时二面角D?AC?B的大小是90°，故C错误；对于D，当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为，即BD＝时，在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2，所以CD⊥BD，又CD⊥AD，BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°，故D正确．故选BD．]
3．[多选](2020·东营模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，F为线段AD上一动点(不含端点)，现将△CDF沿直线CF翻折，使点D翻折到点D′的位置，如图，关于翻折的过程(不包含始末状态)下列四个结论正确的是( )
A．存在某个位置，使直线AF与BD′垂直
B．存在某个位置，使直线BF与D′F垂直
C．存在某个位置，使直线D′C与D′A垂直
D．存在某个位置，使直线BD′与平面D′CF垂直
AB [在翻折过程中，当点D′在平面ABCF内的射影落在直线AB上时，平面ABD′⊥平面ABCF，又AF⊥AB，平面ABD′∩平面ABCF＝AB，所以AF⊥平面ABD′，所以AF⊥BD′，因此A正确；当AF＝D′F，且点D′在平面ABCF内的射影落在点F处时，有D′F⊥平面ABCF，故BF⊥D′F，因此B正确；连接AC，在△ACD′中，易知AC＝CD′，因此，无论任何位置，都不可能有D′C⊥D′A，因此C不正确；对于D，假设存在某个位置，使直线BD′与平面D′CF垂直，则有BD′⊥D′C，即∠BD′C＝90°，此时BC>D′C，设AD＝2AB＝2BC＝2，则BC＝1，D′C＝，BC＜D′C，矛盾，因此D不正确．故选AB．]
4．[多选]在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图，则( )
A．∠A′BD为定值
B．点A的轨迹为线段
C．直线BA′与CD所成的角的范围为
D．翻折过程中形成的三棱锥A′?BCD的体积的最大值为
ACD [在等腰梯形ABCD中，易知∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，则∠A′BD＝30°，为定值，所以BA的轨迹可看作是以BD为轴，B为顶点，母线与轴的夹角为30°的圆锥侧面的一部分，故点A的轨迹如图中所示，其中F为BC的中点．过点B作CD的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E，则直线BA′与BE所成的角即直线BA′与CD所成的角．又易知CD⊥BD，所以直线BA′与CD所成角的取值范围是.在△ABD中，过A作AE⊥BD于E，AE＝，又S△BCD＝×1×2sin
60°＝，所以三棱锥A′?BCD的体积最大为××＝.故选ACD．]
5．[多选](2020·济宁模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，D为线段BC(端点除外)上一动点．现将△ABD沿线段AD折起至△AB′D，使二面角B′?AD?C的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．不存在点D，使得CB′⊥AB
B．点B′在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧
C．B′A与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是
D．线段CB′的最小值是
ABC [过点B作AD的垂线，交AD于点E，连接B′E，BB′，过点B′作BE的垂线，交BE于点H(图略)，易知B′E⊥AD，则AD⊥平面B′BE，所以∠B′EB为二面角B′?AD?C的平面角的补角，即∠B′EB＝60°，所以EH＝B′E＝BE，即H为BE的中点．易知平面ABC⊥平面B′BE，又B′H⊥BE，所以B′H⊥平面ABC，所以B′在平面ABC上的投影为点H.对于选项A，若CB′⊥AB，连接CH，则CH⊥AB，而这是不可能成立的，故A正确；对于选项B，因为∠BEA＝90°，所以点E的轨迹为以AB为直径的一段圆弧，又H为BE的中点，所以点H的轨迹也为一段圆弧，故B正确；对于选项C，连接AH，则B′A与平面ABC所成的角为∠B′AH，设BD＝x(0＜x<2)，则AD＝，所以由AB·BD＝AD·BE，得BE＝＝，所以BE∈，所以B′H＝B′E＝BE∈，所以sin∠B′AH＝∈，所以cos∠B′AH∈，故C正确；对于选项D，设∠BAD＝θ，则∠DBE＝θ，BH＝BE＝sin
θ.CB′2＝B′H2＋CH2＝B′H2＋BC2＋BH2－2BC·BH·cos
θ＝＋－2×2×sin
θ×cos
θ＋4＝sin2θ－sin
2θ＋4＝－cos
2θ－sin
2θ＋4＝－sin(2θ＋φ)≥＞3，其中tan
φ＝，故CB′＞，D错误．故选ABC．]
6．(2020·江南十校联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，沿对角线AC将其折成直二面角，连接BD，则该三棱锥D?ABC的体积为________．
[依题意，AC＝＝.设直角三角形ACD的边AC上的高为h，根据等面积法有AC·h＝AD·CD，解得h＝.因为二面角D?AC?B为直二面角，所以h为三棱锥D?ABC的高．故三棱锥D?ABC的体积为V＝×AB·BC·h＝××2×1×＝.]
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