椭圆
命题点1 椭圆的定义与方程
1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2．求解椭圆的标准方程要注意焦点的位置．
[高考题型全通关]
1．(2020·三明检测)已知P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2面积为( )
A．3
B．2 C． D．
A [法一：由椭圆的标准方程可得a＝5，b＝3，∴c＝4.
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，
由椭圆的定义可得t1＋t2＝10.
①
∵在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
∴根据余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°＝|F1F2|2＝|2c|2＝64，
整理可得t＋t－t1t2＝64.
②
把①两边平方得t＋t＋2t1t2＝100，
③
由③－②得t1t2＝12，∴S＝t1t2·sin∠F1PF2＝3.故选A．
法二：由于椭圆焦点三角形的面积公式为S＝b2tan，故所求面积为9tan
30°＝3.故选A．]
2．(2020·绵阳模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
A [由左焦点为F1(－2，0)，可得a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x＋2)，圆心(0，0)到直线的距离d＝＝1.
由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，可得2＝b，
解得b＝2，a＝2，则椭圆方程为＋＝1.
故选A．]
3．[多选](2020·烟台模拟)已知椭圆＋＝1上有A，B，C三点，其中B(1，2)，C(－1，－2)，tan∠BAC＝，则下列说法正确的是( )
A．直线BC的方程为2x－y＝0
B．kAC＝或4
C．点A的坐标为
D．点A到直线BC的距离为
AD [设直线AB，AC的倾斜角分别为θ1，θ2，不妨记θ1＞θ2，
由tan∠BAC＝＞0，知∠BAC＜，
则数形结合易知当θ1－θ2＝∠BAC时，才能满足题意，故tan(θ1－θ2)＝，
即＝，又kAB·kAC＝·＝＝＝－2，
所以kAB－kAC＝－，结合kAB·kAC＝－2，
解得或
而当时，数形结合易知∠BAC≠θ1－θ2，且∠BAC＞，故舍去．
当时，直线AC、直线AB的方程分别为y＋2＝4(x＋1)，y－2＝－(x－1)，可得A.
易得直线BC的方程为2x－y＝0，故点A到直线BC的距离为＝.
由椭圆的对称性知：当θ1＜θ2时，同理可得点A到直线BC的距离为.]
4．(2020·四省八校联盟高三联考)设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2，1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是________．
[4－，4＋] [如图，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2，0)，
∴|AF′|＝＝.
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－.
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4－，4＋]．]
5．[一题两空](2020·菏泽模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为________；若点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
＋y2＝1 [1，4] [由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.
∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－，∴a＝2，c＝，则椭圆的方程为＋y2＝1.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4.
即＋的取值范围为[1，4]．]
命题点2 椭圆的几何性质
1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2．求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
[高考题型全通关]
1．(2020·西安模拟)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A．2－
B．－
C．－1
D．－
D [设|PF1|＝|PQ|＝m(m＞0)，则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.
由题意知△PQF1为等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.
因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(4a－2a)2＋[2a－(4a－2a)]2＝4c2，整理得4×＝36－24，即＝＝－，故选D．]
2．(2020·四川五校联考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为( )
A．
B． C． D．
B [法一：由题意可知，|F1F2|＝2c，又由e＝＝，得c＝a，所以|F1F2|＝a，因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点，故PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|·|PF2|＝a2，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，所以直线PF1的斜率kPF1＝tan∠PF1F2＝＝，故选B．
法二：因为e＝＝，故可设a＝3，c＝，则b＝2，S△PF1F2＝b2tan＝b2tan
45°＝|PF1|·|PF2|＝4，因为P在第一象限，所以|PF1|＞|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，故|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以直线PF1的斜率kPF1＝＝.故选B．]
3．(2020·唐山模拟)直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是( )
A．－1
B．
C．2－2
D．－1
A [法一：记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0，1)，则F′(，0)．
由＝2，可得A，则|AF|＝3.
连接AF′(图略)，则|AF′|＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1，故选A．
法二：记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0，1)，直线x－y＋＝0的斜率k＝，则|FF′|＝2，直线x－y＋＝0的倾斜角为30°，即∠AFO＝30°(O为坐标原点)．
在直角三角形OCF中，|OC|＝1，|OF|＝，所以|FC|＝2，又＝2，所以|CA|＝1，所以|FA|＝3.
连接AF′(图略)，在三角形AFF′中，由余弦定理可得|AF′|＝＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.]
4．(2020·烟台模拟)已知椭圆C：＋＝1(m＞4)的右焦点为F，点A(－2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )
A．(6＋2，25]
B．[9，25]
C．(6＋2，20]
D．[3，5]
A [由题知椭圆C的右焦点为F(2，0)，设左焦点为F′(－2，0)，由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝8－2.
由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.又因为点A在椭圆C内，所以＋＜1，所以8m－16＜m(m—4)，解得m<6－2或m>6＋2.综上，实数m的取值范围是(6＋2，25]．故选A．]
5．[多选](2020·日照模拟)已知椭圆Ω：＋＝1(a＞b＞0)，则下列结论正确的是( )
A．若a＝2b，则Ω的离心率为
B．若Ω的离心率为，则＝
C．若F1，F2分别为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4a
D．若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－
BCD [若a＝2b，则c＝b，e＝，选项A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，＝，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以PA1，PA2的斜率之积为·＝＝＝－，选项D正确．]
6．[多选](2020·济宁模拟)已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
ACD [设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－x，y＝m－，k1k2＝·＝＝－.
于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确．
离心率为，B错误．
焦点为(±，0)，曲线y＝log3x－经过焦点(，0)，C正确．
又直线2x－y－2＝0过点(1，0)，且点(1，0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选ACD．]
7．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是曲线C1与C2的一个公共点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，若PF1⊥PF2，则4e＋e的最小值为________．
[设点P在双曲线的右支上．
由椭圆及双曲线的定义可得，解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.
设|F1F2|＝2c，因为PF1⊥PF2，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，
整理得a＋a＝2c2，两边同时除以c2，
得＋＝2，所以4e＋e＝(4e＋e)＝≥×(5＋2×2)＝，
当且仅当＝时取“＝”，又＋＝2，所以e1＝，e2＝时取“＝”，故4e＋e的最小值为.]
命题点3 直线与椭圆的综合问题
1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝(k为直线斜率)．
3．利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[高考题型全通关]
1．设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是( )
A．2
B．2 C．4 D．4
C [设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2(图略)．
因为|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.故选C．]
2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．若|AF2|＋|BF2|的最大值为5，则b的值为( )
A．1
B．
C．
D．2
C [由0＜b＜2可知，椭圆的焦点在x轴上．
∵过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，
∴|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝2a＋2a＝4a＝8，则|BF2|＋|AF2|＝8－|AB|.
当AB垂直于x轴时，|AB|最小，|BF2|＋|AF2|最大，此时|AB|＝b2，则5＝8－b2，解得b＝.故选C．]
3．(2020·贵阳模拟)已知F1，F2是椭圆的＋＝1的左、右焦点，点A的坐标为，则∠F1AF2的平分线所在直线的斜率为( )
A．－2
B．－1
C．－
D．－
A [如图所示，∵A，F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，F1(－1，0)，∴AF1⊥x轴，∴|AF1|＝，|AF2|＝，∴点F2(1，0)关于∠F1AF2的平分线对称的点F在线段AF1的延长线上．
又∵|AF|＝|AF2|＝，∴|FF1|＝1，∴F(－1，－1)，线段FF2的中点坐标为，则∠F1AF2的平分线的斜率为＝－2，故选A．]
4．(2020·南宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上存在A，B两点恰好关于直线l：x－y－1＝0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
C [由题意可得直线AB与直线l的交点为P(2，1)，kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
∵A，B是椭圆＋＝1上的点，
∴＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∴＝－，∴kAB＝＝－＝－1，
∴a2＝2b2.∴椭圆C的离心率为＝＝.故选C．]
5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过椭圆的中心O作直线l，交椭圆于A，B两点，若存在△ABF，满足周长为4c，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
C [法一：如图，设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则|OF|＝|OF′|，
易知|AO|＝|BO|，则四边形AFBF′是平行四边形，|AF′|＝|BF|，△ABF的周长为|AF|＋|AF′|＋2|AO|，因为|AF|＋|AF′|＝2a，所以△ABF的周长为2a＋2|AO|.存在△ABF，满足周长为4c，就是椭圆上存在一点A，满足|AO|＝2c－a.因为椭圆上的点到点O的最短距离是b，到点O的最大距离是a，所以b≤2c－a≤a.由2c－a≤a，得e≤1，故e＜1.由2c－a≥b，得4c2－4ac＋a2≥a2－c2，得e≥.综上，e的取值范围是.
法二：设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则|OF|＝|OF′|，易知|AO|＝|BO|，则四边形AFBF′是平行四边形，|AF′|＝|BF|.设A(x0，y0)，则＋＝1，y＝b2－，所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝|AF|＋|AF′|＋2|AO|＝2a＋2＝2a＋2＝2a＋2≥2a＋2b.由题意知2a＋2b≤4c＜4a，由4c＜4a，得e＜1；由2a＋2b≤4c，得a2－c2≤4c2－4ac＋a2，得e≥.综上，e的取值范围是.
法三：易知点F(－c，0)，设A(x0，y0)，则B，＋＝1，y＝b2－，△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝＋＋＝＋＋＝＋＋2＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x0＋a)))＋eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x0－a)))＋2＝x0＋a＋a－x0＋2＝2a＋2≥2a＋2b.由题意知2a＋2b≤4c＜4a，由4c＜4a，得e＜1；由2a＋2b≤4c，得a2－c2≤4c2－4ac＋a2，得e≥.综上，e的取值范围是.]
6．[一题两空]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，则弦MN的长为________；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
(1) (2)6x－5y－28＝0 [(1)由已知得b＝4，且＝，
即＝，∴＝，
解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，
又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
即故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得
＋＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.]
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