直线与圆、抛物线
命题点1 直线的方程及应用
1．求直线方程的方法
求直线方程主要有直接法和待定系数法．直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程．待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程．
2．求解轴对称问题的2个关键点
一是两对称点的连线与对称轴垂直；
二是两对称点的中点在对称轴上．
[高考题型全通关]
1．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行．若两条直线平行，则2λ(1－λ)＝6(λ－1)且2λ×(－4)≠6×(－1)，解得λ＝－3或λ＝1，经检验，两根均符合题意．综上可知，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A．]
2．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线的方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
D [当直线过原点时，可得其斜率为＝2，故该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设其方程为＋＝1，由该直线过点(1，2)可得－＝1，解得a＝－1，则该直线的方程为x－y＋1＝0.综上可知，该直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0，故选D．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1
B． C． D．2
B [法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
4．设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2，0)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．2
B．
C．2
D．
A [设点B(2，0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则由题意得解得所以B1(4，2)．
因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，最小值为|AB1|＝＝2.故选A．]
命题点2 圆的方程及应用
解决圆的方程应关注4点
(1)由圆心和半径可直接得圆的标准方程；(2)不在同一直线上的三点可确定一个圆；(3)弦的垂直平分线一定过圆心；(4)与圆上的点有关的问题常转化为与圆心有关的问题去处理．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则C的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
A [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a，0)，B(a，0)，C(x，y)，则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，∵·＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A．]
2．(2020·合肥调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为( )
A．2
B． C．2＋1 D．＋
D [直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)＝＋≥＋＝＋，当且仅当＝时等号成立，所以＋的最小值为＋，故选D．]
3．[多选](2020·日照模拟)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
ABC [把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以该圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确；该圆A截y轴所得的弦长|CD|＝2×＝2，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．故选ABC．]
4．已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．2
B．8
C．5
D．
D [∵圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C在直线y＝x或y＝－x上．
①当圆心C在直线y＝x上时，设C(m，m)，半径为R，则(m＋1)2＋m2＝(m－2)2＋(m－3)2＝R2，可得m＝1，R2＝5，∴R＝.
②当圆心C在直线y＝－x上时，设C(m，－m)，半径为R，则(m＋1)2＋(－m)2＝(m－2)2＋(－m－3)2＝R2，该方程组无解．
∴圆C的半径为，故选D．]
5.
已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．
4
A [作出点O，A及圆，如图所示，由图易知当点M的坐标为(1，－1)时，△OAM的面积取得最小值，又|AO|＝2，此时点M到直线OA的距离为1，所以△OAM面积的最小值为×2×1＝1.故选A．]
6．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2(R＞0)的公共弦长为6，则圆D的半径为( )
A．5
B．2
C．2
D．2
D [由得2x－6y＝4－R2.
因为圆C的直径为6，且圆C与圆D的公共弦长为6，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0，4)，则2×0－6×4＝4－R2，所以R2＝28，所以圆D的半径为2.故选D．]
7．[多选](2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是
( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
ACD [因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确．]
8．已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC的面积S的最小值为3－，则实数a的值为________．
1或－5 [由题意知，圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a，0)，半径r＝1.由A(－2，0)，B(0，2)，可得直线AB的方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.∴圆心到直线AB的距离d＝，则圆上的点到直线AB的距离的最小值为d－r＝－1.
又|AB|＝＝2，∴Smin＝|AB|·(d－r)＝＝3－，解得a＝1或－5.]
命题点3 直线和圆的位置关系
解决直线与圆的位置关系问题应关注3点
(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据相关几何性质求解．(2)弦长问题，主要依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．(3)过圆内一点且垂直于过这点的半径的弦最短．
[高考题型全通关]
1．(2020·长春质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( )
A．－3
B．1 C．－3或1 D．
C [由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为.
由直线与圆相切，得＝，解得b＝－3或b＝1，故选C．]
2．(2020·四省八校联盟高三联考)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围为( )
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[，3]
D．[2，3]
A [根据题意，A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，圆的半径为，设点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d′，则≤d′≤3，所以×2×≤S△ABP≤×2×3，即2≤S△ABP≤6.]
3．已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a的值为( )
A．2或10
B．4或8
C．6±2
D．6±2
B [由∠MPN＝得∠MCN＝2∠MPN＝.
在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝，可得点C(3，－)到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1，所以＝1，解得a＝4或a＝8.故选B．]
4．已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为( )
A．(2－，2＋)
B．(2－，2)
C．(－15，2)
D．(－15，－6)
D [由题意知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，则圆心为(1，－1)，半径为，显然2－a＞0，即a＜2.
圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，
则由题意得2＜6，解得－15＜a＜－6.
综上所述，a∈(－15，－6)．]
5．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，则r的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
D [连接PC(图略)，因为点P在直线l：3x＋4y－7＝0上，所以当PC⊥l时，∠MPN最大，由题意知，此时∠MPN＝，所以∠CPM＝，所以|PC|＝2r，又因为C到l的距离d＝＝2，所以|PC|＝2，所以r＝1，故选D．]
6．A，B是圆O：x2＋y2＝1上的两个动点，且∠AOB＝120°，A，B到直线l：3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C [由题意可设A(cos
α，sin
α)，B(cos(α＋120°)，sin(α＋120°))，其中α∈R，则d1＝(10－3cos
α－4sin
α)，d2＝[10－3cos(α＋120°)－4sin(α＋120°)]，∴d1＋d2＝4－[3cos
α＋3cos(α＋120°)＋4sin
α＋4sin(α＋120°)]＝4－[6cos
60°cos(α＋60°)＋8cos
60°sin(α＋60°)]＝4－[3cos(α＋60°)＋4sin(α＋60°)]＝4－×5[sin(α＋60°＋β)]≤5，其中cos
β＝，sin
β＝，易知当sin(α＋60°＋β)＝－1时，d1＋d2的最大值是5.故选C．]
7．已知点P(－1，2)及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，一束光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝________.
4 [设点P关于x轴的对称点为P′，则P′(－1，－2)，如图所示，连接P′C，P′Q，CT，显然P′，Q，T三点共线．
由题意可知，直线P′Q与圆相切，|PQ|＋|QT|＝|P′T|.
∵圆心C的坐标为(3，4)，圆的半径r＝2，
∴|CP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，
|CT|＝r＝2，∴|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4.]
8．[一题两空](2020·泰安模拟)已知直线l：(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0交⊙O：x2＋y2＝25于A，B两点，C为l外一动点，且|AC|＝2|BC|，则|AB|的最小值为________；当|AB|最小时，△ABC面积的最大值为________．
6 12 [由(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0得λ(x＋y－4)＋μ(2x－y－8)＝0，
则得
所以直线(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0经过定点M(4，0)，设O为坐标原点，若|AB|最小，则OM⊥AB，此时|AB|＝2＝6.
法一：设A(4，3)，B(4，－3)，C(x，y)，
由|AC|＝2|BC|，可得＝2·，化简得点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y＋5)2＝16，则点C的轨迹是圆心为(4，－5)，半径为4的圆，易知圆心(4，－5)在直线AB上，因而C点到AB的最大距离为4，故△ABC面积的最大值为×6×4＝12.
法二：设BC＝x，则AC＝2x，由余弦定理知36＝x2＋(2x)2－2·x·2x·cos∠ACB，得x2＝，从而S△ABC＝x·2x·sin∠ACB＝＝－9×，其中可以看成单位圆上的点(cos∠ACB，sin∠ACB)与点连线的斜率，可求得其最小值为－，所以△ABC面积的最大值为12.]
命题点4 抛物线
求解抛物线问题应重点关注2个方面
(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
[高考题型全通关]
1．若抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
( )
A．4
B．6 C．8 D．12
B [抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4＋2＝6.根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6，故选B．]
2．(2020·长春质量监测一)已知椭圆＋＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B(A在x轴上方)两点，则的值为( )
A．
B．2
C．3
D．4
C [由题意知F(1，0)，所以＝1，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程，得3x2－10x＋3＝0，解得xA＝3，xB＝.
法一：所以y＝12，y＝，所以＝eq
\f(\r(?3－1?2＋12),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))＋\f(4,3)))＝3，故选C．
法二：由抛物线的定义，得|AF|＝xA＋＝4，|BF|＝xB＋＝，所以＝3，故选C．]
3．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A．1
B．
C．2
D．
B [依题意得F(1，0)．设l与x轴的交点为M，则|FM|＝2.
如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，则＝＝，所以|QQ1|＝|FM|＝，所以|QF|＝|QQ1|＝，选B．]
4．[多选](2020·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则
( )
A．直线l的倾斜角为30°或150°
B．|AF|－|BF|＝4
C．＝或3
D．S△AOB＝
AC [由题意知F，故可设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去y，得4x2－12kx－9＝0，
∴
∴|AB|＝|x1－x2|＝3(1＋k2)＝4，∴k＝±.
设直线l的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°.
设＝λ，则当θ＝30°时，|AF|＋|BF|＝(λ＋1)|BF|＝4，又由抛物线的定义易知|AF|－|BF|＝(λ－1)|BF|＝2，
∴＝＝2，
∴＝2，∴λ＝3，即＝3.
由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝，即＝.
S△AOB＝×|OF|×|x1－x2|
＝××[]＝××[]＝.
故选AC．]
5．[多选](2020·潍坊模拟)过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是( )
A．·＝0
B．∠A1FB1＝90°
C．直线MB∥x轴
D．|AF|·|BF|的最小值是
BCD [由题意可知，抛物线y2＝3x的焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝3x，得y2－3my－＝0，所以y1＋y2＝3m，y1y2＝－，则x1x2＝(my1＋)(my2＋)＝，所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－＝－≠0，所以A不正确；因为A，O(0，0)，M三点共线，所以＝，所以y1yM＝－，又y1y2＝－，所以yM＝y2，所以直线MB∥x轴，所以C正确；易知A1，B1的坐标分别为，，所以·＝·＝＋y1y2＝－＝0，所以∠A1FB1＝90°，所以B正确；设直线AB的倾斜角为θ(θ≠0)，则|AF|＝，|BF|＝，所以|AF|·|BF|＝·＝≥，当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．故选BCD．]
6．(2020·广东四校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，点M，N为抛物线准线上相异的两点，且M，N两点的纵坐标之积为－4，直线OM，ON分别交抛物线于A，B两点，若A，F，B三点共线，则p＝________.
2 [抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线方程为x＝－，设M，N，则mn＝－4，直线OM的斜率kOM＝＝－，直线OM的方程为y＝－x，直线ON的斜率kON＝＝－，直线ON的方程为y＝－x，
由解得或，
根据题意可得A，由解得或，
根据题意可得B.
因为A，F，B三点共线，所以kAF＝kFB，
即＝，注意到p＞0，
化简整理得p2＝－mn＝－(－4)＝4，故p＝2.]
7．[一题两空](2020·青岛模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且＝，点A到直线l的距离为2，则p＝________；若点A，B在l上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为________．
2 2(－1) [由题意可知F，因为＝，所以A，B关于x轴对称，且xA＝xF＝，又点A到直线l的距离为2，所以＋＝p＝2；不妨设A(1，2)，B(1，－2)，l与x轴的交点为C，所以M(－1，2)，N(－1，－2)，△MFN是等腰三角形，且|MN|＝4，|FC|＝2，|FM|＝|FN|＝2.
令△MFN的内切圆半径为r，则×4×2＝×(2＋2＋4)r，得r＝2(－1)．]
8．(2020·成都模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且－|AF|＝1，则抛物线C的标准方程为________．
y2＝2x [如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，则|DF|＝p.
由抛物线的定义知|BE|＝|BF|.
设|BE|＝|BF|＝m，因为△AEB∽△ADF，
所以＝，即＝，所以＝，所以|AF|＝.
由－|AF|＝1，得－＝1，解得p＝1，所以抛物线C的标准方程为y2＝2x.]
14/14
