球与几何体的切接问题
命题点1 外接球
求解外接球问题的方法
解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
[高考题型全通关]
1．直三棱柱ABC?A′B′C′的所有棱长均为2，则此三棱柱的外接球的表面积为( )
A．12π
B．16π
C．28π
D．36π
C [由直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，得底面所在平面截外接球所成的圆O的半径r＝2，又由直三棱柱的侧棱长为2，得外接球球心到圆O的距离d＝，则外接球半径R满足R2＝r2＋d2＝7，∴外接球的表面积S＝4πR2＝28π.故选C．]
2．(2020·石家庄模拟)已知正三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为( )
A．25π
B．20π
C．16π
D．30π
A [如图，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为E，连接AE，AD，
由正弦定理得2AE＝＝4，∴AE＝2，
易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S?ABC的高SE＝＝＝4，
由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直径2R＝SD＝＝5，
因此，球O的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝25π.]
3．(2020·武汉部分学校质量检测)已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两互相垂直，则球O的体积为
( )
A．16π
B．8π
C．4π
D．2π
C [因为PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，所以以PA，PB，PC为交于一点的三条棱构造正方体，则球O即此正方体的外接球，该正方体的体对角线长为球的直径，即球的直径为＝＝2，所以球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π()3＝4π，选C．]
4．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )
A．
B．
C．
D．R
D [设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h＜R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H＞R)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R.∵V1＋V2＝V，∴πr2h＋πr2H＝×πR3，∴r2(h＋H)＝R3.∵h＋H＝2R，∴r＝R.
∵OO1垂直于圆锥的底面，∴OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2，∴H＝R，∴h＝R，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D．]
命题点2 内切球
求解内切球问题的关键点
求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径．求内切球半径的一般方法为：将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径．
[高考题型全通关]
1．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为
( )
A．
B． C． D．
B [设圆锥的底面半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以r＝R，S球＝4πr2＝4π·＝R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球的表面积与圆锥的表面积的比值为＝，故选B．]
2．在封闭的正三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是
( )
A．16π
B．
C．12π
D．4π
D [由正三角形ABC的边长为6，得其内切圆的半径为r＝<2，所以在封闭的正三棱柱ABC?A1B1C1内的球的半径的最大值为，所以Vmax＝πr3＝4π，故选D．]
3．如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P?ABC的内切球的表面积为( )
A．π
B．π
C．4π
D．16π
B [由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2，AC＝2，得AB＝2，PC＝2，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，V三棱锥P?ABC＝V三棱锥A?PBC＝S△PBC×PA＝××(2)2×4＝4，三棱锥P?ABC的表面积为S＝×2×4×2＋×(2)2＋×2×5＝16.设内切球半径为r，则V三棱锥P?ABC＝×S×r，即4＝×16×r，所以r＝，所以三棱锥P?ABC的内切球的表面积为4π×＝.]
4．如图，圆柱O1O2的底面直径与高都等于球O的直径，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则＝________.
[设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.所以球的表面积S2＝4πR2，圆柱的表面积S1＝2πR×2R＋πR2＋πR2＝6πR2，则＝＝.]
命题点3 与球有关的最值问题
多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题；二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．
[高考题型全通关]
1．(2020·成都模拟)若矩形ABCD的对角线交点为O′，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且OO′＝，则球O的表面积的最小值为( )
A．
B． C．32π D．48π
C [由题意，知矩形ABCD所在的圆面为球O的一个截面．因为O′为矩形ABCD的对角线的交点，所以OO′所在直线垂直于矩形ABCD所在的圆面．因为矩形ABCD的周长为4，所以BC＋CD＝2.设BC＝x，则CD＝2－x，所以BD2＝BC2＋CD2＝x2＋(2－x)2，即BD2＝2(x－)2＋20.设球O的半径为R，则R2＝＋O′O2＝(x－)2＋8，所以当x＝时，R2取得最小值8，所以球O的表面积的最小值Smin＝4π(R2)min＝32π，故选C．]
2．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA＝BC＝，∠ABC＝，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )
A．8π
B．16π
C．π
D．π
D [如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，∴当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，由××××PD＝3，解得PD＝3，设外接球的半径为R，则OD＝3－R，OC＝R，在△ODC中，CD＝AC＝，由勾股定理得(3－R)2＋()2＝R2，解得R＝2.∴三棱锥P?ABC的外接球的体积V＝π×23＝π.故选D．]
3．(2020·惠州第一次调研)在三棱锥A?BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A?BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A?BCD体积的最大值为________．
[如图，过点C作CH⊥BD于H.由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB＝4.因为AB为外接球的直径，所以∠BDA＝90°，∠BCA＝90°，即BD⊥AD，BC⊥CA，又BC⊥CD，CA∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AD，又BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CH⊥平面ABD．设AD＝x(0＜x＜4)，则BD＝.在△BCD中，BD边上的高CH＝1，所以V三棱锥A?BCD＝V三棱锥C?ABD＝××x××1＝，当x2＝8时，V三棱锥?BCD有最大值，故三棱锥A?BCD体积的最大值为.]
4．已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1＋h2的最小值为________．
2 [由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R＝1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1＋h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD，即AB×BC＝R×AB＋R×BC＋R×CD＋R×AD＝R(2AB＋2BC)＝R(AB＋BC)，所以AB×BC＝AB＋BC．
由基本不等式可得AB×BC＝AB＋BC≥2，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．
所以(h1＋h2)2＝AC2＝AB2＋BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1＋h2的最小值为2.]
7/7
