双曲线
命题点1 双曲线的定义及标准方程
1．利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
3．利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
[高考题型全通关]
1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
D [因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1；当焦点在y轴上时，＝，所以b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.
综上所述，该双曲线的方程为－＝1或－＝1，故选D．]
2．(2020·唐山模拟)双曲线C：－y2＝1(a＞0)的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则S△OPF的最小值为( )
A．
B． C．1 D．2
B [不妨设点P在渐近线y＝x上，由题意知F(，0)．
因为|PO|＝|PF|，所以P，则S△OPF＝×＝＝≥，当且仅当a＝1时取“＝”，故选B．]
3．(2020·广东四校联考)P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1
B．2＋
C．4＋
D．2＋1
D [设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1，选D．]
4．(2020·大同调研)已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．8
B．6
C．10
D．12
D [由M的一条渐近线的方程为y＝x＝x，所以＝，得m2＝5，所以M的半焦距c＝3.
因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，且椭圆E的离心率e＝，所以E的长半轴长a＝4.不妨设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝6，|PF2|＝2，所以|PF1|·|PF2|＝12，故选D．]
5．(2020·东营模拟)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为( )
A．13
B．12
C．11
D．10
C [由题意得双曲线的实半轴长a＝2，虚半轴长b＝.
根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4
①，
|BF2|－|BF1|＝2a＝4
②，
①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋8.
又|AB|min＝＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为11，故选C．]
6．(2020·济南模拟)已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x＝a上
B．|OM|＝a
C．若∠F1IF2＝θ，则△PF1F2的面积为－b2tan
θ
D．△PF1F2的内切圆与x轴的切点为(c－a，0)
ABC [设内切圆与△PF1F2的边F1F2，F2P，F1P分别切于点A，B，C(图略)，切点A的坐标为(x0，0)，则|PF1|－|PF2|＝|PC|＋|CF1|－|PB|－|BF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝(c＋x0)－(c－x0)＝2x0＝2a，所以x0＝a，连接IA，则IA⊥x轴，所以A正确，D不一定正确；设直线F2M交PF1于D，因为PM是∠F1PF2的平分线，且PM⊥F2D，所以△PDF2是等腰三角形，即|PD|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|DF1|＝2a，又易得M是线段DF2的中点，O是线段F1F2的中点，所以|OM|＝|F1D|＝a，故B正确；在△PF1F2中，设∠F1PF2＝α，因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以结合余弦定理可得|PF1|·|PF2|＝，所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|·sin
α＝.
因为∠IF1F2＋∠IF2F1＋θ＝π，即(π－α)＋θ＝π，所以α＝2θ－π，所以S＝＝－＝－＝－b2tan
θ，所以C正确．]
7．(2020·江西红色七校第一次联考)双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上且tan∠F1PF2＝4，O为坐标原点，则|OP|＝________.
[因为tan∠F1PF2＝4，所以sin∠F1PF2＝，cos∠F1PF2＝.
由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－·|PF1|·|PF2|＝16，
又||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|·|PF2|＝7，
则△
F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝2.
设P(x0，y0)，因为△F1PF2的面积为·2c·|y0|＝2，所以|y0|＝，
代入x2－＝1得x＝2，所以|PO|＝＝.]
8．[一题两空](2020·临沂模拟)已知双曲线C经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y＝x，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线C的方程为________，若P为该双曲线右支上一点，点A(6，8)，则当|PA|＋|PF2|取最小值时，点P的坐标为________．
x2－＝1 [由题意，可设双曲线C的方程为y2－3x2＝k，将(2，3)代入，
得32－3×22＝k，得k＝－3，故双曲线C的方程为x2－＝1，作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF2|＝|PF1|－2，则|PA|＋|PF2|＝|PA|＋|PF1|－2≥|AF1|－2，当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立．
由A(6，8)，F1(－2，0)，得直线AF1的方程为y＝x＋2，
由得2x2－4x－7＝0，解得x＝1±，因为点P在双曲线的右支上，所以点P的坐标为.]
命题点2 双曲线的几何性质
双曲线的渐近线与离心率的关系
双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
[高考题型全通关]
1．[多选][教材改编]已知双曲线M：－＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
ACD [依题意，a2＋b2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，a＞b＞0，所以渐近线的倾斜角为30°与150°，所以＝，所以所以ACD正确，B错误．故选ACD．]
2．(2020·德州模拟)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S＝p2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
B [依题意得|MF1|－|MF2|＝2a
①，
|MF1|＋|MF2|＝
②，
联立①②，解得|MF1|＝a＋，|MF2|＝－a，又F1F2为直径，
∴四边形F1NF2M为矩形，∴S＝|MF1|·|MF2|＝－a2，
即＝－a2，即p2＝32a2，
由|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2得2a2＋＝4c2，即3a2＝2c2，∴a2＝2b2，∴＝±，故选B．]
3．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于坐标原点对称的两点，M为l2上一点且kAM·kBM＝e(e为双曲线C的离心率)，则e的值为( )
A．
B．
C．2
D．
B [设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)．
不妨设l1：y＝x，l2：y＝－x，则y0＝－x0，y1＝x1，所以kAM·kBM＝·＝＝，因为kAM·kBM＝e，所以＝e，即＝e，e2－1＝e，e2－e－1＝0，解得e＝.
又e＞1，所以e＝，选B．]
4．(2020·南昌模拟)圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(，)
B．
C．
D．(，＋1)
C [不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0.
因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜＜4，结合a2＋b2＝c2，得＜＜，所以该双曲线的离心率的取值范围是.]
5．(2020·聊城模拟)如图，已知A，B，C是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
B [设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′(图略)，则由|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF′|，BF⊥AC知四边形AFBF′为矩形，设|AF|＝m，则|AF′|＝m＋2a，|AC|＝|AF|＋2|AF|＝3|AF|＝3m，|FC|＝2|AF|＝2m，则|F′C|＝|FC|＋2a＝2m＋2a，则在Rt△AF′C中，|F′C|2＝|AF′|2＋|AC|2，即(2m＋2a)2＝(m＋2a)2＋(3m)2，解得m＝a.
在Rt△AF′F中，|F′F|2＝|AF′|2＋|AF|2，即4c2＝(m＋2a)2＋m2，
即4c2＝＋，整理得＝，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B．]
6．(2020·济南模拟)如图，点A为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，点P为双曲线上一点，作PB⊥x轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点，则双曲线C的离心率为
( )
A．
B．
C．2
D．
A [法一：由题意可得A(a，0)，又A为线段OB的中点，所以可得B(2a，0)，
令x＝2a，则y＝±b，可取P(2a，－b)．
由题意可得圆A经过双曲线的左顶点(－a，0)，即|AP|＝2a，即2a＝，可得a＝b，e＝＝＝，故选A．
法二：设双曲线的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N，由已知易得|PB|＝b，|BM|＝3a，|BN|＝a，连接PM，PN(图略)，
在Rt△PMN中，PB⊥MN，所以|PB|2＝|BM|·|BN|，所以3b2＝3a2，因为c2＝b2＋a2，所以e＝＝，故选A．]
7．(2020·成都模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．
B．(，)
C．∪(，＋∞)
D．(1，)∪(，＋∞)
C [由双曲线定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a，
所以|MF2|＋|MN|＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＋2a＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＞4b－2a恒成立．
法一：(|MF1|＋|MN|)min＞4b－2a.
由平面几何知识知，当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值，所以＞4b－2a，
即3·－8·＋4＞0，解得0＜＜或＞2.
又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)，故选C．
法二：根据题意，不妨取M，则|MF1|＋|MN|＝，由＞4b－2a，解得0＜＜或＞2.
又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)，故选C．]
8．[一题两空][教材改编]已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程是2x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．
3 (－3，5) [因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝＝＝＝3.
因为双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3，0)．
由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得－3＜m＜5，故实数m的取值范围是(－3，5)．]
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