函数的概念、图象与性质
命题点1 函数的概念与表示
1．高考常考定义域易失分点
(1)若f
(x)的定义域为[m，n]，则在f
[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f
[g(x)]的定义域；
(2)若f
[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f
(x)的定义域．
2．高考常考分段函数易失分点
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化．
[高考题型全通关]
1．[教材改编]函数f
(x)＝＋ln(2x＋1)的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
D [要使函数f
(x)＝＋ln(2x＋1)有意义，
则需满足解得－＜x＜2，
即函数f
(x)的定义域为.]
2.[多选]已知f
(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log2?x－1?，x＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，x≤1，))则下列结论正确的是( )
A．f
(f
(1))＝
B．f
(f
(－1))＝
C．f
(f
(0))＝
D．f
＝2
019
ACD [f
(f
(1))＝f
＝eq
\s\up12()＝，选项A正确；f
(f
(－1))＝f
(2)＝0≠，选项B不正确；f
(f
(0))＝f
(1)＝，选项C正确；
f
＝f
＝eq
\s\up12(log2)＝2＝2
019，选项D正确．]
3．(2020·成都模拟)已知函数f
(x)＝则f
(－2)＋f
(1)＝( )
A．
B．
C．
D．
C [f
(－2)＋f
(1)＝sin＋(21＋1)＝sin＋3＝＋3＝，故选C．]
4．已知函数f
(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f
(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0)
B．
C．(0，1)
D．
C [∵函数f
(x＋1)的定义域为(－2，0)，
即－2＜x＜0，
∴－1＜x＋1＜1，则f
(x)的定义域为(－1，1)，
由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1.
∴f
(2x－1)的定义域为(0，1)．]
5．设函数f
(x)＝则满足f
(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
D [当x≤1时，21－x≤2可变形为1－x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1.
当x＞1时，1－log2x≤2可变形为x≥，
∴x＞1.
故x的取值范围为[0，＋∞)．]
6．已知函数f
(x)满足f
(x－a)＝x3＋1，且对任意实数x都有f
(x)＋f
(2－x)＝2，则f
(0)＝________.
0 [根据题意，函数f
(x)满足f
(x－a)＝x3＋1，则f
(x)＝(x＋a)3＋1，则f
(2－x)＝(2－x＋a)3＋1，若对任意实数x都有f
(x)＋f
(2－x)＝2，则有f
(x)＋f
(2－x)＝(x＋a)3＋1＋(2－x＋a)3＋1＝2，可得(x＋a)3＋(2－x＋a)3＝0，解得a＝－1，则f
(x)＝(x－1)3＋1，则f
(0)＝(0－1)3＋1＝－1＋1＝0.]
7．[一题两空](2020·枣庄模拟)已知函数f
(x)＝当a＝0时，f
(x)的最大值为________；若函数f
(x)的最大值为2，则实数a的取值范围是________．
2 [－1，2] [当a＝0时，f
(x)＝x≤0时，f
′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．
由f
′(x)＞0得x＜－1，由f
′(x)＜0得－1＜x≤0.
所以f
(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所以当x≤0时，f
(x)的最大值为f
(－1)＝2.
x＞0时，易知f
(x)＝3－x－1在(0，＋∞)上单调递减，所以f
(x)＜3－0－1＝0.
综上，f
(x)的最大值为2.
分别作出函数y＝x3－3x与y＝3－x－1的大致图象，如图所示，
由图可知，当a∈[－1，2]时，f
(x)的最大值为2.]
命题点2 函数的图象及应用
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
提醒：图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移．
[高考题型全通关]
1．(2020·广东四校联考)函数y＝xcos
x＋的部分图象大致为( )
A [显然函数y＝xcos
x＋为奇函数，其图象关于原点对称，又当x＝π时，y＝πcos
π＋＝－π＋＜0，所以结合各选项可知，选A．]
2．(2020·江西红色七校第一次联考)函数f
(x)＝(其中e为自然对数的底数)在[－6，6]的图象大致为( )
A．
B．
C．
D．
A [f
(－x)＝＝－f
(x)，故f
(x)为奇函数，排除D；当x＞0时，f
(x)＞0，排除C；又f
(2)＝＞1，故选A．]
3．如图所示的函数图象对应的函数解析式可能是( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝2xsin
x
C．y＝
D．y＝(x2－2x)ex
D [根据函数图象可知，当x→－∞时，y→0，故A不符合；根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合；根据函数图象可知，该函数的定义域为R，故C不符合；对于y＝(x2－2x)ex，y′＝ex(x2－2)，令y′＝0得x＝±，可得该函数在(－，)上单调递减，在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，当y＝0时，x＝0或x＝2，当x→＋∞时，y→＋∞，当x→－∞时，y→0，故D符合．]
4．[多选]下列可能是函数f
(x)＝(其中a，b，c∈{－1，0，1})的图象的是( )
ABC [法一：A选项中的图象关于y轴对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝0，b＝1，c＝0，符合条件；B选项中的图象关于原点对称，并结合函数的定义域、单调性，猜想a＝1，b＝0，c＝0，符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，符合条件．观察D选项中的图象知函数f
(x)的零点在(0，1)内，但此种情况不可能存在．故选ABC．
法二：因为函数f
(x)＝(其中a，b，c∈{－1，0，1})的零点只能由ax＋b产生，所以函数f
(x)可能没有零点，也可能零点是x＝0，但是不会产生在区间(0，1)内的零点．故选ABC．]
5．已知函数f
(x)＝若不等式|f
(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[3－2，3＋2]
B．[0，3－2]
C．(3－2，3＋2)
D．[0，3＋2]
D [由函数的解析式易知f
(x)≤0恒成立，则|f
(x)|＝
不等式|f
(x)|≥mx－2恒成立等价于函数y＝|f
(x)|的图象恒不在函数y＝mx－2图象的下方．作出函数y＝|f
(x)|的图象，如图所示，
函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m<0时，不满足题意；当m＝0时，满足题意；当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．
法一：由得x2＋(3－m)x＋2＝0，令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，解得m＝3＋2或m＝3－2，结合图形可知0＜m≤3＋2，综上所得0≤m≤3＋2.
法二：当m＞0时，要使|f
(x)|≥mx－2恒成立，只要x＞0时，|f
(x)|≥mx－2，即x2＋3x≥mx－2，得x2＋3x＋2≥mx，得m≤x＋＋3即可．
∵当x＞0时，x＋＋3≥3＋2＝3＋2，
即0＜m≤3＋2，综上所得0≤m≤3＋2.]
6．已知函数f
(x)＝若方程f
(x)＝a有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3(x1＋x2)＋的取值范围为( )
A．(－1，＋∞)
B．(－1，1]
C．(－∞，1)
D．[－1，1)
B [作出函数f
(x)的图象，如图所示．
∵方程f
(x)＝a有四个不同的根x1，x2，x3，x4，
∴函数y＝f
(x)的图象与直线y＝a有四个不同的交点，由图可知0＜a≤1，又x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1＋x2＝－2，0＜x3＜1＜x4，
且|log2x3|＝|log2x4|，即－log2x3＝log2x4，
则log2x3＋log2x4＝0，即log2x3x4＝0，则x3x4＝1.
由|log2x|＝1得x＝或2，则≤x3＜1，1＜x4≤2，
故x3(x1＋x2)＋＝－2x3＋，≤x3＜1，又函数y＝－2x＋在上为减函数，故－1＜－2x3＋≤1，故x3(x1＋x2)＋的取值范围为(－1，1]．故选B．]
7．(2020·石家庄模拟)已知函数f
(x)＝g(x)＝ax－2(a∈R)满足：
①当x＜0时，方程f
(x)＝g(x)无解；②当x＞0时，至少存在一个整数x0使f
(x0)≥g(x0)．
则实数a的取值范围为________．
(e－3，3] [绘制函数f
(x)的图象如图所示，函数g(x)恒过点(0，－2)，
①当x＜0时，方程f
(x)＝g(x)无解，考查临界情况，
当x＜0时，f
(x)＝－ln(－x)，
f
′(x)＝－·(－1)＝－，
设f
(x)与g(x)的切点坐标为(x0，－ln(－x0))，切线斜率为k＝－，
故切线方程为y＋ln(－x0)＝－(x－x0)，切线过点(0，－2)．
则－2＋ln(－x0)＝－·(－x0)＝1，解得x0＝－e3，
故切线的斜率k＝－＝e－3，
据此可得a＞e－3.
②当x＞0时，
x＝1时，－6x2＋20x－13＝1，点(0，－2)，(1，1)两点连线的斜率k＝＝3，x＝2时，－6x2＋20x－13＝3，＝3，点(0，－2)，(2，3)两点连线的斜率k＝＝，
据此可得a≤3，
综上可得，实数a的取值范围为e－3＜a≤3.]
命题点3 函数的性质及应用
明确函数的4个性质
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f
(x)＝f
(|x|)；
(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题．
[高考题型全通关]
1．[多选]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(－3x)
B．y＝ex＋e－x
C．y＝x2＋1
D．y＝cos
x＋3
BC [对于A，设f
(x)＝ln(－3x)，则f
(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－f
(x)，又f
(x)的定义域为R，所以f
(x)是奇函数，故A不符合题意；对于B，设g(x)＝ex＋e－x，g(x)显然为偶函数，g′(x)＝ex－e－x，当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；对于C，易知y＝x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故C符合题意；对于D，易知y＝cos
x＋3在(0，＋∞)上不单调，故D不符合题意．故选BC．]
2．[多选]函数f
(x)的定义域为R，且f
(x＋1)与f
(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f
(x)为奇函数
B．f
(x)为周期函数
C．f
(x＋3)为奇函数
D．f
(x＋4)为偶函数
ABC [因为f
(x＋1)，f
(x＋2)均为奇函数，所以f
(－x＋1)＝－f
(x＋1)，f
(－x＋2)＝－f
(x＋2)．
在f
(－x＋1)＝－f
(x＋1)中，以x＋1代换x，得f
(－x)＝－f
(x＋2)，将f
(－x＋2)＝－f
(x＋2)代入，
得f
(－x)＝f
(－x＋2)，以－x代换x，得f
(x)＝f
(x＋2)，所以f
(x)为周期函数，选项B正确；
由f
(－x＋2)＝－f
(x＋2)，得f
(－x＋2)＝－f
(x)，以－x代换x，得f
(x＋2)＝－f
(－x)，即f
(x)＝－f
(－x)，即f
(－x)＝－f
(x)，所以f
(x)为奇函数，选项A正确；
f
(x＋3)＝f
(x＋1)，f
(x＋1)为奇函数，故f
(x＋3)为奇函数，选项C正确；
因为f
(x＋4)＝f
(x＋2)＝f
(x)，若f
(x＋4)为偶函数，则f
(x)也为偶函数，与f
(x)为奇函数矛盾，故选项D不正确．]
3．设函数f
(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2
019的值为( )
A．1
B．2
C．22
019
D．32
019
A [由已知x∈R，f
(x)＝
＝
＝＋1，
令g(x)＝，
易知g(x)为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M＋N＝f
(x)max＋f
(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2
019＝1.]
4．已知函数f
(x)＝则f
(3－x2)＞f
(2x)的解集为( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－3，1)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1，3)
B [当x＜0时，f
(x)＝x3－x2，f
′(x)＝x2－x，
∵x＜0，∴f
′(x)＞0，f
(x)单调递增，且x→0时，f
(x)→0，∴f
(x)＜0，
当x≥0时，f
(x)＝ex单调递增，且f
(x)≥f
(0)＝1，
因此可得f
(x)单调递增，
∴f
(3－x2)＞f
(2x)可转化为3－x2＞2x，
解得－3＜x＜1.]
5．(2020·四川五校联考)已知定义在R上的奇函数f
(x)满足f
(x＋4)＝f
(x)，当x∈(0，1]时，f
(x)＝2x＋ln
x，则f
(2
019)＝________.
－2 [由f
(x)＝f
(x＋4)得f
(x)是周期为4的函数，故f
(2
019)＝f
(4×505－1)＝f
(－1)，又f
(x)为奇函数，所以f
(－1)＝－f
(1)＝－(2＋ln
1)＝－2.]
6．已知定义在R上的函数f
(x)满足：函数y＝f
(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且x≥0时恒有f
(x＋2)＝f
(x)，当x∈[0，1]时，f
(x)＝ex－1，则f
(2
018)＋f
(－2
019)＝________.
1－e [因为函数y＝f
(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以y＝f
(x)的图象关于原点对称，
又定义域为R，所以函数y＝f
(x)是奇函数，因为x≥0时恒有f
(x＋2)＝f
(x)，
所以f
(2
018)＋f
(－2
019)＝f
(0)－f
(2
019)
＝－f
(1)＋f
(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e.]
7．(2020·大同调研)若函数f
(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________．
6 [由f
(x)＝＝3－，x∈[－3，5]，则f
(x＋1)＝3－，x∈[－4，4]，令g(x)＝－，x∈[－4，4]，可得g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称．
设g(x)在[－4，4]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0.
因为f
(x)与f
(x＋1)的值域相同，所以f
(x)的最大值与f
(x＋1)的最大值相同，f
(x)的最小值与f
(x＋1)的最小值相同，则p＝M＋3，q＝m＋3，所以p＋q＝6.]
12/12
