高考中的创新应用题
命题点1 与高等数学巧接轨
[高考题型全通关]
1．[极限思想]我国古代数学家刘徽提出的割圆术为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”虽然代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出x＝2，类似地，不难得到1＋＝( )
A．
B．
C．
D．
C [依题意得1＋＝x(x＞0)，解得x＝或x＝(舍去)，
所以1＋＝，故选C．]
2．[多选][特征函数]若对于定义在R上的函数f
(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f
(x＋λ)＋λf
(x)＝0对任意的实数x都成立，则称f
(x)是“λ～特征函数”．下列结论中正确的是( )
A．f
(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”
B．f
(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”
C．“～特征函数”至少有一个零点
D．f
(x)＝ex是“λ～特征函数”
BCD [对于A，设f
(x)＝C，C为常数，当λ＝－1时，f
(x＋λ)＋λf
(x)＝0恒成立，所以函数f
(x)＝C是“λ～特征函数”，所以f
(x)＝0不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，所以A不正确．
对于B，函数f
(x)＝2x＋1，则f
(x＋λ)＋λf
(x)＝2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0，即2(λ＋1)x＝－3λ－1，
当λ＝－1时，f
(x＋λ)＋λf
(x)＝－2≠0，
当λ≠－1时，方程2(λ＋1)x＝－3λ－1有唯一的解，
所以不存在常数λ(λ∈R)使得f
(x＋λ)＋λf
(x)＝0对任意的实数x都成立，
所以函数f
(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”，所以B正确．
对于C，当λ＝时，令x＝0，可得f
＋f
(0)＝0，所以f
＝－f
(0)，
若f
(0)＝0，显然f
(x)＝0有实数根，若f
(0)≠0，f
·f
(0)＝－2＜0，
又函数f
(x)的图象是连续的，所以f
(x)＝0在上必有实数根，
即“～特征函数”至少有一个零点，所以C正确．
对于D，假设f
(x)＝ex是“λ～特征函数”，则ex＋λ＋λex＝0对任意的实数x成立，
即eλ＋λ＝0对任意的实数x成立，而此式有解，所以f
(x)＝ex是“λ～特征函教”，所以D正确．]
3．[高斯函数](2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f
(x)＝，则函数y＝[f
(x)]的值域是( )
A．{0，1}
B．(0，2)
C．(0，1)
D．{－1，0，1}
A [法一：因为f
(x)＝＝＝2－∈(0，2)，
所以当f
(x)∈(0，1)时，y＝[f
(x)]＝0；当f
(x)∈[1，2)时，y＝[f
(x)]＝1.
所以函数y＝[f
(x)]的值域是{0，1}．故选A．
法二：因为y＝[f
(x)]不可能为小数，所以排除B，C；
又2x＞0，所以f
(x)＝＞0，所以y＝[f
(x)]≠－1，排除D．故选A．]
4．[多选][狄利克雷函数]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f
(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f
(x)有如下四个命题，其中正确的是( )
A．f
(f
(x))＝0
B．函数f
(x)是偶函数
C．任取一个不为零的有理数T，f
(x＋T)＝f
(x)对任意的x∈R恒成立
D．存在三个点A(x1，f
(x1))，B(x2，f
(x2))，C(x3，f
(x3))，使得△ABC为等边三角形
BCD [对于A，当x为有理数时，f
(x)＝1，f
(f
(x))＝f
(1)＝1，故A是假命题．
对于B，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈?RQ，则－x∈?RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f
(－x)＝f
(x)，即函数f
(x)为偶函数，故B是真命题．
对于C，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f
(x＋T)＝f
(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f
(x＋T)＝f
(x)＝0，故C是真命题．
对于D，当A，B，C三点满足A，B(0，1)，C时，△ABC为等边三角形，故D是真命题．]
5．[多选][函数的凹凸性]设f
′(x)是函数f
(x)的导函数，若f
′(x)>0，且?x1，x2∈R(x1≠x2)，f
(x1)＋f
(x2)＜2f
，则下列选项中一定正确的是( )
A．f
(2)＜f
(e)＜f
(π)
B．f
′(π)＜f
′(e)＜f
′(2)
C．f
(2)＜f
′(2)－f
′(3)＜f
(3)
D．f
′(3)＜f
(3)－f
(2)＜f
′(2)
ABD [因为f
′(x)＞0，所以f
(x)在R上单调递增．
?x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f
(x1)＋f
(x2)＜2f
，
即＜f
，
所以y＝f
(x)的图象是向上凸起的，大致图象如图所示．
由图可知f
(2)＜f
(e)＜f
(π)，故A项正确；
因为f
′(x)反映了函数f
(x)图象上各点处的切线的斜率，
由图可知，随着x的增大，f
(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以f
′(π)＜f
′(e)′(2)，故B项正确；
因为表示点A(2，f
(2))与B(3，f
(3))连线所在直线的斜率kAB，所以结合图可知f
′(3)＜kAB＜f
′(2)，故D正确；C项无法判断．]
6．[不动点定理](2020·西安模拟)设I是函数y＝f
(x)的定义域，若存在x0∈I，使f
(x0)＝－x0，则称x0是f
(x)的一个“次不动点”，也称f
(x)在区间I上存在“次不动点”．若函数f
(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，0)∪(0，2)
B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．[－1，1]
A [因为函数f
(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点”，
所以ax3－3x2－x＋1＝－x在R上有三个解，即ax3－3x2＋1＝0在R上有三个解．
设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g′(x)＝3ax2－6x，由题意知a≠0，令g′(x)＝0，得3ax2－6x＝0，解得x＝0或x＝.
①当a＞0时，由g′(x)>0得x＞或x＜0；由g′(x)＜0得0＜x＜.
要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得0＜a＜2.
②当a<0时，由g′(x)＜0得x＞0或x＜；由g′(x)＞0得＜x＜0.
要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得－2＜a＜0.
所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，2)，故选A．]
命题点2 新定义、新信息迁移问题
[高考题型全通关]
1．[定义新函数](2020·长春模拟)设函数f
(x)的定义域为D，若满足条件“存在[m，n]?D，使f
(x)在[m，n]上的值域为[km，kn](k∈R且k＞0)”，则称f
(x)为“k倍函数”．给出下列结论：①f
(x)＝是“1倍函数”；②f
(x)＝x2是“2倍函数”；③f
(x)＝ex是“3倍函数”．其中正确的是( )
A．①②
B．①③ C．②③ D．①②③
D [①若f
(x)＝是“1倍函数”，则存在[m1，n1]?(－∞，0)∪(0，＋∞)，使f
(x)在[m1，n1]上的值域为[m1，n1]．
若[m1，n1]?(－∞，0)，由f
(x)＝在(－∞，0)上单调递减，得所以m1n1＝1.
令m1＝－2，n1＝－，则f
(x)＝在上的值域为，
所以f
(x)＝是“1倍函数”．
②若f
(x)＝x2是“2倍函数”，则存在[m2，n2]?R，使f
(x)在[m2，n2]上的值域为[2m2，2n2]．
因为f
(x)＝x2≥0，所以n2＞m2≥0.
又f
(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增，所以解得m2＝0，n2＝2，
即f
(x)＝x2在[0，2]上的值域为[0，4]，所以f
(x)＝x2是“2倍函数”．
③若f
(x)＝ex是“3倍函数”，则存在[m3，n3]?R，使f
(x)在[m3，n3]上的值域为[3m3，3n3]．
因为f
(x)＝ex在R上单调递增，所以eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(f?m3?＝e＝3m3，,f?n3?＝e＝3n3，))等价于ex＝3x有两个不等实根．
记g(x)＝ex－3x，现证g(x)有两个零点，
g′(x)＝ex－3，令g′(x)＝ex－3＝0，解得x＝ln
3，
即函数g(x)＝ex－3x在(－∞，ln
3)上单调递减，在(ln
3，＋∞)上单调递增．
又g(ln
3)＝eln
3－3ln
3＝3－3ln
3＝3ln＜0，g(－1)＝e－1＋3＞0，g(2)＝e2－6＞0，所以g(x)＝0有两个零点．
即ex＝3x有两个不等实根，所以存在[m3，n3]?R，使f
(x)＝ex在[m3，n3]上的值域为[3m3，3n3]．
所以f
(x)＝ex是“3倍函数”．
综上所述，①②③均正确．故选D．]
2．[设置新概念](2020·南京师大附中模拟)已知函数f
(x)的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得f
(x)满足①f
(x)在[a，b]上是单调函数，②f
(x)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为f
(x)的“倍增区间”．下列函数存在“倍增区间”的是( )
A．f
(x)＝x＋1(x∈R)
B．f
(x)＝x2(x≥0)
C．f
(x)＝x＋(x＞0)
D．f
(x)＝3x(x∈R)
B [对于A，f
(x)＝x＋1(x∈R)在[a1，b1](a1＜b1)上单调递增，则x＋1＝2x没有两个不同的解，所以A不正确．
对于B，f
(x)＝x2(x≥0)在[a2，b2](0≤a2＜b2)上单调递增，则根据题意知x2＝2x在x≥0时有两个不同的解，易得解为x1＝0，x2＝2，符合题意，所以B正确．
对于C，f
(x)＝x＋(x＞0)在[a3，b3](1≤a3＜b3)上单调递增，则x＋＝2x在x＞1时没有两个不同的解；同理得，f
(x)的任意单调区间都不符合题意，所以C不正确．
对于D，f
(x)＝3x(x∈R)在[a4，b4](a4＜b4)上单调递增，则曲线y＝3x与直线y＝2x没有交点，即3x＝2x没有两个不同的解，所以D不正确．故选B．]
3．[设置新信息](2020·全国卷Ⅱ)0?1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0?1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0?1序列a1a2…an…，C(k)＝aiai＋k(k＝1，2，…，m－1)是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0?1序列中，满足C(k)≤(k＝1，2，3，4)的序列是( )
A．11010…
B．11011…
C．10001…
D．11001…
C [对于A，因为C(1)＝＝，C(2)＝＝，不满足C(k)≤，故A不正确；对于B，因为C(1)＝＝，不满足C(k)≤，故B不正确；对于C，因为C(1)＝＝，C(2)＝＝0，C(3)＝＝0，C(4)＝＝，满足C(k)≤，故C正确；对于D，因为C(1)＝＝，不满足C(k)≤，故D不正确．综上所述，故选C．]
命题点3 设置新情境
[高考题型全通关]
1．[与其他学科融合]已知C60是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它有60个顶点和若干个面，各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图所示．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面的个数为
( )
A．10
B．12
C．16
D．20
B [由结构图知：每个顶点同时在3个面内，所以正五边形的面的个数为＝12，故选B．]
2．[与社会热点结合](2020·长沙模拟)某市在“一带一路”国际合作高峰论坛举行前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，对收到的稿件进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图．已知全市高一年级共交稿2
000份，则全市高三年级的交稿数为( )
A
2
800
B．3
000 C．3
200 D．3
400
D [全市高一年级共交稿2
000份，交稿数在总交稿数中占＝，所以总交稿数为2
000÷＝9
000，全市高二年级的交稿数占总交稿数的＝，所以全市高三年级的交稿数占总交稿数的1－－＝，所以全市高三年级的交稿数为9
000×＝3
400.故选D．]
3．[与生产实际结合]中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．某科研机构研究发现，某品种中医药的成分甲的含量x(单位：克)与药物功效y(单位：药物单位)之间的关系为y＝10x－x2.检测这种药品同一个批次的5个样本，得到成分甲的含量的平均值为4克，标准差为克，则估计这批这种药品的药物功效的平均值为
( )
A．22药物单位
B．20药物单位
C．12药物单位
D．10药物单位
A [设5个样本的成分甲的含量分别为x1，x2，x3，x4，x5，其平均值为，标准差为s，5个样本的药物功效分别为y1，y2，y3，y4，y5，其平均值为，则＝4，s＝，
所以s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝2，
所以(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2＝10，
所以(x＋x＋…＋x)－2(x1＋x2＋…＋x5)＋52＝10，
所以(x＋x＋…＋x)－2×5×＋52＝10，
所以(x＋x＋…＋x)－52＝10，
所以x＋x＋…＋x＝90，
则y1＋y2＋…＋y5＝10(x1＋x2＋…＋x5)－(x＋x＋…＋x)＝110，则＝22，
所以估计这批这种药品的药物功效的平均值为22药物单位．故选A．]
4．[与生活实际结合](2020·丰台模拟)某快递公司的四个快递点A，B，C，D按如图所示的形状分布，每个快递点均已配备快递车10辆．因业务发展需要，需将A，B，C，D四个快递点的快递车分别调整为5辆，7辆，14辆，14辆，要求只能在相邻的两个快递点间进行调整，且每次只能调整1辆快递车，则( )
A．最少需要调整8次，相应的可行方案有1种
B．最少需要调整8次，相应的可行方案有2种
C．最少需要调整9次，相应的可行方案有1种
D．最少需要调整9次，相应的可行方案有2种
D [结合图分析如下：
(1)A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9(次)．
(2)A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9(次)．
故选D．]
5．[多选][与现代科技结合]一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以“先前进3步，再后退2步”的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度)，令P(n)表示第n秒机器人所在的点对应的实数，且记P(0)＝0，则下列结论中正确的是( )
A．P(3)＝3
B．P(5)＝1
C．P(2
017)＞P(2
006)
D．P(2
003)＜P(2
006)
ABC [由题意可知P(0)＝0，P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，…，以此类推得，P(5k)＝k(k为正整数)，p(5k＋1)＝k＋1，p(5k＋2)＝k＋2，p(5k＋3)＝k＋3，因此P(2
003)＝403，P(2
006)＝402，P(2
007)＝403，故P(2
003)＞P(2
006)，P(2
007)＞P(2
006)，故A，B，C正确，D错误．]
6．[与“五育”结合]图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
图① 图②
[由题意知OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，且△OA1A2，△OA2A3，…，△OA7A8都是直角三角形，所以a1＝1，且a＝a＋1，
所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以a＝1＋(n－1)×1＝n.
又an＞0，所以an＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.]
命题点4 数据分析题、开放题及结构不良题等
[高考题型全通关]
1．有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：
在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝，________，求角A．
若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有已知条件才能解得，则选出一个符合要求的已知条件是( )
A．C＝75°
B．b＝
C．bcos
A＝acos
B
D．S△ABC＝
D [由于正确答案为A＝60°，故C＝180°－60°－45°＝75°＝45°＋30°，根据正弦定理＝，解得c＝.
故一个符合要求的已知条件可以是c＝.
而选项中没有该选项，但由S△ABC＝，
即acsin
B＝，
得c＝＝.
也就是给出S△ABC＝，使用所有已知条件能解出正确答案为A＝60°.故选D．]
2．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
①③④?②(或②③④?①) [观察发现，①③④?②与②③④?①是正确的命题．证明如下：
证①③④?②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β.因为m⊥n，n⊥β，则m?β或m∥β，又m⊥α，故可得α⊥β，命题正确；
证②③④?①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n.因为m⊥α，α⊥β，则m?β或m∥β，又n⊥β，故可得m⊥n，命题正确．]
3．(2020·门头沟区一模)在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在下列的空白处．
①___________________________________________________；
②___________________________________________________.
[答案] ①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；
②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．(答案不唯一)
4.如图，在四棱锥P?ABCD中，E为CD上的动点，当四边形ABCD满足__________时，体积VP?AEB恒为定值．(写上你认为正确的一个答案即可)
CD∥AB [设四棱锥P?ABCD的高为h，则VP?AEB＝S△AEBh，所以S△AEB一定时，VP?AEB才恒为定值．
因为S△AEB＝AB·h′(h′是△AEB的高)，所以h′一定时，
S△AEB是定值，此时需要CD∥AB．
故四边形ABCD满足CD∥AB时，VP?AEB恒为定值．]
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