基本初等函数、函数与方程
命题点1 基本初等函数的图象与性质
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0
(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
[高考题型全通关]
1．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)设a＝log318，b＝log424，c＝2eq
\s\up12()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
D [c＝2＜2，a＝log318＝1＋log36＝1＋，b＝log424＝1＋log46＝1＋.
因为0＜log63＜log64＜1，所以＞＞1，所以1＋＞1＋＞2，即a＞b＞c，选D．]
2．(2020·惠州第一次调研)已知函数f
(x)＝|ln(－x)|，设a＝f
(log30.2)，b＝f
(3－0.2)，c＝f
(－31.1)，则( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
C [法一：f
(x)＝|ln(－x)|＝＝|ln(＋x)|＝f
(－x)，所以函数f
(x)＝|ln(－x)|是偶函数．
当x＞0时，f
(x)＝ln(＋x)，此时函数f
(x)单调递增，a＝f
(log30.2)＝f
(log35)，b＝f
(3－0.2)，c＝f
(－31.1)＝f
(31.1)，因为31.1＞log35＞3－0.2＞0，所以c＞a＞b.选C．
法二：令g(x)＝ln(－x)，则g(－x)＋g(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝ln
1＝0，所以g(x)为奇函数，y＝f
(x)＝|g(x)|为偶函数．
当x＞0时，函数f
(x)＝|ln(－x)|＝ln(＋x)单调递增，又f
(0)＝ln
1＝0，所以函数f
(x)的大致图象如图所示．
－2＜log30.2＝log3＝－log35＜－1，0＜3－0.2＝＜1，－31.1＜－3，结合图象可知f
(－31.1)＞f
(log30.2)＞f
(3－0.2)，即c＞a＞b，故选C．
]
3．[教材改编]已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是( )
A．＞
B．ln(a－b)＞0
C．2a－b＜1
D．＜
D [由log2a＞log2b可得a＞b＞0，
故a－b＞0，逐一考查所给的选项：
A项，＜；
B项，a－b＞0，ln(a－b)的符号不能确定；
C项，2a－b＞1；
D项，＜＜.]
4．(2020·合肥调研)函数f
(x)＝ln的图象大致为( )
B [法一：因为f
(－x)＝ln＝ln＝ln＝f
(x)，所以函数f
(x)为偶函数，故排除A，D；
又f
(1)＝ln＜0，f
(2)＝ln＝ln＞0，所以f
(2)＞f
(1)，故排除C．故选B．
法二：因为f
(x)＝ln＝ln，所以当x→＋∞时，f
(x)→＋∞，排除A，C；当x→－∞时，1－→－1，x→＋∞，则f
(x)→＋∞，排除D．故选B．]
5．已知函数f
(x)＝ex＋2(x＜0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A．
B．(－∞，e)
C．
D．
B [由题意知，方程f
(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln
x左右平移得到，
当a＜0时，向右平移，两函数总有交点，
当a＝0时，两函数总有交点，
当a＞0时，向左平移，由图可知，
将函数y＝ln
x的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0，1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln
a，即a＝e，∴a＜e.]
6．[多选](2020·济南模拟)已知函数f
(x)＝2，则下列结论中正确的是( )
A．函数f
(x)的图象关于原点对称
B．当a＝－1时，函数f
(x)的值域为[4，＋∞)
C．若方程f
(x)＝没有实数根，则a＜－1
D．若函数f
(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0
BD [由题意知，函数f
(x)的定义域为{x|x≠0}，且f
(－x)＝2＝f
(x)，因此函数f
(x)是偶函数，其图象不关于原点对称，故A选项错误．当a＝－1时，f
(x)＝2，而＝|x|＋≥2，所以f
(x)＝2≥4，即函数f
(x)的值域为[4，＋∞)，B选项正确．
由f
(x)＝，得＝－2，得x2＋2|x|－a＝0.
要使原方程没有实数根，应使方程x2＋2|x|－a＝0没有实数根．
令|x|＝t(t＞0)，则方程t2＋2t－a＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或即4＋4a＜0或解得a＜－1或－1≤a≤0，
综上，a≤0.故C选项错误．要使函数f
(x)在(0，＋∞)上单调递增，需g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x)＝＝x－在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x)＝1＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥0，故D选项正确．]
命题点2 函数的零点
1．判断函数零点的方法
(1)解方程法，即解方程f
(x)＝0，方程有几个解，函数f
(x)有几个零点；
(2)图象法，画出函数f
(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f
(x)的零点个数；
(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；
(4)利用零点存在性定理判断．
2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
[高考题型全通关]
1．(2020·四川五校联考)已知函数f
(x)＝x3＋a，则f
(x)的零点个数可能为( )
A．1个
B．1个或2个
C．1个或2个或3个
D．2个或3个
A [当a＝0时，函数f
(x)＝x3，只有1个零点；当a≠0时，令f
(x)＝x3＋a＝0，显然x≠0，故－＝＝＋＋，设t＝(t≠0)，则－＝g(t)＝6t3＋3t2＋t(t≠0)，g′(t)＝18t2＋6t＋，Δ＝36－4××18＝－72＜0，g′(t)＞0恒成立，故g(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且g(t)可取遍除0外的所有实数，所以－＝g(t)只有一个解，即函数f
(x)只有1个零点．故选A．]
2．(2020·凉山质检)已知函数f
(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f
(x)]2－10f
(x)＋3的零点个数为( )
A．4
B．5
C．6 D．3
A [当x≥0时，f
(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f
′(x)＝12x2－12x，
当0＜x＜1时，f
(x)单调递减，x＞1时，f
(x)单调递增，
可得f
(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f
(0)＝1，
作出函数f
(x)的图象，如图所示．
g(x)＝3[f
(x)]2－10f
(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f
(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f
(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f
(x)＝3有一个实根，
综上，g(x)共有四个零点．]
3．(2020·大同调研)已知函数f
(x)＝，且函数h(x)＝f
(x)＋x－a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，－1]
B [h(x)＝f
(x)＋x－a有且只有一个零点，即方程f
(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f
(x)＝－x＋a有且只有一个实根，即函数y＝f
(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f
(x)的图象和直线y＝－x＋a，如图所示，若函数y＝f
(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点，则有a＞1，故选B．
]
4．设函数f
(x)是定义在R上的偶函数，且f
(x＋2)＝f
(2－x)，当x∈[－2，0)时，f
(x)＝－1，则在区间(－2，6)内关于x的方程f
(x)－log8(x＋2)＝0解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [对于任意的x∈R，都有f
(2＋x)＝f
(2－x)，
∴f
(x＋4)＝f
[2＋(x＋2)]
＝f
[2－(x＋2)]＝f
(－x)＝f
(x)，
∴函数f
(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2，0)时，f
(x)＝－1，且函数f
(x)是定义在R上的偶函数，且f
(6)＝1，则函数y＝f
(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，
根据图象可得y＝f
(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点．]
5．已知函数f
(x)＝若函数g(x)＝f
(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．2
B．2或2＋
C．2或3
D．2或3或2＋
D [当x≤0时，f
′(x)＝(x＋1)ex，当x＜－1时，f
′(x)＜0，故f
(x)在(－∞，－1)上为减函数，当－1＜x≤0时，f
′(x)＞0，故f
(x)在(－1，0]上为增函数，所以当x≤0时，f
(x)的最小值为f
(－1)＝－.
又当x≥1时，f
(x)＝3－x，当0＜x＜1时，f
(x)＝x＋1，作出f
(x)的图象，如图所示，因为g(x)＝f
(x)－m有两个不同的零点，所以方程f
(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f
(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1＜m＜2或m＝0或m＝－.
若1＜m＜2，则x1＋x2＝2；若m＝0，则x1＋x2＝3；
若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋.故选D．]
6．已知函数f
(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f
(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根，则实数a的取值集合为________．
{1，9} [法一：依题意得，关于x的方程|x2＋3x|＝a|x－1|有3个互不相等的实根，注意到x＝1不是方程|x2＋3x|＝a|x－1|的根，于是有a＝＝.
令x－1＝t，则＝.
记g(t)＝，则函数g(t)＝的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，作出函数g(t)＝的图象如图所示，结合图象可知，a＝1或a＝9.
因此，实数a的取值集合是{1，9}．
法二：依题意得，关于x的方程|x2＋3x|＝a|x－1|有3个互不相等的实根，因此a＞0，所以|x2＋3x|＝|ax－a|有3个互不相等的实根，即方程x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax共有3个互不相等的实根，即方程x2＋(3－a)x＋a＝0与x2＋(3＋a)x－a＝0共有3个互不相等的实根．
注意到当a＞0时，方程x2＋(3＋a)x－a＝0的判别式大于0，所以方程x2＋(3＋a)x－a＝0必有2个不相等的实根．
假设方程x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax有相同的根，可得相同的根为x＝1，但当x＝1时，x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax均不成立，所以方程x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax没有相同的根，所以方程x2＋(3－a)x＋a＝0有2个相等的实根，故其判别式Δ＝(3－a)2－4a＝0(a＞0)，解得a＝1或a＝9.所以实数a的取值集合是{1，9}．]
命题点3 函数建模与信息题
1．构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型；
(2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
2．解决新概念信息题的关键
(1)依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题．
[高考题型全通关]
1．我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：“每车坐3人，有2辆车空出来；每车坐2人，多出9人步行．问人数和车辆数各是多少？”该问题中的车辆数为( )
A．12
B．14 C．15 D．18
C [设车有x辆，则3(x－2)＝2x＋9，解得x＝15.]
2．对于函数f
(x)，若存在实数m，使得g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)为R上的奇函数，则称f
(x)是位差值为m的“位差奇函数”．给出下列三个函数：
①f
(x)＝2x＋1；②f
(x)＝x2－2x＋1；③f
(x)＝2x.
其中是“位差奇函数”的有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B [对于①，f
(x)＝2x＋1，则g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)＝2(x＋m)＋1－(2m＋1)＝2x，则对任意实数m，g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)均是R上的奇函数，即f
(x)＝2x＋1是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f
(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)＝x2＋2(m－1)x，无论m取何值，g(x)都不是R上的奇函数，则f
(x)＝x2－2x＋1不是“位差奇函数”；对于③，f
(x)＝2x，则g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)＝2x＋m－2m＝2m(2x－1)，无论m取何值，g(x)＝f
(x＋m)－f
(m)都不是R上的奇函数，则g(x)不是“位差奇函数”．故选B．]
3．[多选](2020·烟台模拟)我们定义这样一种运算“?”：①对任意a∈R，a?0＝0?a＝a；②对任意a，b∈R，(a?b)?c＝c?(ab)＋(a?c)＋(b?c)．若f
(x)＝ex－1?e1－x，则以下结论正确的是( )
A．f
(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f
(x)在R上单调递减
C．f
(x)的最小值为3
D．f
(2eq
\s\up12())＞f
(2eq
\s\up12())＞f
(log3)
AC [对任意a，b∈R，(a?b)?c＝c?(ab)＋(a?c)＋(b?c)，令c＝0，得(a?b)?0＝0?(ab)＋(a?0)＋(b?0)，得(a?b)?0＝a?b＝ab＋a＋b，所以f
(x)＝ex－1?e1－x＝ex－1＋e1－x＋1.
f
(1－x)＝e－x＋ex＋1，f
(1＋x)＝e－x＋ex＋1，所以f
(1－x)＝f
(1＋x)，所以f
(x)的图象关于直线x＝1对称，A项正确；
f
′(x)＝ex－1－e1－x，当x＞1时，f
′(x)＞0，当x＜1时，f
′(x)＜0，所以f
(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B项不正确；
f
(x)＝ex－1＋e1－x＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，C项正确；根据f
(x)的图象关于直线x＝1对称，得f
(log3)＝f
(log381)，又f
(x)在(1，＋∞)上单调递增，log381＝4，1＜2eq
\s\up12()＜2eq
\s\up12()＜4，所以f
(2eq
\s\up12())＜f
(2eq
\s\up12())＜f
(log381)，所以f
(2eq
\s\up12())＜f
(2eq
\s\up12())＜f
(log3)，故D项错误．]
4．已知M＝{α|f
(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|＜n，则称函数f
(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f
(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
B [由题意可知f
(2)＝0，且f
(x)在R上单调递减，所以函数f
(x)只有一个零点2，由|2－β|＜1，得1＜β＜3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点．
由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.
令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝＞，要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈，故选B．]
5．[一题两空]某种物质在经过时间t(单位：min)后的浓度为M(单位：mg/L)，M与t满足函数关系M＝art＋24(a，r为常数)．当t＝0
min和t＝1
min时测得该物质的浓度分别为124
mg/L和64
mg/L，当t＝4
min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001
mg/L，则最小的整数t的值为________．(参考数据：lg
2≈0.3.)
26．56 13 [由题意得ar0＋24＝124且ar＋24＝64，解得a＝100，r＝0.4，∴M＝100×0.4t＋24，当t＝4时，M＝100×0.44＋24＝26.56.
由100×0.4t＋24＜24.001得0.4t＜0.15，
∴lg
0.4t＜lg
0.15，
∴tlg
0.4＜－5，∴t[lg
2－(1－lg
2)]＜－5，
∴t(2lg
2－1)＜－5，
∴t＞≈12.5，
∴最小的整数t的值是13.]
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