不等式
[回归教材]
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)；
(2)ab≤
(a，b∈R)；
(3)≥≥(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
【易错提醒】
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如函数f
(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．
[保温训练]
1．[多选]若a，b，c为实数，则下列命题为假命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＜b＜0，则＞
ACD [选项A错误，因为c＝0时不成立；选项B正确，因为a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0，所以a2＞ab＞b2；选项C错误，应为＞；选项D错误，因为－＝＝＜0，所以＜.故选ACD．]
2．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2，3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
C [由题知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2，3)，所以方程(x－a)·[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.]
3．已知点C在直线AB上，且平面内的任意一点O，满足＝x＋y，x＞0，y＞0，则＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [∵点C在直线AB上，故存在实数λ使得＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号．故选B．]
4．已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当取最小值时，a＋b－c的最大值为( )
A．2
B．
C．
D．
C [由题得c＝a2－ab＋4b2，所以＝＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝，即a＝2b时取等号，所以a＋b－c＝2b＋b－4b2＋2b2－4b2＝－6b2＋3b＝－6＋，所以当b＝时取得最大值.故选C．]
5．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0] [∵4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，
即x＝1时，y有最小值0.
∴a的取值范围为(－∞，0]．]
6．不等式ax2－2x－a＋1＜0对满足|a|≤1的一切实数a都成立，则实数x的取值范围是________．
(－1，2) [由|a|≤1，得－1≤a≤1，不等式变形为(x2－1)a－(2x－1)＜0，不等式可以看成关于a的一次函数，所以只需
即
解得－1＜x＜2.]
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