集合与常用逻辑用语、复数
[回归教材]
1．集合运算的重要结论
(1)A∩B?A，A∩B?B；
A?A∪B，B?A∪B；
A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．
(2)若A?B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A?B．若A?B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A?B．
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．
2．全称命题、特称命题真假的判断
(1)全称命题真假的判断
①要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，必须使p(x)对集合M中的每一个元素x都成立．
②要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立；那么这个全称命题就是假命题．
(2)特称命题真假的判断
①要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可．
②要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立．
3．充分条件与必要条件的重要结论
(1)如果p?q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p?q，且q?p，那么p是q的充要条件；
(3)如果p?q，但qp，那么p是q的充分不必要条件；
(4)如果q?p，且pq，那么p是q的必要不充分条件；
(5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要条件．
4．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)若ω＝－±i，则ω0＝1，ω2＝，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.
5．关于复数模的运算性质
(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；
(2)|z|n＝|zn|；
(3)＝.
【易错提醒】
1．遇到A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况．
2．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．
3．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
[保温训练]
1．设集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则M∩N等于( )
A．{0，1}
B．{－1，0，1，2}
C．{0，1，2}
D．{－1，0，1}
D [∵M＝{x∈Z|－3＜x＜2}＝{－2，－1，0，1}，
N＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3，}，
∴M∩N＝{－1，0，1}．]
2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [∵＝＝＝i－1，
∴复数对应的点为(－1，1)．]
3．已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos
θ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B．]
4．设复数z满足＝i，则z的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．2i
D．－2i
A [∵＝i，∴z＝＝＝－i，
∴＝i.故选A．]
5．已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{2}
B．{1，3，4，5}
C．{1，2，3，4，5}
D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
B [因为U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}．
因为A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，所以A∩B＝{2}，由图可知，阴影部分所表示的集合为?U(A∩B)＝{1，3，4，5}．故选B．]
6．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中真命题的个数是( )
①?m0∈A，m0B；②?m0∈B，m0A；③?m∈A，m∈B；④?m∈B，m∈A．
A．4
B．3
C．2
D．1
C [因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数是2.故选C．]
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