三角函数与平面向量
[回归教材]
1．由sin
α±cos
α符号判断α的位置
(1)sin
α－cos
α＞0?α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有sin
α－cos
α＞1)；
(2)sin
α＋cos
α＞0?α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin
α＋cos
α＞1)．
2．正弦、余弦定理及其变形
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccos
A；b2＝a2＋c2－2accos
B；c2＝a2＋b2－2abcos
C
变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C；(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A；(5)＝＝2R
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
3.三角形中的常见结论
(1)A＋B＋C＝π.
(2)大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，tan(A＋B)＝－tan
C，sin＝cos
，cos＝sin
.
(5)在斜△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
B·tan
C．
(6)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，则
①若a2＋b2＝c2，则C＝；②若a2＋b2＞c2，则C<；③若a2＋b2＜c2，则C＞.
4．三点共线的判定
A，B，C三点共线?，共线；
向量，，中三个终点A，B，C共线?存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
5．中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，＝?P为P1P2的中点，中点P的坐标为.
(2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是.
6．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝；
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0；
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·；
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
【易错提醒】
1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B?sin
A＞sin
B．
5．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．
6．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．
[保温训练]
1．已知函数f
(x)＝cos－cos
2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f
(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
C [f
(x)＝cos－cos
2x＝cos－cos
2x＝sin
2x－cos
2x＝2sin＝2sin，所以将f
(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin
2x的图象．故选C．]
2．已知sin(π＋α)＝－，则tan＝________.
±2 [∵sin(π＋α)＝－，∴sin
α＝，则cos
α＝±，∴tan＝＝＝±2.]
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，c＝(7，1)，若a∥b，则b·c＝________.
10 [∵向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，a∥b，
∴－m－2×2＝0，解得m＝－4，
∴b＝(2，－4)．
∵c＝(7，1)，∴b·c＝2×7－4×1＝10.]
4．已知△ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，若a＝2，sin
C＝2sin
B且sin
Acos
B＋sin
Asin
B＝sin
C＋sin
B，则c＝________.
[sin
Acos
B＋sin
Asin
B＝sin
C＋sin
B可化为sin
Acos
B＋sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＋sin
B，即sin＝，∴A＝.又sin
C＝2sin
B，即sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2sin
B，即cos
B＋sin
B＝2sin
B，则tan
B＝，∴B＝，则C＝，c＝＝.]
5．在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·＝________.
[不妨设＝＋，＝＋，
所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋·＝×(32＋32)＋×＝.]
6．[一题两空]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos
C＝ccos
A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝________，a＋b＝________.
9 [∵(3b－a)cos
C＝ccos
A，∴根据正弦定理可得3sin
Bcos
C＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝sin(A＋C)＝sin
B．
又∵sin
B≠0，∴cos
C＝，则C为锐角，∴sin
C＝.
由△ABC的面积为3，可得absin
C＝3，∴ab＝9.
由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴(a＋b)2＝ab＝33，∴a＋b＝.]
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