数列
[回归教材]
1．等差数列的重要规律与推论
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an；
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd；
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；
(4)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列；
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝；
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m＋1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＋1＝(2m＋1)am＋1，S奇＝(m＋1)am＋1，S偶＝mam＋1，S奇－S偶＝am＋1，＝.
2．等比数列的重要规律与推论
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an；
(2){an}，{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列；
(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)；
(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q；
(5)等比数列前n项和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；
②＝(q≠±1)．
【易错提醒】
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
3．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
4．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
5．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．
6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.
[保温训练]
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为( )
A．12 B．11 C．10 D．9
A [由题意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.故选A．]
2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
A．
B．
C．1
D．2
D [设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2，3，4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝?aq3＝，两式相除得＝＋＋＋＝2.故选D．]
3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
A．2
B．
C．
D．1或2
B [设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.故选B．]
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了
( )
A．192里
B．96里
C．48里
D．24里
B [由题意得，每天所走里数成等比数列，设该等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，所以a2＝192×＝96，即第二天走了96里．故选B．]
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
2 [因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.]
6．记Sn为数列{an}的前n项和，满足a1＝，2an＋1＋3Sn＝3(n∈N
)，若Sn＋≤M对任意的n∈N
恒成立，则实数M的最小值为________．
[由2an＋1＋3Sn＝3(n∈N
)，得2an＋3Sn－1＝3.
两式相减得2an＋1－2an＋3an＝0，即＝－＝q.
∵a1＝，∴Sn＝eq
\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),1＋\f(1,2))＝1－，
∴≤Sn≤.
要使Sn＋≤M对任意的n∈N
恒成立，根据对勾函数的性质，当Sn＝时，Sn＋取得最大值，∴实数M的最小值为.]
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