函数与导数
[回归教材]
1．基本导数公式
C′＝0(C为常数)；
(xα)′＝αxα－1(α∈Q
)；
(sin
x)′＝cos
x；
(cos
x)′＝－sin
x；
(ax)′＝axln
a(a＞0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′＝(a＞0且a≠1)；(ln
x)′＝.
2．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f
(x)，g(x)同为增(减)函数时，f
(x)＋g(x)则为增(减)函数；
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
(3)f
(x)为奇函数?f
(x)的图象关于原点对称；
f
(x)为偶函数?f
(x)的图象关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数；
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f
(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f
(x)＝0.
3．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f
(x)满足f
(x＋a)＝f
(x－a)，则f
(x)为周期函数，T＝2|a|；
②若满足f
(x＋a)＝－f
(x)，则f
(x)是周期函数，T＝2|a|；
③若满足f
(x＋a)＝，则f
(x)是周期函数，T＝2|a|.
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f
(x)满足f
(a＋x)＝f
(a－x)，即f
(x)＝f
(2a－x)，则f
(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f
(x)满足f
(a＋x)＝－f
(a－x)，即f
(x)＝－f
(2a－x)，则f
(x)的图象关于点(a，0)对称；
③若函数y＝f
(x)满足f
(a＋x)＝f
(b－x)，则函数f
(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f
(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c>0时向左移，c<0时向右移)得到函数y＝f
(x＋c)的图象(c为常数)；
(2)把y＝f
(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b<0时向下移)得到函数y＝f
(x)＋b的图象(b为常数)．
5．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f
(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0＜a<1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af
(x)(a>0)的图象；
(2)把y＝f
(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f
(bx)(b>0)的图象．
6．常见的含有导函数的几种不等式构造原函数类型
(1)原函数是函数的和、差组合
①对于f
′(x)＞g′(x)，构造函数h(x)＝f
(x)－g(x)；
②对于f
′(x)＋g′(x)＞0，构造函数h(x)＝f
(x)＋g(x)．
(2)原函数是函数的乘、除组合
①对于f
′(x)g(x)＋f
(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f
(x)g(x)；
②对于f
′(x)g(x)－f
(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
特别地，对于xf
′(x)＋f
(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝xf
(x)；
对于xf
′(x)－f
(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.
(3)原函数是ex的乘、除组合
①对于f
′(x)＋f
(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝exf
(x)；
②对于f
′(x)－f
(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.
【易错提醒】
1．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
2．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
4．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f
(x0))既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出．
5．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f
′(x0)＝0是函数y＝f
(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
[保温训练]
1．函数f
(x)＝－的定义域为( )
A．[1，10]
B．[1，2)∪(2，10]
C．(1，10]
D．(1，2)∪(2，10]
D [由题意知
解得1＜x≤10且x≠2.]
2．已知函数f
(x)＝若f
(f
(0))＝a2＋1，则实数a＝( )
A．－1
B．2
C．3
D．－1或3
D [由题意可知，f
(0)＝2，而f
(2)＝4＋2a，由于f
(f
(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.故选D．]
3．[多选]函数y＝f
(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．(－1，3)为函数y＝f
(x)的单调递增区间
B．(3，5)为函数y＝f
(x)的单调递减区间
C．函数y＝f
(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f
(x)在x＝5处取得极小值
ABD [由函数y＝f
(x)的导函数的图象可知，当x＜－1或3＜x＜5时，f
′(x)＜0，y＝f
(x)单调递减；当x＞5或－1＜x＜3时，f
′(x)＞0，y＝f
(x)单调递增．
所以函数y＝f
(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)．
函数y＝f
(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，A、B、D均正确．]
4．已知函数f
(x)＝若不等式f
(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
[作出函数f
(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f
(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.]
5．[一题两空]已知函数f
(x)＝2ef
′(e)ln
x－，则f
(x)的极大值点为x＝________，极大值为________．
2e 2ln
2 [因为f
(x)＝2ef
′(e)ln
x－，所以f
′(x)＝－，所以f
′(e)＝－＝2f
′(e)－，因此f
′(e)＝，所以f
(x)＝2ln
x－，f
′(x)＝－.
由f
′(x)＞0得0＜x＜2e；由f
′(x)＜0得x＞2e，所以函数f
(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，因此f
(x)的极大值点为x＝2e，极大值为f
(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln
2.]
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