集合、常用逻辑用语
命题点1 集合
解集合运算问题应注意的4点
(1)注意元素构成：即看集合中元素是数还是有序数对；
(2)注意限定条件：即集合中的元素有无特定范围，如集合中x∈N，x∈Z等；
(3)应用数学思想：集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．尤其是借助数轴解决集合运算时，要注意端点值的取舍；
(4)警惕空集失分：如若遇到A?B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能．
[高考题型全通关]
1．[教材改编]已知集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x2－2x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|3＜x≤5}
B．|x|－1≤x≤5|
C．{x|x＜－1或x＞3}
D．R
A [由题意B＝{x|x＜－1或x＞3}，
所以A∩B＝{x|3＜x≤5}，故选A．]
2．(2020·海口模拟)若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是( )
A．62
B．32
C．64
D．30
D [∵S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，∴S＝{我，和，的，祖，国}．
故S中共有5个元素，则S的非空真子集个数是25－2＝30，故选D．]
3．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4
B．－2
C．2
D．4
B [易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B．]
4．(2020·内蒙古模拟)若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，则满足A∪X＝B的集合X的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
C [∵A∪X＝B，且A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，∴X一定含元素3,4,5，可能含元素1,2，∴X的个数为22＝4个．故选C．]
5．(2020·石家庄一模)设集合P＝{x|x＜－3或x＞3}，Q＝{x|x2＞4}，则下列结论正确的是( )
A．Q?P
B．P?Q
C．P＝Q
D．P∪Q＝R
B [集合P＝{x|x＜－3或x＞3}，Q＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}，∴P?Q，故选B．]
6．已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1
(\a\vs4\al\co1()))＜2)))，则( )
A．A∩B＝{x|－2＜x＜1}
B．A∩B＝{x|1＜x＜2}
C．A∪B＝{x|x＞－2}
D．A∪B＝{x|x＜1}
C [∵A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x＞－1}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞－2}．故选C．]
7.(2020·衡水模拟)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg(x－1)}，则阴影部分所示集合为( )
A．[1,2]
B．(1,2)
C．(1,2]
D．[1,2)
B [集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝[2，＋∞)，集合B＝{x|y＝lg(x－1)}＝(1，＋∞)，
图形阴影部分为?UA∩B＝(1,2)，故选B．]
8．(2020·西安模拟)已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B中的元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，
作出椭圆＋y2＝1和y＝3x的图象，如图．
结合图形得A∩B中的元素的个数是2.故选B．]
命题点2 常用逻辑用语
解决常用逻辑用语问题应关注的4点
(1)命题的否定只需否定结论，而其否命题既要否定条件又要否定结论；含有一个量词的命题的否定，其原则为“改量词、否结论”．
(2)充分必要条件的判断可利用定义或借助集合间的关系来判断.
(3)“A的充分不必要条件是B”是指B?A，且AB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A?B，且BA．
(4)命题p，q的真假与命题p∧q，p∨q，?p的真假关系．用语言概括为：p∧q“见假就假”，p∨q“见真就真”，?p“真假相对”．
[高考题型全通关]
1．(2020·临汾模拟)命题“?x∈(0,1)，e－x＞ln
x”的否定是( )
A．?x∈(0,1)，e－x≤ln
x
B．?x0∈(0,1)，e＞ln
x0
C．?x0∈(0,1)，e＜ln
x0
D．?x0∈(0,1)，e≤ln
x0
D [全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“?x∈(0,1)，e－x＞ln
x”的否定是：
“?x0∈(0,1)，e≤ln
x0”．故选D．]
2．[高考改编]设点A，B，C不共线，则“与的夹角为钝角”是“|＋|＜||”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [∵A，B，C三点不共线，∴|＋|<||?|＋|＜|－|?|＋|2＜|－A|2?·＜0?与的夹角为钝角．故“与的夹角为钝角”是“|＋|＜||”的充分必要条件，故选C．]
3．下列说法中正确的是( )
A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≥c”
B．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≤c”
C．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则“b＞c”
D．若“a＜b”是“a＞c”的充要条件，则“b＜c”
[答案] A
4．(2020·深圳中学模拟)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
B [设复数z1＝a＋bi，则z2＝1＝a－bi，所以|z1|＝|z2|＝，故原命题为真；逆命题：若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，如z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，且|z1|＝|z2|＝5，但此时z1，z2不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若z1，z2不互为共轭复数，则|z1|≠|z2|；如z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，此时z1，z2不互为共轭复，但|z1|＝|z2|＝5，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真，故选B．]
5．已知命题p：x＜2m＋1，q：x2－5x＋6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．m＞
B．m≥
C．m＞1
D．m≥1
D [∵命题p：x＜2m＋1，q：x2－5x＋6＜0，即2＜x＜3，p是q的必要不充分条件，
∴(2,3)?(－∞，2m＋1)，∴2m＋1≥3，解得m≥1.
∴实数m的取值范围为m≥1.故选D．]
6．(2020·大庆模拟)已知命题p：?x∈R,2x＞0；命题q：?x0∈R，lg
sin
x0＞0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．?p∨q
C．p∧?q
D．?p∧q
C [根据指数函数的性质可知，?x∈R,2x＞0，则p为真命题；因为0＜sin
x0≤1，则lg
sin
x0＜0，所以q为假命题，则p∧?q为真命题，故选C．]
7．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
－1，－2，－3(答案不唯一) [－1＞－2＞－3，－1＋(－2)＝－3＞－3，矛盾，所以－1，－2，－3可验证该命题是假命题．]
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