平面向量与复数
命题点1
复数
解决复数问题应注意的4点
(1)明确概念：复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.
(2)解题要领：与复数的分类、复数的相等、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．
(3)注意周期：虚数单位i的in(n∈N)周期为4.
(4)妙用结论：求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质||＝|z|，|z|2＝||2＝z·，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0
B．1
C．
D．2
D [法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D．
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D．]
2．[高考改编]设＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)，则|x－yi|＝( )
A．1
B．
C．
D．
C [∵＝＝1＋i＝x＋yi，
∴x＝y＝1，
∴|x－yi|＝|1－i|＝＝.故选C．]
3．(2020·南宁模拟)复数z＝i2
020＋
(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵i4＝1，＝＝i.
∴z＝1505＋i2
021＝1＋i.
z的共轭复数1－i表示的点在第四象限，故选D．]
4．(2020·肇庆二模)设复数z满足|z－1|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
B [设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝1，得|(x－1)＋yi|＝1.
∴(x－1)2＋y2＝1.故选B．]
5．已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数＝－1＋i
D．z2为纯虚数
D [∵z＝＝＝＝1＋i，
∴z的虚部为1；|z|＝；＝1－i；
z2＝(1＋i)2＝2i是纯虚数．故选D．]
命题点2 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算技巧
(1)第一诀窍：平面向量的线性运算问题，要灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算，尤其P是AB的中点?＝＋.
(2)第二诀窍：平面向量共线问题，要用好共线向量定理及其推论：
①当b≠0时，a∥b?存在唯一实数λ，使得a＝λb.
②A，P，B三点共线?＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b?＝.
[高考题型全通关]
1．(2020·深圳一模)已知向量＝(－1，k)，＝(1,2)，＝(k＋2,0)，且实数k＞0，若A，B，C三点共线，则k＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D [∵向量＝(－1，k)，＝(1,2)，＝(k＋2,0)，且实数k＞0，
＝－＝(2,2－k)，
＝－＝(k＋1，－2)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴＝，由k＞0，解得k＝3.故选D．]
2．在△ABC中，＝2，且E为AC的中点，则＝( )
A．－＋
B．－－
C．－－
D．＋
A [＝＋＝＋＋＝＋(－)－＝－，故选A．]
3．(2020·焦作一模)已知O是△ABC的重心，且＋2＋λ＝0，则实数λ＝( )
A．3
B．2
C．1
D．
C [＋2＋λ＝＋2＋λ(－)＝＋(2－λ)＋λ＝0，
∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴(2－λ)＋λ＝＋，∴λ＝1.故选C．]
命题点3 平面向量的数量积
平面向量的数量积的运算转换技巧
(1)第一诀窍：抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos
θ＝＝.
(2)第二诀窍：用好坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题．
[高考题型全通关]
1．(2020·蚌埠模拟)已知＝(3，－4)，＝(2,1)，则·＋||＝( )
A．2
B．6
C．8
D．12
C [因为＝(3，－4)，＝(2,1)，
∴＝－＝(－1,5)，||＝5，
∴·＋||＝(－1,5)·(2,1)＋5＝8.故选C．]
2．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
D [由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
3．(2020·龙岩一模)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则·＝( )
A．20
B．
C．10
D．
C [如图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
可得D，E为AB，AC的中点，
则·＝·(－)＝·－·
＝(＋)·－(＋)·
＝·＋·－·－·
＝2＋0－2－0＝×(36－16)＝10.故选C．]
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是( )
A．(－2,6)
B．(－6,2)
C．(－2,4)
D．(－4,6)
A [·＝||·||·cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos
30°＝6，·＝2×2×cos
120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．]
5．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝4，若＝＋λ，且⊥，则实数λ的值为________．
0 [∵⊥，∴·＝0，即(＋λ)·(－)＝0，∴λ2＋(1－λ)·－2＝0，∵·＝2×4×cos
60°＝4，2＝4，2＝16，∴16λ＋4(1－λ)－4＝0，∴λ＝0.]
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