数列
命题点1 等差(比)数列的基本运算
等差(比)数列基本运算的解题途径
(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体代换，以减少运算量．
提醒：对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠1的情况．
[高考题型全通关]
1．在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为( )
A．9
B．22
C．24
D．32
C [依题意得，数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝3，因此数列{an}的前4项和等于4×3＋×2＝24，选C．]
2．首项为2，公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．3an＝2Sn－2
B．3an＝2Sn＋2
C．an＝2Sn－2
D．an＝3Sn－4
B [因为a1＝2，q＝3，
所以Sn＝＝，
所以3an＝2Sn＋2，故选B．]
3．(2020·衡水模拟)已知数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，且a1，a3，a6成等比数列，则＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
A [由数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，且a1，a3，a6成等比数列得a＝a1·a6，
即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)．化为4d2＝a1d，
又d≠0，解得＝4.故选A．]
4．(2020·滁州模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝40，S9＝126，则S7＝( )
A．66
B．68
C．77
D．84
C [由等差数列的性质可得：S5＝40＝5a1＋10d，S9＝126＝9a1＋36d，解得a1＝2，d＝3，则S7＝7×2＋×3＝77.故选C．]
5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N
.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2
021＝( )
A．92
020
B．272
020
C．92
021
D．272
021
D [由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．
数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.
又cn＝ban＝33n，∴c2
021＝33×2
021＝272
021，故选D．]
6．(2020·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
C [在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，
所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11，
所以＝－11，
①
又am＋1＝a1(－2)m＝32，
②
两式联立解得m＝5，a1＝－1.]
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝，S3＝，则公比q＝________.
1 [(1)当公比q＝1时，S3＝3a1＝3a2＝，满足题意．
(2)当公比q≠1时，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)．
综上可知，q＝1.]
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．
－6 [设等比数列{an}的公比为q.
∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，且q≠1.
∴＝＋，
即2q6－q3－1＝0，∴q3＝－或q3＝1(舍去)．
∵a8＝3，∴a5＝＝＝－6.]
命题点2 等差(比)数列的性质及应用
等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
[高考题型全通关]
1．(2020·景德镇模拟)公比不为1的等比数列{an}中，若a1a5＝aman，则mn不可能为( )
A．5
B．6
C．8
D．9
B [由a1a5＝aman，根据等比数列的性质，可得m＋n＝1＋5＝6，且m，n∈N
，
所以m，n可能值为m＝1，n＝5或m＝2，n＝4或m＝3，n＝3，所以mn不可能的是6，故选B．]
2．(2020·会宁模拟)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，4＋a5＝a6＋a10，则S21＝( )
A．7
B．14
C．28
D．84
D [∵4＋a5＝a6＋a10＝a5＋a11，故a11＝4.
∴S21＝＝21a11＝84.故选D．]
3．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )
A．40
B．60
C．32
D．50
B [由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，选B．]
4．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，则的值为( )
A．2
B．4
C．±2
D．±4
A [∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，
∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，∴a9＝a3q6＞0.由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故选A．]
5．(2020·宝鸡二模)等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12
B．15
C．8
D．2＋log35
B [∵等比数列{an}，an＞0且a5a6＋a3a8＝54，
∴a5a6＝a3a8＝27，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝5log327＝15.故选B．]
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6
B．7
C．12
D．13
C [∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0,
a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]
7．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
D [＝＝＝＝.]
8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( )
A．升
B．升
C．升
D．升
A [自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A．]
[教师备选]
1．[高考改编]已知{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比数列，且公比为q，则q＝( )
A．3
B．－3
C．1
D．－1
C [设{an}是公差为d的等差数列，
若a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比数列，可得
(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)，
即(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
化为d2＋2d＋1＝0，解得d＝－1，
则an＝a1－(n－1)，
则公比为q＝＝＝1，故选C．]
2．(2020·包头一模)正项等比数列{an}满足a1＋a3＝，且2a2，a4，a3成等差数列，则(a1a2)·(a2a3)·…·(anan＋1)取得最小值时的
n值为__________．
2 [正项等比数列{an}的公比设为q，a1＋a3＝，且2a2，a4，a3成等差数列，
可得a1＋a1q2＝，a4＝2a2＋a3，
即q2＝2＋q，解得q＝2，a1＝，
则an＝·2n－1＝2n－3，anan＋1＝2n－3·2n－2＝22n－5，
所以(a1a2)·(a2a3)·…·(anan＋1)＝2－3·2－1…22n－5
＝2－3－1＋…＋2n－5＝2
＝2n2－4n＝2(n－2)2－4.
当n＝2时，(a1a2)·(a2a3)·…·(anan＋1)取得最小值．]
命题点3 数列的递推关系
数列的通项的求法
(1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：
一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
注意：用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况．
(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法
①累加(乘)法
形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法；
形如＝f(n)的数列，可用累乘法．
②构造数列法
形如an＋1＝，可转化为－＝，构造等差数列；
形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p构造等比数列.
[高考题型全通关]
1．(2020·厦门模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋…＋an－1＋1(n≥2)，则a7＝( )
A．31
B．32
C．63
D．64
D [当n≥2时，由an＝a1＋a2＋…＋an－1＋1，得an－1＝a1＋a2＋…＋an－2＋1，两式相减得：an＝2an－1，又因为a1＝1，所以数列{an}是等比数列，所以a7＝a1·q6＝64，故选D．]
2．在数列{an}中，已知an＋1＝an＋n(n∈N
)，且a1＝2，则a40的值是( )
A．782
B．782.5
C．822
D．822.5
A [由an＋1＝an＋n(n∈N
)?an＋1－an＝n，所以a40＝(a40－a39)＋(a39－a38)＋(a38－a37)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝39＋38＋37＋…＋1＋2，所以
a40＝＋2＝782，故选A．]
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1
B．
C．
D．
B [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1，
∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，
即＝.
∴{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，即Sn＝.]
4．已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝，a1＝，则a2
020＝( )
A．
B．
C．
D．
D [由an＋1＝得：＝＝＋1，即－＝1，
又a1＝，则＝2，
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，∴＝2＋(2
020－1)×1＝2
021，
∴a2
020＝，故选D．]
5．(2020·湖北孝感七校联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N
)，Sn为其前n项和，S5的值为( )
A．63
B．61
C．62
D．57
D [由数列的递推关系可得：
an＋1＋1＝2(an＋1)，且a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2
，公比为2的等比数列，
则an＋1＝2×2n－1?an＝2n－1，
故S5＝－5＝57，故选D．]
6．(2020·眉山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝，a1＝1，n∈N
，则{an}的通项公式an＝( )
A．n
B．n＋1
C．2n－1
D．2n＋1
C [∵an＋1＝，
∴(2n－1)an＋1＝4Sn－1，
①
∴(2n－3)an＝4Sn－1－1(n≥2)，
②
①－②得：(2n－1)an＋1－(2n－3)an＝4an(n≥2)，
整理得：＝(n≥2)，
∴an＝··…··a1
＝··…··1
＝2n－1(n≥2)，
又a1＝1，符合上式，∴an＝2n－1.故选C．]
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N
)，则数列{an}的通项公式an＝________.
n·2n－1 [an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，
所以an＝n·2n－1.]
8．数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为________．
an＝ [因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2，即an＝2n＋1，n≥2.
又a1＝3，所以a1＝6，因此an＝]
命题点4 数列求和与数列的综合应用
1．数列求和方法
(1)分组求和：形如{an±bn}的数列求和．
(2)并项求和：形如an＝(－1)nf(n)的数列求和．
(3)裂项相消求和：形如的求和，其中{an}是等差数列.
(4)错位相减法求和：形如{an·bn}的数列求和，其中{an}，{bn}分别为等差和等比两个不同的数列．
(5)含绝对值的数列求和：先去绝对值，再求和．
2．与数列有关的综合问题求解策略
(1)对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，要弄清所考查的问题与哪个知识点有关，在此基础上，借助相关知识寻找求解线索．
(2)以数列为背景的不等式恒成立问题，多为不等式恒成立与证明和形式的不等式，在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧，同时也要注意数列或数列对应函数的单调性的应用．
[高考题型全通关]
1．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15
B．12
C．－12
D．－15
A [∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.]
2．[高考改编]数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为( )
A．－100
B．100
C．－110
D．110
A [由an＋1＋an＝(－1)n·n，
得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，
a19＋a20＝－19，
∴{an}的前20项和为a1＋a2＋…＋a19＋a20
＝－1－3－…－19＝－×10＝－100.]
3．(2020·石家庄实验中学模拟)已知无穷等差数列{an}，前n项和Sn中，S6＜S7，且S7＞S8，则( )
A．在数列{an}中a7最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大；
C．前三项之和S3必与前11项之和S11相等
D．当n≥8时，an＜0.
D [由于S6＜S7，S7＞S8，所以S7－S6＝a7＞0，S8－S7＝a8＜0，所以数列{an}是递减的等差数列，最大项为a1，所以A，B均错，D正确．
S11－S3＝a4＋a5＋…＋a11＝4(a4＋a11)＝8a7＞0，故C错误．]
4．已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于( )
A．1
062
B．2
124
C．1
101
D．1
100
C [设数列{an}的公差为d，
则
解得
∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.
当n≥2时，bn＋1－bn＝bn，
∴bn＋1＝2bn，
即数列{bn}从第二项起为等比数列，
∴bn＝2n－2(n≥2)，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝
分组求和可得数列{cn}的前11项和S11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22＋…＋29)＝77＋210＝1
101.]
5．数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝________.
765 [由a1＝－60，an＋1＝an＋3可得an＝3n－63，则a21＝0，|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20＝765.]
6．[一题两空]对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝________，数列的前n项和Sn＝________.
[由题意可知a1＝2，a2－a1＝3，a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1，累加可得an＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，
∴＝＝2，
∴Sn＝2＋2＋…＋2－＝2＝.]
7．(2020·齐齐哈尔一模)已知数列{an}的前n项和Sn满足，Sn＝3an－2.数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为________．
7 [根据题意，数列{an}满足Sn＝3an－2，
①
当n≥2时，有Sn－1＝3an－1－2，
②
①－②可得：an＝3an－3an－1，
变形可得2an＝3an－1，
当n＝1时，有S1＝a1＝3a1－2，解可得a1＝1，
则数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则an＝，
数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn＝1＋2×＋3×＋……＋n×，
③
Tn＝＋2×＋3×＋……＋n×,
④
③－④可得：
－Tn＝1＋＋＋…＋－n×
＝－2－n×，
变形可得：Tn＝4＋(2n－4)×，
若Tn＞100，即4＋(2n－4)×＞100，分析可得：n≥7，故满足Tn＞100的最小的n值为7.]
[教师备选]
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素个数为cn，把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为________．
c3
c4 c5
c6 c7 c8
c9 c10 c11 c12
……
293 [设an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，则ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d，由题意知1≤i＜j≤n，当i＝1，j＝2时，i＋j－2取最小值1，当i＝n－1，j＝n时，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥3)．数阵中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(个)数，所以第17行由左向右数第10个数为c148＝2×148－3＝293.]
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