空间几何体的三视图、表面积、体积
命题点1 空间几何体的三视图、展开图、截面图
三视图、展开图、截面图中的几何度量
(1)空间几何体的三视图：①在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系；②根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量．
(2)空间几何体表面距离最短问题：其解题思路常常是将几何体展开．一般地，多面体以棱所在的直线为剪开线展开，旋转体以母线为剪开线展开．
(3)空间几何体的三类截面：轴截面、横截面与斜截面．利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A．E
B．F
C．G
D．H
A [该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．
]
2．[高考改编]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )
A．
B．
C．
D．
D [在棱长为2的正方体中还原该四面体P?ABC．如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC．因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为，故选D．]
3．圆锥的母线长为l，过顶点的最大截面的面积为l2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝l2sin
θ，而0＜sin
θ≤1，所以当sin
θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取得最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得l＞r≥lcos
45°＝l，所以≤＜1.]
4．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝，AA1＝4，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为( )
A．5
B．
C．4
D．6
B [将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B1
于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝，
两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，
因为C1Q＝A1C1×sin
60°＝×＝，所以C1D＝＋4＝，AD＝，
所以AC1＝＝＝.]
命题点2 空间几何体的表面积、体积
求解几何体的表面积或体积的策略
(1)直接法：对于规则几何体可直接利用公式计算；
(2)割补法：对于不规则几何体，可采用“分割、补体”的思想，采用化整为零或化零为整求解．
(3)轴截面法：对于旋转体的表面积问题，常常借助轴截面求解．
(4)等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解不方便时，可采用转换底面的方式求解；尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采用等体积转换法求解．
[高考题型全通关]
1．[高考改编]榫卯(sǔn
mǎo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为( )
A．8＋16π，2＋8π
B．9＋16π，2＋8π
C．8＋16π，4＋8π
D．9＋16π，4＋8π
A [由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱(底面圆半径为2，高为2)．
其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，
所以S＝2×＋2×＋4×＝8＋16π.
其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V＝×2＋1×1×2＝8π＋2.故选A．]
2.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，三棱锥D1?AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
1∶ [设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1?AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1?AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.]
3．[高考改编]已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3.
[根据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1的圆锥．上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1.
法一：(分割法)几何体的体积是×π×12×1＋π×12×＝.
法二：(补体法)几何体的体积是×π×12×1＋×π×12×(1＋3)＝.]
4.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列四个结论：
①AE∥平面C1BD；
②四面体ACEF的体积不为定值；
③三棱锥A?BEF的体积为定值；
④四面体ACDF的体积为定值．
其中结论正确的有________(填序号)．
①③④ [对于①，如图1，AB1∥DC1，
易证AB1∥平面C1BD．
同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD．
又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，①正确．
图1 图2
对于②，如图2，S△AEF＝×1×＝，
点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，
所以VA?CEF＝VC?AEF＝××d＝d为定值，所以②错误；
对于③，如图3，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d′为定值，
所以VA?BEF＝××d′＝d′为定值，③正确；
图3 图4
对于④，如图4，四面体ACDF的体积为VA?CDF＝VF?ACD＝××3×3×3＝为定值，④正确．]
[教师备选]
1．若正三棱锥A?BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A?BCD的高为( )
A．
B．
C．
D．
A [设三棱锥A?BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝BC＝，△BCD的面积为×12＝.
由VA?BCD＝VB?ACD得S△BCD·h＝S△ACD·AB，
即××h＝×××，
解得h＝，即三棱锥A?BCD的高h＝.]
2．已知一个三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的体积为________．
[记所有棱长都是的三棱锥为P?ABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP＝×＝，故三棱锥P?ABC的体积V＝S△ABC·OP＝××()2×＝.]
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