直线与圆、抛物线
命题点1 直线的方程及应用
抓住直线方程的特征及相关公式求解
(1)两条直线平行与垂直的判定
①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
②若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0，l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1.
(2)求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)两个距离公式
①两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
②点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(A2＋B2≠0)．
[高考题型全通关]
1．(2020·广东六校第三次联考)已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是( )
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝－2或m＝1
D．m＝2或m＝1
C [∵直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则m(m＋1)－2＝0，解得m＝－2或m＝1；当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”?“m＝－2”，
故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝－2或m＝1”，故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1
B．
C．
D．2
B [法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
3.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
A．2
B．1
C．
D．
D [以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为，，设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，
所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，
根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即＝，解得m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝.故选D．]
4．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)和Q2(a2，b2)的直线方程为________．
2x＋3y＋1＝0 [由题意可知
∴(a1，b1)和(a2，b2)是方程2x＋3y＋1＝0的两个解，从而过点Q1、Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.]
命题点2 圆的方程及应用
1．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)；(方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆?A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF＞0)．
(3)直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．点、直线、圆的位置关系
(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系r2＝d2＋2来处理．
[高考题型全通关]
1．圆C是以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－2)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16
D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16
A [由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过的交点，解得：x＝－2，y＝2，即直线过定点(－2,2)，
则所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故选A．]
2．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为( )
A．或
B．－或
C．－或
D．
A [由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，
∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝，
由d2＋＝r2，可得＋3＝4，解得k＝±.
设直线的倾斜角为α，则tan
α＝±，又α∈[0，π)，
∴α＝或.]
3．[高考改编]已知圆C：2＋y2＝r2(r>0)，直线l：3x＋4y－2＝0.若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
A [圆C的圆心为(－1,0)，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，又圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，所以圆心为(－1,0)到直线l的距离为d＝，即d＝＝1，所以r＝2，故选A．]
4．[一题两空]已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由题意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.
当a＝2时，方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，不表示圆．]
5．[教材改编]过点A(－1,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________.
y＝4或3x＋4y－13＝0 [由题意可知，切线l的斜率存在．设方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－.
故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.]
6．[高考改编]已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________．
x2＋(y－3)2＝10 [∵P(3,4)为C上一点，－＝1，
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
令x＝0，则y＝3.
设外接圆圆心为M(0，t)，
则M(0,3)，r＝|MB|＝＝，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.]
[教师备选]
1．已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线分别为PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A．
B．
C．
D．
B [设P(4－2m，m)．
∵PA，PB是圆C的切线，A，B为切点，
∴CA⊥PA，CB⊥PB，
∴AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．
易知以PC为直径的圆的方程为
[x－(2－m)]2＋＝(2－m)2＋，①
圆C的方程为x2＋y2＝1，②
①－②得直线AB的方程为2×(2－m)x＋my＝1，
即4＋m(y－2x)＝0，
∴直线AB恒过定点.]
2．已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．
x2＋＝ [因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
依题意，得
解得
所以圆C的方程为x2＋＝.]
3．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________．
y＝2x＋1或y＝x＋1 [直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，由R2＝d2＋，
得1＝＋，解得k＝2或，
故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.]
命题点3 与圆有关的最值问题
与圆有关的三种最值求法
(1)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；
(2)圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；
(3)圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
[高考题型全通关]
1．已知P，Q分别为直线3x＋4y＋7＝0和曲线x2＋y2－2x＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3
B．2
C．1
D．
C [x2＋y2－2x＝0，整理得(x－1)2＋y2＝1，即曲线是圆心(1,0)、半径为1的圆，所以圆心(1,0)到直线的距离d＝＝2，所以|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即d－r＝1，故选C．]
2．已知点A为曲线y＝x＋上的动点，B为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则的最小值是( )
A．3
B．4
C．3
D．4
A [作出对勾函数y＝x＋(x＞0)的图象如图：
由图象知函数的最低点坐标为A(2,4)，
圆心坐标C(2,0)，半径R＝1，
则由图象知当A，B，C三点共线时，|AB|最小，此时最小值为4－1＝3，即|AB|的最小值是3，故选A．]
3．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝16
B．(x＋2)2＋y2＝20
C．(x＋2)2＋y2＝25
D．(x＋2)2＋y2＝36
C [将直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0变形为(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.
由得
即直线恒过定点M(2,3)．
设圆心为P，即P(－2,0)，由题意可知，
当圆的半径r＝|MP|时，
圆的面积最大，此时|MP|2＝r2＝25.
即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.]
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
5－4 [两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.]
5．(2020·宜昌调研)已知两点A，B以及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足·＝0，则r的取值范围是________．
[4,6] [∵·＝0，∴点P在以A(－1,0)，B(1,0)两点为直径的圆上，该圆方程为：x2＋y2＝1，又点P在圆C上，∴两圆有公共点，两圆的圆心距d＝＝5，∴|r－1|≤5≤r＋1，解得：4≤r≤6.]
6．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.
所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.]
[教师备选]
1．(2020·赣州模拟)已知动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为
( )
A．3
B．6
C．
D．2
D [根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r＝3.动直线y＝kx－1＋k，即y＋1＝k(x＋1)，恒过定点P(－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P(－1，－1)在圆C的内部，动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短，此时|CP|＝，弦AB的长度为2×＝4，
此时，△ABC的面积S＝×|CP|×|AB|＝×4×＝2.故选D．]
2．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A．
B．－
C．±
D．－
B [曲线y＝的图象如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－)，则点O到l的距离d＝.
又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝≤＝，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝时，S△AOB取得最大值，所以＝，
∴k2＝，∴k＝－.故选B．]
命题点4 抛物线
解决抛物线问题的两个关键点
(1)利用抛物线的定义解题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离．
(2)用活焦点弦：已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：
①|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α为AB所在直线的倾斜角)；
②x1x2＝；y1y2＝－p2.
③＋＝.
④以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[高考题型全通关]
1．(2020·贵阳一模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，则C的焦点坐标为( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(1,0)
D．
C [因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C．]
2．(2020·德阳模拟)已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为(4,1)，则|MP|＋d的最小值是( )
A．
B．4
C．2
D．1＋
B [由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，
所以|MP|＋d≥PF＝4，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选B．
]
3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(
)
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
C [法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D．设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，
故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵＝|AF|＝3，
＝3＋3a，
∴2＝，即3＋3a＝6，
从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．
法二：由法一可知∠CBD＝60°，
则由|AF|＝＝3可知p＝3＝，
∴2p＝3，
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．
B．
C．
D．
D [易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12y－9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.
S△OAB＝|OF|·|y1－y2|
＝×＝＝.故选D．]
5．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
B [分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′(图略)，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B．]
6．已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若＝2，则|AB|为( )
A．
B．40
C．16
D．
D [抛物线C的方程为x2＝4y，焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2，
∵＝2，
∴直线AB的斜率为±，
∴直线AB的方程为：y＝±x＋1.
联立方程消去x得3y2－10y＋3＝0，
∴y1＋y2＝，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝，故选D．]
7．(2020·松江区模拟)已知点P(1,2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( )
A．
B．1
C．2
D．－2
C [由点P(1,2)在抛物线C：y2＝2px上，得2p＝4，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，
由已知得Q(－1，－2)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知直线AB斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)－2(k≠0)，
联立方程
消去x得ky2－4y＋4k－8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝4－，
因为点A，B在抛物线C上，
所以y＝4x1，y＝4x2，
∴kPA＝＝＝，
kPB＝＝，
∴kPA·kPB＝·＝
＝＝2，故选C．]
8．(2020·宝鸡二模)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则|FA|
＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [法一：由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为l：x＝－1，直线y＝k(x＋1)恒过定点P(－1,0)，过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，连接OB，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为AP的中点，
又点O是PF的中点，
则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，又|OF|＝1，
所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为，
所以|FB|＝1＋＝，所以|FA|＝2|FB|＝3.
法二：抛物线y2＝4x的准线方程为l：x＝－1，直线y＝k(x＋1)．
由题意设A，B两点横坐标分别为xA，xB(xA，xB＞0)，
则由抛物线定义得|FA|＝xA＋1，|FB|＝xB＋1.
又|FA|＝2|FB|，∴xA＋1＝2(xB＋1)?xA＝2xB＋1，①
?k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0?xA·xB＝1，②
由①②得x－xA－2＝0，∴xA＝2，|FA|＝xA＋1＝3，故选C．]
9.如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23
B．42
C．12
D．52
A [由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，
因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x.
圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，
可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，
于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.
②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝.
所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，当且仅当x1＝，即x1＝4时等号成立．
因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23.故选A．]
10．[一题两空]直线l过抛物线C：y2＝2px的焦点F，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
2 1 [由题意知＝1，从而p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
法一：(特值法)将x＝1代入，解得|AF|＝|BF|＝2，从而＋＝1.
法二：(直接法)设AB的方程为y＝k(x－1)，联立整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴＋＝＋
＝＝＝1.
法三：(利用二级结论)＋＝，即可得结果．]
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