椭圆、双曲线
命题点1 椭圆、双曲线的定义与标准方程
利用定义求解圆锥曲线的标准方程要做到“两要素、一结合”
(1)两个要素：一是等式，二是条件．
①椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
②双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(2)一结合：数形结合，即把题设中的几何等量关系代数化，同时要分析几何图形所隐含的等量关系．
[高考题型全通关]
1．[教材改编]方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是( )
A．m∈(－1,2)
B．m∈(－4,2)
C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)
D．m∈(－1，＋∞)
B [方程＋＝1表示椭圆的充要条件是即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．
而当m＝－1时，方程表示圆，不是椭圆．
由题意可得，所求的m的范围真包含集合(－4，－1)∪(－1,2)，结合所给的选项，故选B．]
2．(2020·东莞市模拟)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
B [因为△AF2B是边长为4的等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，2a＝|AF1|＋|AF2|＝2＋4＝6，
2c＝|F1F2|＝|AF1|＝2，
所以b2＝a2－c2＝9－3＝6，
所以椭圆的方程为＋＝1，故选B．]
3．(2020·濮阳一模)已知P为圆C：(x－5)2＋y2＝36上任意一点，A(－5,0)，若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为( )
A．＋＝1
B．－＝1
C．＋＝1(x<0)
D．－＝1(x>0)
B [由点Q是线段AP垂直平分线上的点，
∴|AQ|＝|PQ|.
又∵||QA|－|QC||＝|PC|＝6＜|AC|＝10，
满足双曲线定义且a＝3，c＝5，∴b＝4，
∴轨迹方程：－＝1.故选B．]
4．(2020·桂林联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程y＝2x，且点P为双曲线右支上一点，且F1，F2为双曲线左右焦点，△F1F2P的面积为4，且∠F1PF2＝60°，则双曲线的实轴的长为( )
A．1
B．2
C．4
D．4
B [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由一条渐近线方程为y＝2x，可得b＝2a，
由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2
①
由余弦定理，有
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即为
|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2
②
由①②可得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，
△F1F2P的面积为4，可得
|PF1|·|PF2|sin
60°＝·4b2·＝b2＝4，
解得b＝2，a＝1，所以实轴长2a＝2，故选B．]
5．椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．
＋＝1 [∵椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴且a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆方程为＋＝1.]
6．(2020·重庆期末)已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________．
－＝1(x≥) [由圆A：(x＋4)2＋y2＝2，
可得圆心A(－4,0)，半径r1＝；
由圆B：(x－4)2＋y2＝2可得圆心B(4,0)，半径r2＝.
设动圆的半径为R，由题意可得|EA|＝R＋，
|EB|＝R－.
∴|EA|－|EB|＝2＜2×4.
由双曲线的定义可得：动圆的圆心E在以定点A(－4,0)，B(4,0)为焦点的双曲线的右支上．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴动圆圆心E的轨迹方程为－＝1(x≥)．]
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15 [因为椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义，得
|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．
因为|PM|－|PF2|≤|MF2|，
当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，
此时|PM|＋|PF1|的最大值为10＋5＝15.]
[教师备选]
1．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A．
B．
C．
D．
D [如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝.]
2．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A．
B．
C．
D．
C [如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.
因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C．]
命题点2 椭圆、双曲线的几何性质
1．求解椭圆或双曲线的离心率问题的常用方法
(1)直接求出a，c的值，利用e＝求解．
(2)直接求出a，b的值，利用e＝＝(椭圆)或e＝＝(双曲线)求解．
(3)构造关于a，c的齐次方程，再利用e＝转化成关于e的一元二次方程求解．
2．双曲线渐近线的四个常用结论
(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为定值b；
(2)由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)求渐近线方程，只需方程右边的常数1变成0，即令－＝0便可；
(3)由双曲线的一条渐近线方程y＝x求双曲线方程可设－＝λ(λ≠0)即可；
(4)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k同离心率e的关系：e＝＝.
[高考题型全通关]
1．已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
D [设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意得c＝.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D．]
2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1
B．
C．2
D．2
D [设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1?bc＝1,2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D．]
3．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．x2－＝1
A [由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2.又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A．]
4．(2020·东莞市模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－c)2＋y2＝2a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．2
B [如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，取y＝x与圆相交于点A，B，|AB|＝2b，圆心(c,0)到直线bx－ay＝0的距离d＝＝b.
结合垂径定理可得2a2＝b2＋b2，即a＝b.
∴双曲线为等轴双曲线，其离心率e＝.故选B．]
5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
B [∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，
∴F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.
设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.
联立方程组
整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，
解得e≥.
又0＜e＜1，∴≤e＜1.]
6．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C：－y2＝1(a＞0)上，则双曲线C的渐近线方程为________．
y＝±x [由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线上，代入方程解得a＝.又因为b＝1，所以渐近线方程为y＝±x.]
7．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________．
[3＋2，＋∞) [由题意，得22＝a2＋1，即a＝，
设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，
则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝－，
因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]
8．[一题两空]已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
－1 2 [如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，
∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.]
[教师备选]
1．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A．
B．
C．(1,2)
D．
A [根据正弦定理可知＝，因为＝，
所以＝，即|PF2|＝|PF1|，－＝2a，
所以＝2a，解得＝，
而>a＋c，即>a＋c，
整理得3e2－4e－1<0，解得又因为离心率e>1，所以12．(2020·百校联盟三月联考)已知椭圆C:
＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点A，B是椭圆C上关于原点O对称的两个点，且|AO|＝|AF|，·＝0，则椭圆C的离心率为( )
A．－1
B．2－
C．
D．
A [因为·＝0，所以∠AFB＝90°，因为|AO|＝|AF|，所以|AB|＝2|AF|，
故∠ABF＝30°，设椭圆C的左焦点为F1，根据椭圆的性质，四边形AF1BF为平行四边形，且∠AFB＝90°，所以四边形AF1BF为矩形，在直角三角形AF1F中，∠AF1F＝30°，|AF1|＝c，|AF|＝c，根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF|＝2a，
即c＋c＝2a，则椭圆C的离心率e＝＝－1，故选A．]
命题点3 圆锥曲线与直线、圆的综合问题
圆锥曲线与直线、圆的综合问题的4个注意点
(1)注意使用圆锥曲线的定义；
(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；
(3)注意用好平面几何性质；
(4)涉及中点弦问题时，可用“点差法”快速求解．
[高考题型全通关]
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中点为M，∴－＝－，
∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B．]
2．(2020·包头一模)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A，B是C的左、右顶点，点P在过F1且斜率为的直线上，△PAB为等腰三角形，∠ABP＝120°，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
D [如图，∵△PAB为等腰三角形，∠ABP＝120°，∴P点的坐标为(2a，a)，F1P∶y＝(x＋c)，
把P点坐标代入，可得a＝(2a＋c)，即2a＝c，
∴4a2＝c2＝a2＋b2，得＝.
∴C的渐近线方程为y＝±x.故选D．
]
3．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若＝3，则k＝( )
A．1
B．2
C．
D．
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝t，所以＋＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝，故选D．]
4．(2020·深圳中学联考)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为( )
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
A [∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|，
又|BF1|＝5|BF2|，
又|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos∠BF2F1＝，
根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得
＋＝0，解得a2＝2，
b2＝a2－c2＝2－1＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A．]
5.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆的下顶点，P为过点F1，F2，B的圆与椭圆C的一个交点，且PF1⊥F1F2，则的值为________．
[设过F1，F2，B三点的圆的圆心为M，
∵PF1⊥F1F2，∴
PF1是通径的一半，|PF1|＝.
∵PF1是圆M中的一条弦，
∴根据圆的对称性可知圆心的坐标M
.
∵|MB|2＝|MF1|2＝R2，
∴＋c2＝，整理得ac2＝b3＋ab2，
∵c2＝a2－b2，∴a(a2－b2)＝b3＋ab2，
整理得b2＋ab－a2＝0，
∴＋－1＝0，解得＝(舍去负根)．]
[教师备选]
1．(2020·华南师大附中、广雅中学等四校联考)F是双曲线C：－＝1的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2＝，则C的离心率是( )
A．
B．
C．
D．2
A [由题意得|AF|＝b，|BF|＝2b，|AB|＝3b；|OA|＝a，因为x轴是∠AOB的角平分线，由平分线性质，结合|OA|＝a，得|OB|＝2a，因此(2a)2＝a2＋(3b)2?a2＝3b2＝3(c2－a2)?e2＝?e＝，选A．]
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
D [因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1，
又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，
又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，
因为|OB|＝b，|OF2|＝c，
所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，
所以该椭圆的离心率e＝＝.]
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，以A为圆心，OA(O为坐标原点)为半径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线C的离心率为( )
A．1＋
B．1＋
C．
D．
A [由题意可得|OA|＝a，|AF2|＝c－a，
因为PF2⊥PA，
所以|PF2|＝＝.
又因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|－|PF2|＝2a.
因为|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF2|＝2a，
因此＝2a，即c2－2ac＝4a2，
所以e2－2e－4＝0，解得e＝1±，
因为e>1，所以e＝1＋.]
4．已知直线x＋y＝1与椭圆＋＝1(a>b>0)交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为坐标原点)，若椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是( )
A．[，]
B．
C．
D．
A [联立
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1.
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴2×－＋1＝0.
化为a2＋b2＝2a2b2.∴b2＝.
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，
∴≤e2≤，
∴≤≤，≤1－≤，
化为5≤4a2≤6，
解得
≤2a≤.
满足Δ>0.
∴椭圆长轴的取值范围是[，]．]
5．(2020·武汉模拟)已知曲线C1：＋＝1(a1>b>0)与曲线C2：－＝1(a2>0)有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点M，N.若＝(O为坐标原点)，则C1与C2的离心率之比为( )
A．
B．
C．
D．
A [设曲线C1，C2的右焦点F(c,0)，则c2＝a－b2＝a＋b2，因为＝(O为坐标原点)，可得＝，又MN是过右焦点F且垂直x轴的直线与两条曲线在第一象限的交点，
所以|FM|＝，|FN|＝，∴3×＝2×，∴＝，∴＝＝.故选A．]
6．(2020·福建二模)已知圆M的圆心为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)虚轴的一个端点，半径为a＋b，若圆M截直线l：y＝kx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．2
C [由题意知，当l⊥y轴时，圆M截直线y＝kx所得弦AB的长最小，
此时|OA|＝b，|OM|＝b，|MA|＝＝2b，又圆M的半径|MA|＝a＋b，∴2b＝a＋b，即a＝b，
∴c＝＝a，
则双曲线的离心率e＝＝.故选C．]
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为( )
A．＋1
B．2
C．
D．
B [如图，因为A为F1B的中点，所以＝，
又因为B在圆上，所以·＝0，故OA⊥F1B，
则F1B：y＝(x＋c)，
联立解得B，
则OB2＝2＋2＝c2，
整理得b2＝3a2，
∴c2－a2＝3a2，即4a2＝c2，
∴＝4，e＝＝2.故选B．]
9.
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
D [由题意得A(a,0)，F(－c,0)，∵抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n)，∵四边形ABFC是菱形，∴m＝(a－c)，将B(m，n)代入抛物线方程，得n2＝(a＋c)(a－c)＝b2，
∴B，再代入椭圆方程，得eq
\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)?a－c?)),a2)＋eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)b)),b2)＝1，化简整理，得4e2－8e＋3＝0，解得e＝，故答案为.]
10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF1，
设F2B＝x，则AF2＝3x，AB＝BF1＝4x，根据椭圆的定义，整理得AF1＝2x，
由于△AF1B为等腰三角形，所以cos∠F1AF2＝，
利用余弦定理F1F＝16＝AF＋AF－2·AF1·AF2cos∠F1AF2，
整理得16＝4x2＋9x2－2·2x·3x·，
解得x2＝＝，
故x＝，
所以2a＝5x＝5，
解得a＝，由于c＝2，所以b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.]
11．[一题两空]已知椭圆C1：＋y2＝1和双曲线C2：－y2＝1(m>0)．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|＝|BP|，则椭圆C1的离心率e1＝__________________________；
双曲线C2的离心率e2＝________.
[椭圆中a＝2，b＝1，所以c＝，离心率为e1＝，A(－2,0)，B(0,1)，直线AB的方程为y＝x＋1.
因为|AB|＝|BP|，所以B为AP的中点，设P(x，y)，
则
解得
即P(2,2)，
双曲线的渐近线为y＝x，点P在渐近线上，
所以2＝×2，所以m＝1.
双曲线中a＝1，b＝1，所以c＝，离心率为e2＝.]
12．[一题两空]如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1，A2，虚轴两个端点分别为B1，B2，两个焦点分别为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则
(1)双曲线的离心率e＝__________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝__________.
(1) (2) [(1)由于以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，因此点O到直线F2B2的距离为a.又由于虚轴两个端点分别为B1，B2，因此OB2的长为b.在△F2OB2中，由三角形的面积公式知
bc＝a|B2F2|＝a，
又c2＝a2＋b2，联立可得(e2－1)2＝e2，
根据e∈(1，＋∞)，解得e＝.
(2)设∠B2F2O＝θ，则sin
θ＝，cos
θ＝，
则＝＝＝，
∵b2＝c2－a2，∴＝＝e2－＝.]
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