函数的概念、图象与性质
命题点1 函数的概念与表示
1．函数的定义域问题
给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．
2．分段函数问题常见类型及解题策略
(1)求函数值：必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；
(2)求函数最值：先求出每个区间上的最值，然后依据“大中取大小中取小”的原则求值域；
(3)求参数：“分段处理”，即采用代入法列出各区间上的方程，求解即可；
(4)解不等式：常依据分段函数的单调性或结合函数图象求解，注意函数的定义域．
[高考题型全通关]
1．函数f(x)＝－的定义域是( )
A．[－3，－1)∪(－1,3]
B．[－2，－1)∪(－1,3]
C．(－2，－1)∪(－1,3]
D．(－2,3]
C [要使函数f(x)＝－有意义，只需，解得，
即－2＜x≤3，且x≠－1，
所以函数f(x)的定义域是(－2，－1)∪(－1,3]．
故选C．]
2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
C [若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，
得＝2(a＋1－1)，
∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，
得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．
综上，f＝6.故选C．]
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]＞0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D [易知a≠0，由题意得，当a＞0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)＞0，即a2＋a－3a＞0，即a2－2a＞0，解得a＞2或a＜0(舍去)；当a＜0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)＞0，即－3a－a2＋a＜0，即a2＋2a＞0，解得a＜－2或a＞0(舍去)．
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
4．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________.
9 [由函数f(x)＝
可得f(－2)＋f(log212)＝(1＋log24)＋2＝1＋2＋2＝3＋6＝9.]
5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
[当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，∴当x＜1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，
则解得0≤a＜.]
[教师备选]
1．[教材改编]下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln
x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin
x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
D [对于A，f(x)＝eln
x，g(x)＝x定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)＝，g(x)＝x－2定义域不相同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝，g(x)＝sin
x定义域不相同，不是同一个函数；对于D，f(x)＝|x|，g(x)＝＝|x|，定义域、值域、对应关系都相同，是同一函数，故选D．]
2．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f＋的定义域为( )
A．[0,3] B．[0,2] C．[1,2] D．[1,3]
A [由题意，函数f(x)的定义域为[0,2]，即x∈[0,2]，因为函数g(x)＝f＋，所以得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0,3]，故选A．]
3．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是________．
(－∞，－1＋] [当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．
当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋]．
综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋]．]
命题点2 函数的性质及应用
函数的性质及应用
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解．
(4)对称性：
①f(x)图象关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)．
②f(a＋x)＋f(b－x)＝2c?f(x)图象关于点对称．
[高考题型全通关]
1．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
A [因为f(x)＝＝＋2，所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；
画出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象排除C、D．因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝4，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称．]
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A．
B．
C．[－1,1]
D．
C [函数f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，则2b＋(1－b)＝0，解得b＝－1，则函数的定义域为[－2,2]，又f(x)在[－2,0]上为增函数，则f(x)在[－2,2]上为增函数，f(x－1)≤f(2x)?－2≤x－1≤2x≤2，解得－1≤x≤1，即不等式的解集为[－1,1]，故选C．]
3．[高考改编]已知函数f(x)＝ax－ln(ex＋1)(a∈R)为偶函数，则实数a的值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
C [法一：(定义法)由f(－x)＝f(x)得：－ax－ln
＝ax－ln(ex＋1)，
化简得：ln(ex＋1)－ln＝2ax，
即x＝2ax，故a＝.
法二：(特值法)由f(－1)＝f(1)得：
－a－ln＝a－ln(e＋1)，解得a＝，当a＝时，f(x)＝－lne＋，
经检验f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．故选C．]
4．已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2
023)＝( )
A．－1
B．1
C．0
D．2
0192
A [因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2
023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故选A．]
5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．a>c>b
B [因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B．]
6．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是( )
A．f(x)＝sin
x－x
B．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)
C．f(x)＝
D．f(x)＝
D [由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A中，f′(x)＝cos
x－1＞0无解，故A不满足题意；B中，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，其图象不关于原点对称，故B不满足题意；C中，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C不满足题意；D中，f(x)＝＝1－，所以f(x)在定义域内单调递增，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)在定义域内单调递增且图象关于原点对称，故D满足题意．故选D．]
7．已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，则下列不等式恒成立的是( )
A．b－a<2
B．a＋2b>2
C．b－a>2
D．a＋2b<2
C [由题意得f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．
又f(x)＝－＝－＝－1＋，
故函数f(x)在R上单调递减．
∵f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，
∴f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)，
∴2a＋b<3b－4，∴b－a>2.故选C．]
8．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③函数f(x)没有最小值；
④函数f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是________．
①②④ [因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)．即函数f(x)是周期为4的周期函数．
由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
]
[教师备选]
1．已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数
B．f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
D [法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．]
2．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且?x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4|
B．|2－x|
C．2＋|x＋1|
D．3－|x＋1|
D [由f
＝f
，
可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，
x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝3＋(x＋1)；
当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，
f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－(x＋1)，故选D．]
3．(2020·云南师大附中模拟)已知函数f(x)＝
的最小值为e，则f(ln
2)＋f(2)＝( )
A．
B．e(2＋ln
2)
C．
D．1＋eln
2
A [∵f(x)＝，∴当函数x＜a时，f(x)＝e－x＋2＞e－a＋2，当x≥a时，f(x)＝ex≥ae，
又函数的最小值为e，∴，
∴，则a＝1，
所以f(ln
2)＋f(2)＝e－ln
2＋2＋2e＝e－ln
2×e2＋2e＝，故选A．]
4．已知函数f(x)＝cos＋＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
C [由已知得f(x)＝sin
2x＋＋1，因为y＝sin
2x，y＝都为奇函数，所以不妨设f(x)在x＝a处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在x＝－a处取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin
2a＋＋1＋sin(－2a)＋＋1＝2.故选C．]
5．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是______．
[<0?f(x)是减函数??a∈.]
6．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列四个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________．
①②④ [对于①，＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；对于③，由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；对于④，由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．]
命题点3 函数的图象及应用
巧用函数的性质识图八技
(1)定→定点、定义域．
(2)奇→奇偶性．
(3)极→极值点个数．
(4)零→零点个数．
(5)渐→渐近线．
(6)趋→函数值变化趋势．
(7)单→单调性．
(8)符→函数值符号．
[高考题型全通关]
1．函数f(x)＝的部分图象大致是( )
B [因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以C、D错误；又因为f(π)＝＜0，所以A错误，故选B．]
2.如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝x2ln
D．y＝tanx·ln
C [由图象可知，y＝tan
x·ln(x＋1)在0，上单调递增，故可排除D；当x＝时，A、B选项中的y＞0，C选项中的y＜0，故选C．]
3．(2020·成都模拟)函数f＝的图象大致是( )
B [因为f(x)＝≥0，所以A不正确；函数f(x)＝不是偶函数，图象不关于y轴对称，所以C不正确；当x＞0时，f(x)＝＞0
,
当x趋近于正无穷时，x2和ex－1都趋近于正无穷，但是ex－1增大的速度大于x2增大的速度，所以f(x)＝趋近于0，故D不正确．故选B．]
4.
(2020·广州一模)如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
A [设PP′的中点为M，则|－|＝||＝2||，
当x∈时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，所以cos
x＝，
所以|PM|＝cos
x，|－|＝2cos
x，
即f(x)＝2cos
x，x∈.
从四个选项可知，只有选项A正确，故选A．]
5．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x＋1|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则xi＝( )
A．0
B．n
C．2n
D．4n
C [由f(x)＝f(4－x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且函数y＝|x2－4x＋1|的图象也关于直线x＝2对称，则两个函数图象的交点两两关于直线x＝2对称，故xi＝2n.故选C．]
6．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
[破题关键]
D [由题意可知y＝|f(x)|＝作出图象如图所示．
设曲线y＝x2－2x在x＝0处的切线l的斜率为k，由y′＝2x－2，可知k＝y′|x＝0＝－2.要使|f(x)|≥ax，则直线y＝ax的倾斜角要大于或等于直线l的倾斜角，小于或等于π，即a的取值范围是[－2,0]．]
7．[一题两空]已知二次函数f＝ax2＋bx＋1，一次函数g＝x－1，不等式f≤g的解集为，则ab＝________；记函数h＝
，则h(x)的最小值是________．
1 0 [不等式f(x)≤g(x)可化为ax2＋(b－1)x＋2≤0，因为该不等式的解集为[1,2]，故1,2为方程ax2＋(b－1)x＋2＝0的两个根，所以，解得，所以ab＝1.由题设得：h(x)＝max{f(x)，g(x)}，它的图象如图所示：
由图象可得函数的最小值为0.
]
8．若函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，则m的值为________．
[破题关键]
1 [∵y＝(x－1)3，y＝－的图象均关于点(1,0)对称，∴函数f(x)＝(x－1)3－的图象关于点(1,0)对称，且在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增，∵函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y＝－x＋m经过点(1,0)，∴m＝1.]
[教师备选]
1．已知函数f＝x3－3x＋b与函数y＝有相同的对称中心，若g(x)＝
有最大值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．
D．
C [因为y＝的对称中心为(0,1)，得b＝1.如图作出函数f(x)＝x3－3x＋1与直线y＝1－2x的图象，
它们的交点是A(－1,3)，(0,1)，B(1，－1)，由f′(x)＝3x2－3，可以判断x＝－1是函数f(x)的极大值点，由图象知当a≥－1时，g(x)有最大值是f(－1)或f(a)；当a＜－1时，由a3－3a＜－2a，因此g(x)无最大值，∴所求a的取值范围是[－1，＋∞)．]
2．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是________．
[设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线h(x)＝ax－a的下方，如图．
∵g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，
∴当x＜－时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
当x>－时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
∴当x＝－时，g(x)取最小值－2e－，
当x＝0时，g(x)＝－1，当x＝1时，g(x)＝e＞0，
直线h(x)＝ax－a恒过定点(1,0)且斜率为a，
故－a＞g(0)＝－1且g＝－3e－1≥－a－a，
解得≤a＜1.]
2/15
