集合、常用逻辑用语、不等式
[回归教材]
1．集合
(1)集合的运算性质
①并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．
②交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．
③补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；
?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
【易错提醒】 (1)描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg
x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg
x}——函数图象上的点集．
(2)空集是任何集合的子集．由条件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝?的情况．
2．四种命题之间的相互关系
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，?p(x0)
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，?p(x)
4.含逻辑连接词命题真假判定
(1)p与?p真假相反；
(2)p∧q一假即为假，两真才为真；
(3)p∨q一真即为真，两假才为假．
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且qDp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件?A?B；p是q的必要不充分条件?A?B；p是q的充要条件?A＝B．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
【易错提醒】 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法．
6．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：
一化(将二次项系数化为正数)；
二判(判断对应方程Δ的符号)；
三解(解对应的一元二次方程)；
四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：
①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；
②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；
③在有根的条件下，要比较两根的大小．
7．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
8．分式不等式
>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)?
9．基本不等式
(1)基本不等式：≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
【易错提醒】 在利用基本不等式求最值时，要满足
“一正”“二定”“三相等”的条件．如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
10．线性规划
(1)可行域的确定：直线定界，特殊点定域，特别地，
平面区域内的点满足“同侧同号、异侧异号”的规律．
(2)线性目标函数取得最优解一定在可行域的顶点或边界上取到．
[保温训练]
1．已知命题p：?x≥1,2x－log2x≥1，则?p为( )
A．?x＜1,2x－log2x＜1
B．?x≥1,2x－log2
x＜1
C．?x＜1,2x－log2x＜1
D．?x≥1,2x－log2x＜1
D [因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：?x≥1,2x－log2x≥1，
?p：?x≥1,2x－log2x＜1.故选D．]
2．(2020·湖州中学月考)已知集合A＝{－1,0,1,2}为全集，B＝{x|x2－x－2<0，x∈Z}，则?AB＝( )
A．{－1,0,1}
B．{－1,0}
C．{－1,2}
D．{0,1,2}
C [由B＝
＝{x|－1
3．(2020·东营模拟)“a<2”是“?x＞0，a≤x＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若?x＞0，a≤x＋，则a≤min，因为x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，
所以a≤2，
因为{a|a<2}{a|a≤2}，
所以“a<2”是“?x>0，a≤x＋”的充分不必要条件，故选A．]
4．已知集合A＝{x|x2－x>0}，B＝{x|－A．A∩B＝?
B．A∪B＝R
C．B?A
D．A?B
B [∵A＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，
B＝{x|－5．已知命题p：?x>0，则3x>1；命题q：若aA．p∧q
B．p∧?q
C．?p∧q
D．?p∧?q
B [命题p：?x>0,3x>1，则命题p为真命题，则?p为假命题；取a＝－2，b＝－1，a＜b，但a2＞b2，则命题q是假命题，则?q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧?q是真命题，?p∧q是假命题，?p∧?q是假命题．故选B．]
6．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．2
B．11
C．16
D．18
C [作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A(1,1)，B(8,8)，C.分析知当直线z＝3x－y经过点B(8,8)时，z取得最大值，且zmax＝3×8－8＝16.故选C．]
7．若a，b是任意实数，且a>b，则( )
A．>1
B．>
C．lg(a－b)>0
D．<
D [若a>0，b<0，则<1，故A错误；
若a，b为负数，则>不成立，故B错误；
若0因为根据f(x)＝在R上单调递减，则<，故D正确，故选D．]
8．(2020·辽宁省辽师大附中模拟)能够说明“ex>x＋1恒成立”是假命题的一个x的值为________．
0 [设函数f(x)＝ex－x－1，则有f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，有f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，有f′(x)>0，f(x)单调递增；
故x＝0为最小值点，有f(x)≥f(0)＝0.因此，当x＝0时，命题不能成立．故能够说明“ex>x＋1恒成立”是假命题的一个x的值为0.]
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