基本初等函数、函数与方程
命题点1 基本初等函数的图象与性质
基本初等函数解题的3个关键点
(1)指对互化：ax＝N?x＝logaN.
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质，分0
1两种情况；
对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
(3)复合函数：复合函数的性质往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
[高考题型全通关]
1．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A
B C D
D [法一：若01，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．故选D．
法二：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D．]
2．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．bD．cA [因为a＝log27>log24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<1，所以c3．已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是( )
A．>
B．ln(a－b)>0
C．2a－b<1
D．<
D [由log2a>log2b可得a>b>0，故a－b>0，逐一考查所给的选项：
A项，<；
B项，a－b>0，ln(a－b)的符号不能确定；
C项，2a－b>1；
D项，<<.]
4．[教材改编]已知2a＝6b＝10，则3，ab，a＋b的大小关系是( )
A．abB．ab<3C．3D．3D [a＝log210＞log28＝3，b＝log610＞1，
∴ab＞3；
又＝＋＝lg
2＋lg
6＝lg
12＞1?a＋b＞ab，∴a＋b＞ab＞3.故选D．]
5．若实数x，y，z满足log2x＝log3y＝2z，则x，y，z的大小关系是( )
A．xB．xC．zD．zC [令log2x＝log3y＝2z＝k(k＞0)，则x＝2k，y＝3k，因为k＞0，由y1＝2x，y2＝3x的图象可得：3k＞2k，所以y＞x；因为y＝log2x与y＝2x互为反函数，图象关于y＝x对称，因为log2x＝2z＝k(k＞0)，所以z＜x，综上所述：z＜x＜y.故选C．]
6．设x1，x2，x3均为实数，且e＝ln(x1＋1)，e＝lg
x2,
e＝ln
x3，则( )
A．x3B．x2C．x3D．x1D [根据题意可知，实数x1，x2，x3分别是函数y＝e－x与y＝ln(x＋1)、y＝lg
x、y＝ln
x图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中作出函数y＝e－x、y＝ln(x＋1)、y＝lg
x、y＝ln
x的图象如图所示，由图知，x1]
7．[一题两空]函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域为________，单调递增区间为________．
(－∞，－2)∪(4，＋∞) (4，＋∞) [由x2－2x－8>0，
得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8,
x>4或x<－2，
则y＝ln
t为增函数，
要求函数f(x)的单调递增区间，
即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．]
8．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对?x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
[由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，
故x2≤2logax(a>0且a≠1)对?x∈恒成立，
即当x∈时，
函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，
由图(图略)知0解得≤a<1.]
[教师备选]
1．已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A的是( )
A．y＝＋2
B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1
D．y＝2x－1
D [函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，
令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2.
所以恒过点A(1,2)．
把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数不经过该点．]
2.已知函数y＝loga(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．0D [∵函数单调递减，∴0＜a＜1，
当x＝1时，loga(x＋c)＝loga(1＋c)＜0，
即1＋c＞1，即c＞0，
当x＝0时，loga(x＋c)＝logac＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选D．]
3．若f(x)＝ln(x2－2ax＋1＋a)在区间上递减，则实数a的取值范围为( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
B [令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，其对称轴方程为x＝a，
要使函数f(x)＝ln(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1)上递减，则，即1≤a≤2.
∴实数a的取值范围是[1,2]．故选B．]
4．(2020·赣南模拟)已知函数f＝x，则( )
A．f>f
B．f的定义域为
C．f为偶函数
D．f在上为增函数
B [因为f(1)＝2＜2＝f(2)，所以A错误；由9－x2≥0，得－3≤x≤3，所以f(x)的定义域为[－3,3]，所以B正确；f(x)为奇函数，所以C错误；因为f(0)＝f(3)＝0，所以D错误，故选B．]
5．已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xα图象上，设a＝f
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))，b＝f(20.2)，c＝f
，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．c>b>a
D．b>c>a
A [因为点(2,8)在幂函数f(x)＝xα图象上，
所以8＝2α，解得α＝3，
因为函数f(x)＝x3在R上单调递增，
且0<<＝1,
20.2>20＝1,
log2所以log2<<20.2，f
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))即b>a>c.]
6．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A．[1,3]
B．(1,3)
C．[2－，2＋]
D．(2－，2＋)
D [函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.]
命题点2
函数的零点与方程
零点问题的求解捷径
(1)函数零点个数的判断方法
①利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
②数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．
(2)已知函数零点情况求参数范围的方法
①分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．
②数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
[高考题型全通关]
1．已知函数f(x)＝－xeq
\s\up12()，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )
A．
B．
C．
D．
B [f(0)＝1＞0，f＝eq
\s\up12()－eq
\s\up12()＞0，
f＝eq
\s\up12()－eq
\s\up12()＜0，f·f＜0，所以函数f(x)在区间必有零点，选B．]
2．(2020·门头沟区一模)已知函数f(x)＝
，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围为( )
A．[0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，1)
B [由题意可知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a只有一个交点．作出图象如图：
由图可知，a＞1，故选B．]
3．(2020·东北三省四市一模)已知函数f(x)＝若函数y＝|f(x)|－m的零点恰有4个，则实数m的取值范围是( )
A．(，]
B．(0,2]
C．(0，]
D．(1，)
B [由函数y＝|f(x)|－m的零点恰有4个，得方程|f(x)|＝m有4个根，画出y＝|f(x)|和y＝m的图象如图所示，结合图象可知，它们的图象有4个交点，则0＜m≤2，故选B．
]
4．(2020·哈师大附中、辽宁实验中学一模)已知f(x)满足f(x)＝，若在区间(－1,3)内，关于x的方程f(x)＝kx＋k(k∈R)有4个根，则实数k的取值范围是( )
A．0B．0C．0D．0A [∵f(x)满足f(x)＝，
当x∈(0,2]时，x－2∈(－2,0]，
∴f(x)＝f(x－2)＝[－4(x－2)2－8(x－2)]＝－2x2＋4x，
当x∈(2,4]时，x－2∈(0,2]，
∴f(x)＝f(x－2)＝[－2(x－2)2＋4(x－2)]＝－x2＋6x－8，
令g(x)＝kx＋k，由题意得f(x)与g(x)图象有4个交点，画出f(x)的图象如下：
∵g(x)＝kx＋k，过定点(－1,0)，
∴通过图象分析可得当g(x)过(3,1)时，f(x)与g(x)图象有4个交点，∴k＝＝，
∴0＜k≤，
当g(x)与f(x)相切时，也有四个交点，
联立f(x)与g(x)(x∈(2,3))，
得x2＋(k－6)x＋k＋8＝0，
令Δ＝0得k＝8－2，或k＝8＋2(舍)，故选A．]
5．函数f(x)＝x2sin
x－x，x∈(－π，π)的零点个数为( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
C [由f(x)＝0得x2sin
x－x＝0，即x(xsin
x－1)＝0，则x＝0或xsin
x－1＝0，由xsin
x－1＝0得sin
x＝，作出函数y＝sin
x和y＝在x∈(－π，π)上的图象如图：由图象知函数y＝sin
x和y＝在x∈(－π，π)上有四个交点，即此时方程xsin
x－1＝0有四个根，即f(x)有5个零点，故选C．]
6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝
(－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)周期为2，函数g(x)＝关于x＝1对称，作图可得四个交点横坐标关于x＝1对称，其和为2×2＝4，选B．]
7．若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．(－∞，e)
C．
D．
[破题关键]
B [若f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，即e－x＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上有实根，
即两个函数y＝e－x和h(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，作出两个函数的图象如图：
若a＞0，
则只需要h(0)＝ln
a＜1，即0＜a＜e；
若a≤0，则h(x)＝ln(x＋a)的图象是函数y＝ln
x向右平移的，此时在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件，
综上a＜e，故选B．]
8．已知函数f(x)＝|x|(2－x)，关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为________．
(1－，0) [f(x)＝|x|(2－x)＝
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0当x>0时，由对称性知，
x2＋x3＝2,0当x<0时，由x2－2x＝1，得x＝1－，
所以1－所以0<－x1x2x3<－1，即1－[教师备选]
1．[高考改编]设函数f(x)＝x2－4x＋a(ex－2＋e2－x)有唯一的零点，则实数a＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
D [令x－2＝t，则g(t)＝t2－4＋a(et＋e－t)，
易知g(t)为偶函数，且g(t)≥g(0)＝2a－4.
要使f(x)有唯一零点，则只需2a－4＝0，即a＝2.故选D．]
2．已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为( )
A．4
B．5
C．6
D．3
A [当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当01时，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，
综上，g(x)共有四个零点．]
3．[一题两空]若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则实数a＝________，函数g(x)＝x2－|x|＋a的零点有________个．
－ 2 [∵f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，
即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，即2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lg－lg(10x＋1)＝－x，
则2a＝－1，得a＝－，则g(x)＝x2－|x|－，
由g(x)＝x2－|x|－＝0得|x|＝＝，
则|x|＝(舍去负值)，则x＝±，即g(x)有两个零点．]
4．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足0－1 [由题意得函数f(x)＝ax＋x－b为增函数，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
所以函数f(x)＝ax＋x－b在(－1,0)内有一个零点，
故n＝－1.]
5．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．
[3,4] [由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)满足|2－μ|≤1的零点为μ，
因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.
因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0，或
解得≤a≤4，或3≤a<，得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．]
命题点3 函数建模
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：???.
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
[高考题型全通关]
1．(2020·永州模拟)2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制．通过市场调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x
8
9
10
11
f(x)
28.00
33.99
36.00
34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为( )
A．28
B．25
C．23
D．21
A [因为f(x)的值随x的值先增后减，所以符合二次函数的图象，故选择函数模型为f(x)＝ax2＋bx＋c，由表中数据近似可得：，即，
解得，所以f(x)＝－2x2＋40x－164，
所以f(12)＝－2×144＋40×12－164＝28.故选A．]
2．(2020·德阳模拟)为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力，某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)＝
(k、M为常数)．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )
A．40分钟
B．35分钟
C．30分钟
D．25分钟
C [n＝M时，＝12，n＝9时，＝20，
解得k＝60，M＝25，
∴f(n)＝.
∵n＝4＜25，∴f(4)＝＝30.
即可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是30分钟．故选C．]
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)
A．2021年
B．2022年
C．2023年
D．2024年
B [根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B．]
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
B [∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(I?t1?＝e，,I?t2?＝e，,I?t2?＝2I?t1?，))则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln
2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B．]
5．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足的函数关系式为y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0
℃的保鲜时间是192
h，在22
℃的保鲜时间是48
h，则该食品在33
℃的保鲜时间是________
h.
24 [由已知，得eb＝192，e22k＋b＝48，两式相除得e22k＝，所以e11k＝，
所以e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24，即该食品在33
℃的保鲜时间是24
h．]
6．[一题两空]李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
(1)130 (2)15 [(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60＋80＝140(元)，
即有顾客需要支付140－10＝130(元)；
(2)在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m－x)×80%≥m×70%，
即x≤，由题意得m≥120，故x≤＝15，则x的最大值为15元．]
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