高考中的数学文化题
命题点1 算法中的数学文化
命题背景及解题策略
算法中的数学文化一般以辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制等中国古代的优秀算法案例为背景，考查算法的思想．和算法结合的数学文化，解决这类问题的关键是读懂程序框图，按程序框图依次执行.
[高考题型全通关]
1．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为( )
A．4
B．2
C．0
D．14
B [由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.]
2．(2020·安阳模拟)“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为10.则输出i的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
B [模拟程序的运行，可得i＝0，n＝10，
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝5，i＝1；
不满足条件n＝1，不满足条件n是偶数，n＝16，i＝2；
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝8，i＝3；
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝4，i＝4；
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝2，i＝5；
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝1，i＝6；
此时，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6.
故选B.]
3.(2020·丹东模拟)中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼( )
A．89条
B．113条
C．324条
D．445条
A [该图的五进制数为324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)＝4×50＋2×51＋3×52＝89，故选A.]
命题点2 数列中的数学文化
命题背景及解题策略
数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题.
[高考题型全通关]
1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )
A．10
B．9
C．8
D．7
C [设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.]
2．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )
A.里
B．1
050里
C.里
D．2
100里
C [由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有eq
\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))＝700，则a1＝，则S14＝eq
\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))＝(里)．故选C.]
命题点3 立体几何中的数学文化
命题背景及解题策略
立体几何中的数学文化题一般以“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．解决这类问题的关键是从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型．
[高考题型全通关]
1．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
A．158
B．162
C．182
D．324
B [如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝×3＋×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.]
2.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC
?A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1?ABB1A1的外接球的表面积是( )
A．25π
B．50π
C．100π
D．200π
B [由题意得阳马C1?ABB1A1的外接球即为堑堵ABC?A1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半径R＝，表面积为4πR2＝50π.故选B.]
3．[一题两空]我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍甍(chú
ménɡ)：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为________，体积为________．
8＋8 [由题意知该五面体的表面积S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2××2×＋2××(2＋4)×＝8＋8.
过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ.
因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，
所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝＝，
OQ＝BC＝1，
所以OF＝＝，
采用分割的方法，分别过点F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，
如图，包含一个三棱柱EMN－FQH，两个全等的四棱锥：E－AMND，F－QBCH，
所以这个几何体的体积V＝VEMN?FQH＋2VF?QBCH＝S△QFH×MQ＋2×S矩形QBCH×FO＝×2××2＋2××1×2×＝.]
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD?A1B1C1D1)的粮仓，宽3丈(即AD＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．(填写所有正确结论的序号)
①该粮仓的高是2丈；
②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为；
③长方体ABCD?A1B1C1D1的外接球的表面积为π平方丈．
①③ [由题意，因为10
000×2.7＝30×45×AA1，解得AA1＝20(尺)＝2(丈)，故①正确；
异面直线AD与BC1所成角为∠CBC1，
则sin∠CBC1＝＝，故②错误，
此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，
故其外接球的表面积为4π＝π(平方丈)，所以③是正确的．]
命题点4 概率中的数学文化
命题背景及解题策略
概率中的数学文化题一般以猜想、卦象等为模拟背景，或以平面几何的面积分割为背景，解决这类问题的关键是构建数学模型.
[高考题型全通关]
1．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2
cm，正方形的边长为1
cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的近似值为( )
图1
图2
A.
B.
C.
D.
A [圆形钱币的半径为2
cm，面积为S圆＝π·22＝4π；
正方形边长为1
cm，面积为S正方形＝12＝1.
在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是P＝＝1－，则π＝.故选A.]
2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是( )
A.
B.
C.
D.
D [在不超过20的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19共8个，随机选取两个不同的数共有C＝28种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P＝，故选D.]
3．八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号．八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)．从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
C [由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为.]
4．(2020·安庆二模)鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质．如图，若点C为线段AB的三等分点且AC＝2CB，分别以线段AB，AC，BC为直径且在AB同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形(即图中阴影部分)．现等可能地从以AB为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为________．
[设AC＝2r1，BC＝2r2，则AB＝2r1＋2r2，r1＝2r2，于是阴影部分的面积为－－＝πr1r2，
所以，所求概率为P＝＝＝＝.]
4/8
