复数与平面向量
[回归教材]
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相关概念
(1)复数的分类
①z是实数?b＝0；②z是虚数?b≠0；③z是纯虚数?a＝0且b≠0.
(2)共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模|z|＝.
(4)复数的相等：
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算法则
(1)加减法：类比多项式的加减法运算；
(2)乘法：类比多项式的乘法运算；
(3)除法：分母实数化．
3．复数中常用结论
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
(2)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．平面向量的线性运算：加法、减法及数乘运算
(1)两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则．
(2)共线向量定理：
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(3)三点共线的2个结论
①若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
②＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
5．平面向量的数量积
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
(2)cos
θ＝＝.
(3)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0?|a＋b|＝|a－b|.
6．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
7．有关向量夹角的2个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
8．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
[保温训练]
1．设复数z满足＝i，则z的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．2i
D．－2i
A [∵＝i，∴z＝＝＝－i，
∴＝i.故选A．]
2．(2020·曲靖二模)若复数(a∈R)是纯虚数，则复数2a＋2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [＝＝a＋1＋(1－a)i是纯虚数，则a＝－1,
2a＋2i＝－2＋2i，对应点为(－2,2)，在第二象限．故选B．]
3．(2020·山西省一模)已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|2a＋b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
C [因为平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|2a＋b|＝|a＋b|,
所以|2a＋b|2＝|a＋b|2，
所以2ab＝－3a2，
所以
2|a||b|cos〈a，b〉＝－3a2，所以cos〈a，b〉＝－，所以a与b的夹角为.故选C．]
4．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝(m,2)，且(a－2b)⊥c，则实数m＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．任意实数
B [∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴a－2b＝(3,0)，
∵c＝(m,2)，(a－2b)⊥c，则(a－2b)·c＝3m＝0，解得m＝0.故选B．]
5．已知命题p：复数z＝的虚部是－，命题q：复数＝4－3i，以下命题真假判断正确的是( )
A．p真q真
B．p真q假
C．p假q真
D．p假q假
A [因为z＝＝＝－－i，
所以其虚部为－，所以p为真命题；
因为＝2－4i＋i－2i2＝4－3i，所以q为真命题，故选A．]
6．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝( )
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
C [如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
7．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
－6 [a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]
8．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|a－b|＝，则|b|＝________.
2 [∵|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝3，|a|＝1，
向量a与b的夹角为60°，
∴a·b＝|a||b|cos
60°＝|b|，|a|2＝1，
∴|b|2－|b|－2＝0，解得|b|＝2或|b|＝－1(舍去)．]
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