数列
[回归教材]
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N
)
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝；(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用等差、等比数列的常用性质
等差数列{an}
等比数列{an}
性质
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)
3.掌握判定方法
(1)判断等差数列的四种常用方法
①定义法
an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}是等差数列；
②通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
③中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
④前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
(2)判断等比数列的三种常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列；
②通项公式法
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列；
③中项公式法
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N
)?{an}是等比数列．
4．数列中项的最值的求法
(1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数f(n)＝an(n∈N
)，利用求解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数．
(2)利用数列的单调性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值．
(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可转化为求解若求数列{an}的最小项，则可转化为求解
求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．
5．求数列通项公式的常用方法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝
(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(5)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(6)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
(7)倒数法：若an＝(mkb≠0，n≥2)，对an＝取倒数，得到＝·，即＝·＋.令bn＝，则{bn}可归纳为bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．
6．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N
.
(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有
①＝－；
②＝；
③＜＝，
－＝＜＜＝－；
④＝.
[保温训练]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知13a3＋S13＝52，则S9＝( )
A．9
B．18
C．27
D．36
B [因为S13＝＝＝13a7
，所以13a3＋S13＝13a3＋13a7＝52，
所以a3＋a7＝4,
所以a5＝＝2，所以S9＝＝＝9a5＝9×2＝18，
故选B．]
2．(2020·天津一模)已知数列{an}满足a1＝3，且an＋1＝4an＋3(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为( )
A．22n－1＋1
B．22n－1－1
C．22n＋1
D．22n－1
D [因为an＋1＝4an＋3，所以an＋1＋1＝4(an＋1)，即＝4，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝4为首项，公比为4的等比数列，所以an＋1＝4×4n－1＝4n＝22n，即an＝22n－1，所以数列{an}的通项公式是an＝22n－1，故选D．]
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a8＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是________．
－2 [∵a2a8＝2a3a6，∴a＝2a5a4，∴a5＝2a4，∴q＝2，S5＝－62，∴＝－62，∴a1＝－2.]
4．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，anan＋1＝3n，则S2
021＝________.
31
011－2 [由anan＋1＝3n，得an－1an＝3n－1(n≥2)，所以＝3(n≥2)，则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a1＝1，a1a2＝3，所以a2＝3，所以S2
021＝＋＝31
011－2.]
5．[一题两空]已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N
，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N
，则数列{an}的通项公式为________；使b1＋b2＋…＋bn>2
021成立的最小正整数n的值为________．
an＝2n＋1 10 [令n＝1，得a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.
又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列，
于是an＝2n＋1,
bn＝a2n－1＝2n＋1.
于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.
令f(n)＝2n＋1＋n－2，
易知f(n)是关于n的单调递增函数，
又f(9)＝210＋9－2＝1
031，
f(10)＝211＋10－2＝2
056，
故使b1＋b2＋…＋bn>2
021成立的最小正整数n的值是10.]
6．[一题两空]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n－1，则数列的通项公式为________；若数列满足bn＝，数列的前n项和Tn为________．
an＝
[当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－＝2n＋1.
而a1＝2≠2×1＋1，
所以数列的通项公式为an＝
又当n＝1时，b1＝＝＝，
当n≥2时，bn＝＝，
所以bn＝
当n＝1时，T1＝b1＝，
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＝＋＝.
又T1＝＝，符合Tn＝，
所以Tn＝.]
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