函数与导数
[回归教材]
1．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
【易错提醒】 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
2．奇偶性
(1)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称；
(2)f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称；
(3)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数；
(4)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
3．函数单调性和奇偶性的重要结论
奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
4．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，T＝2|a|；
②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2|a|；
③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2|a|.
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称；
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
5．函数图象的基本变换
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x＋h)，简记为“左加右减”；
y＝f(x)y＝f(x)＋k，简记为“上加下减”．
(2)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)，
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
6．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当0
7．函数与方程
(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点?f(x0)＝0?(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．
(2)零点存在性定理：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．
8．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
9．基本初等函数的求导公式
c′＝0(c为常数)；
(xα)＝αxα－1(α∈Q
)；
(sin
x)′＝cos
x；
(cos
x)′＝－sin
x；
(ax)′＝axln
a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′
＝(a>0且a≠1)；(ln
x)′＝.
10．常见的含有导函数的几种不等式构造原函数类型
(1)原函数是函数的和、差组合
①对于f′(x)＞g′(x)，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)；
②对于f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数h(x)＝f(x)＋g(x)．
(2)原函数是函数的乘、除组合
①对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)g(x)；
②对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)．
特别地，对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝xf(x)；
对于xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.
(3)原函数是ex的乘、除组合
①对于f′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝exf(x)；
②对于f′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.
11．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
12．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
【易错提醒】 f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
13．定积分的三个公式与一个定理
(1)定积分的性质
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
(2)微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．
[保温训练]
1．已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
D [∵y′＝aex＋ln
x＋1，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，
将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.
故选D．
]
2．已知函数f(x)＝
则f的值是( )
A．0
B．1
C．
D．－
C [因为f(x)＝且0＜＜1，＞1，所以f＝f()＝log2＝，故选C．]
3．(2020·四川二模)已知a＝2eq
\s\up8(－)，b＝eq
\s\up8()，c＝logeq
\s\do16()，则( )
A．bB．aC．cD．bA [因为a＝2eq
\s\up8(－)<20＝1，b＝eq
\s\up8()<＝1，c＝logeq
\s\do16()＝log25>log22＝1.故c最大．
又a6＝2eq
\s\up8(－)×6＝2－3＝，b6＝eq
\s\up8()×6＝＝，故a6>b6，又a，b>0，故a>b.故b4．(2020·深圳中学模拟)函数f(x)＝的部分图象大致是( )
A B
C D
B [由f(x)＝，可得f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A．当00；当－1≤cos
x<－时，f(x)<0，排除C，D．故选B．]
5．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2
B．
C．
D．a2
B [由题意知f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，
又f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
所以g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2. ①
又g(x)＋f(x)＝ax－a－x＋2， ②
①＋②得g(x)＝2，
②－①得f(x)＝ax－a－x，
又g(2)＝a，所以a＝2，
所以f(x)＝2x－2－x，
所以f(2)＝4－＝，故选B．]
6．(2020·大同模拟)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )
A．∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
B [函数f＝ex－，其中e是自然对数的底数，由指数函数的性质可得f是递增函数，
∵f＝e－x－＝－ex＝－f，
∴f是奇函数，那么不等式f＋f>0，
等价于f>－f＝f，等价于2x－1>x＋1，解得x>2，故不等式f＋f>0的解集为，故选B．]
7．已知f(x)是定义在[0，＋∞)的函数，满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[0,3)时，f(x)＝2x，则f(log2192)＝( )
A．
B．
C．2
D．3
D [f(x＋3)＝－f(x)?f(x＋6)＝f(x)，T＝6，f(log2
192)＝f(log2(64×3))＝f(6＋log23)＝f(log23)＝2log23＝3，故选D．]
8．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，f′(x)＜，且f(－1)＝0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)
B [设F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数．F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，x＞0时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，F(1)＝F(－1)＝0，结合F(x)的图象得f(x)＞0的解为(－∞，－1)∪(0,1)．]
9．(2020·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝a(2a－1)e2x－(3a－1)(x＋2)ex＋(x＋2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A．
B．
C．∪(1，e)
D．∪
D [由f(x)＝0，得[aex－(x＋2)][(2a－1)ex－(x＋2)]＝0，
即a＝，2a－1＝，
令g(x)＝，g′(x)＝，
g′(x)＞0?x＜－1，
g′(x)＜0?x＞－1，
g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
g(－2)＝0，g(x)max＝g(－1)＝e，
当x＞－2，g(x)＞0.
x→－∞，g(x)→－∞，x→＋∞，g(x)→0＋.
要使方程有4个不同的零点，
则?＜a＜，a≠1，故选D．]
10．(2020·新疆一模)已知函数f(x)＝－2kln
x＋kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是________．
[函数定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－＋k＝，
由题意可得，x＝2是f′(x)＝0唯一的根，
故ex＋kx2＝0在(0，＋∞)上没有变号零点，
即－k＝在x>0时没有变号零点，
令g(x)＝，x>0，则g′(x)＝，
当x>2时，g′(x)>0，函数单调递增，当0故当x＝2时，g(x)取得最小值g(2)＝，
故－k≤，即k≥－.]
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