三角函数与解三角形
[回归教材]
1．利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y.
(2)x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x.
(3)叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0)．
2．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1?sin
α＝±.
(2)商的关系：＝tan
α.
3．三角函数的诱导公式
对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．
4．三角函数恒等变换
(1)cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β，
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，
tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝，
sin
2α＝2sin
αcos
α，
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan
2α＝.
(2)辅助角公式
acos
x＋bsin
x
＝，
令sin
θ＝，cos
θ＝，
∴acos
x＋bsin
x＝sin(x＋θ)，
其中θ为辅助角，tan
θ＝.
(3)降幂公式
①sin2α＝；②cos2α＝；
③sin
αcos
α＝sin
2α.
5．三种三角函数的性质
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
零点
{x|x＝kπ，k∈Z}
{x|x＝kπ，k∈Z}
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间
(k∈Z)
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
(k∈Z)
减区间
(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称性
对称轴
x＝＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
【易错提醒】 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
方法一 方法二
7．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C．
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．
8．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
推论：cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos
A，a2＋c2－b2＝2accos
B，a2＋b2－c2＝2abcos
C．
9．面积公式
S△ABC＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C．
[保温训练]
1．已知sin＝，则sin＝( )
A．
B．－
C．
D．－
C [sin＝sin
＝cos＝1－2sin2＝1－＝.
故选C．]
2．(2020·广东实验中学高三月考)已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P在终边上，则cos＝( )
A．
B．－
C．
D．－
B [∵P在终边上，∴sin
α＝＝，cos
α＝－＝－，
∴cos＝cos
αcos＋sin
αsin
＝－×＋×＝－.故选B．]
3．函数y＝cos
2x＋2sin
x的最大值为( )
A．
B．1
C．
D．2
C [y＝cos
2x＋2sin
x＝－2sin2x＋2sin
x＋1.设t＝sin
x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以当t＝时，函数取得最大值.]
4．将函数f(x)＝sin
2x－cos
2x的图象向左平移个单位，得到g(x)的图象，则g(x)满足( )
A．图象关于点对称，在区间上为增函数
B．函数最大值为2，图象关于点对称
C．图象关于直线x＝对称，在上的最小值为1
D．最小正周期为π，g(x)＝1在有两个根
C [将函数f(x)＝sin
2x－cos
2x＝2sin的图象向左平移个单位，
得到g(x)＝2sin的图象，
故g(x)的最大值为2，最小正周期为＝π.
令x＝，求得g(x)＝，故g(x)的图象不关于点对称，故A错误；
令x＝，求得g(x)＝1，故g(x)的图象不关于点对称，故B错误；
令x＝，求得g(x)＝2，为最大值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，
在上，2x＋∈，g(x)的最小值为1，故C正确；
在上，2x＋∈，由g(x)＝1，可得sin＝，
此时，2x＋＝，∴x＝0，故g(x)＝1在上仅有一个实数根，故D错误．故选C．]
5．(2020·金安区校级模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，则b＋c的取值范围为( )
A．(1，)
B．(，2]
C．(1,2)
D．(1,2]
D [∵A＝，a＝1，由正弦定理得：b＝＝sin
B，c＝＝sin
C，
又B＋C＝，∴C＝－B，
∴b＋c＝sin
B＋sin
C＝＝
＝2sin，
∵A＝，
∴B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，∴b＋c∈(1,2]．故选D．]
6．(2020·大同模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos2＋cos
C＝，且△ABC的面积为c2，则C＝( )
A．
B．
C．，
D．，
A [∵2cos2＋cos
C＝，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝，
即cos
Acos
B＋sin
Asin
B－cos
Acos
B＋sin
Asin
B
＝2sin
Asin
B＝，
∴sin
Asin
B＝，①
∵△ABC的面积为c2，
∴bcsin
A＝acsin
B＝c2，
∴sin
A＝，sin
B＝，②
由①②可得＝，
即c2＝ab，
∴absin
C＝c2，
即sin
C＝，
∴C＝或C＝，
当C＝时，由cos(A－B)＋cos＝，可得cos(A－B)＝>1，不合题意，故舍去，
故C＝.故选A．]
7．(2020·攀枝花一模)关于函数f(x)＝cos|x|＋|sin
x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)的最大值为2；
③f(x)在[－π，π]有3个零点；
④f(x)在区间单调递增．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④
D [对于①，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝cos|－x|＋|sin(－x)|＝cos|x|＋|sin
x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，①正确；
对于②，当x∈[0，π]时，cos|x|＝cos
x，|sin
x|＝sin
x，
则f(x)＝cos
x＋sin
x＝sin；
当x∈(π，2π]时，
f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
且f(x)在[0，＋∞)是周期为2π的函数，
又f(x)是定义域R上的偶函数，所以f(x)的最大值为，②错误；
对于③，画出函数f(x)在[－π，π]内的图象，如图所示．
则f(x)在[－π，π]内的零点有2个，③错误；
对于④，由f(x)在[0，π]内的图象知，f(x)在内是单调增函数，④正确．故选D．]
8.(2020·渭南一模)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos
θ＝，已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．
4 [∵cos
θ＝，∴sin
θ＝，
由题意得∠BAC＝45°－θ，
即cos∠BAC＝cos(45°－θ)＝＝，
∵AB＝20，AC＝10，
∴由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，
即BC2＝(20)2＋102－2×20×10×
＝800＋100－560＝340，
即BC＝＝2，
设船速为x，则x＝2，
∴x＝4(海里/小时)．]
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