立体几何
[回归教材]
1．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
棱锥
由若干个三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝S上底＋S下底＋S侧
V＝(S＋＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2
V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球
S＝4πr2
V＝πr3
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)棱长为a的正四面体的内切球的半径为a，外接球的半径为a.
3．空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行：①?a∥b，②?a∥b，
③?a∥b，④?c∥b.
(2)线面平行：
①?a∥α，②?a∥α，③?a∥α.
(3)面面平行：
①?α∥β，②?α∥β，
③?α∥γ.
(4)线线垂直：?a⊥b.
(5)线面垂直：
①?l⊥α，②?a⊥β，
③?a⊥β，④?b⊥α.
(6)面面垂直：?α⊥β，?α⊥β.
4．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin
θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|，则二面角α?l?β的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
[保温训练]
1．已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α
D．若α∥β，a∥α，则a∥β
C [对于A，若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，错误，可能相交；对于B，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a?β，因此错误；对于C，设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α，故正确；对于D，若α∥β，a∥α，则a∥β或a?β.故选C．]
2.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面的边长为3，BD1与底面所成角的大小为θ，且tan
θ＝，则该正四棱柱的外接球表面积为( )
A．26π
B．28π
C．30π
D．32π
A [连接BD，∵正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，
D1D⊥平面ABCD，
∴∠DBD1为BD1与底面所成角，
∴tan∠DBD1＝tan
θ＝，BD＝3，
在Rt△BDD1中，DD1＝BD＝2，∴
BD1
＝
＝
，
正四棱柱的外接球半径为，其表面积为4π×＝26π.故选A．]
3．某圆锥的母线长为2，高为，其三视图如图所示，圆锥表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆锥侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2
B．2
C．
D．2
D [因为圆锥的母线长为2，高为，所以底面半径r＝＝，所以底面周长为2πr＝π，所以侧面展开图所在扇形中心角为＝＝π，由三视图可知∠MON为展开图圆心角的，∠MON＝，所以从M到N的路径中，最短路径的长度为＝2，故选D．]
4.《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，阳马P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是PB，AD的中点，PA＝AB＝2.给出下列结论：①EF∥平面PCD；②平面ACE⊥平面PBC；③异面直线PA与CE所成的角的余弦值为.其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
A [取PC的中点Q，连接DQ，EQ，则EQ＝DF，EQ∥DF，所以DFEQ是平行四边形，则EF∥DQ，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面PCD，所以①正确．在等腰直角三角形PAB中，E为斜边PB中点，则AE⊥PB．
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC．因为AE?平面ACE，所以平面ACE⊥平面PBC，所以②正确．取AB的中点M，连接EM，则EM∥PA，所以∠CEM为异面直线PA与CE所成的角，
易知EM＝1，CM＝，且EM⊥CM，所以CE＝，所以cos∠CEM＝＝，所以③错误．故选A．]
5.如图，在四棱锥P?ACBD中，底面ACBD为正方形，PD⊥平面ACBD，BC＝AC＝a，PA＝PB＝a，PC＝a，则点C到平面PAB的距离为________．
a [根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，
如图所示，易知AB＝a，设点C到平面PAB的距离为h，因为VP?ABC＝VC?PAB，即×S△ABC·PD＝S△PAB·h，所以×a2×a＝××(a)2×h，解得h＝a，所以点C到平面PAB的距离为a.]
6.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成四面体P?DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．
[折成的四面体是正四面体，如图连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK，则GK∥DH.故∠PGK即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.]
7．已知三棱锥S?ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且∠ACB＝90°，SA＝SB＝SC＝AB，当球的表面积为400π时，O到平面ABC的距离是________．
5 [设球半径为R，
因为球的表面积为400π，所以球的半径R＝10.
因为SA＝SB＝SC，所以三棱锥顶点S在底面ABC内的射影D是△ABC的外心．
又因为∠ACB＝90°，
所以D是AB的中点，
所以点O到平面ABC的距离h＝OD．
因为SA＝SB＝AB，所以可得△SAB是等边三角形，
所以点O是△SAB的外心，即三角形的中心．
又因为其外接圆的半径为10，所以OD＝5.]
8．[一题两空]如图所示，半径为R的半圆内(其中∠BAC＝30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为________，体积为________.
πR2 πR3 [如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，又∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2，
∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，
∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)
＝πR3－×AB×π×CO＝πR3－×＝πR3.]
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