统计与概率
[回归教材]
1．抽样方法：简单随机抽样、分层抽样
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为.
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
2．统计中四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：
s＝.
3．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
4．线性回归
(1)线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
(2)相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越高；
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
5．独立性检验
利用随机变量K2(或χ2)＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
6．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝.
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)．
(4)条件概率公式
P(B|A)＝.
【易错提醒】 正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
(5)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(6)独立重复试验的概率计算公式
若ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，
p为成功概率，
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
7．排列数、组合数公式
(1)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N
)，A＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N
)．
(2)组合数公式
C＝＝
＝(m≤n，n，m∈N
)．
(3)组合数的性质，C＝C(m≤n，n，m∈N
)，C＝C＋C(m≤n，n，m∈N
)．
(4)排列数与组合数的联系，A＝CA.
8．二项式定理
(1)二项展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N
)．
(2)二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)．
(3)二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N
)．
(4)二项式系数的性质
①对称性：即C＝C.
②增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，那么其展开式中间一项Teq
\s\do10(＋1)的二项式系数最大．
当n是奇数时，那么其展开式中间两项Teq
\s\do10(＋1)和Teq
\s\do10(＋1)的二项式系数相等且最大．
③C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
④C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【易错提醒】 对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
9．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)期望的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
10．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ－σ7；
②P(μ－2σ5；
③P(μ－3σ3.
[保温训练]
1．唐宋八大家，又称唐宋古文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称．他们先后掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新．在唐宋八大家中随机取两位，则他们来自同一朝代的概率是( )
A．
B．
C．
D．
A [在唐宋八大家中随机取两位，则他们来自同一朝代的概率是P＝＝.故选A．]
2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为( )
A．62,62.5
B．65,62
C．65,63.5
D．65,65
D [由题图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D．]
3．为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：
未发病
发病
合计
未注射疫苗
20
60
80
注射疫苗
80
40
120
合计
100
100
200
附：K2＝
P(K2≥k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
则下列说法正确的是( )
A．至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
B．至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
C．至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
D．“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%
A [根据所给表格数据，K2＝＝>10.828，
所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，故选A．]
4．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝ln
y，其变换后得到一组数据：
x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝－4x＋，则c＝( )
A．－4
B．e－4
C．109
D．e109
D [＝＝17.5，＝＝39，代入＝－4x＋得39＝－4×17.5＋，解得＝109.所以＝－4x＋109.由y＝cekx，得ln
y＝ln＝ln
c＋ln
ekx＝ln
c＋kx，令z＝ln
y，则z＝ln
c＋kx，∴ln
c＝109，则c＝e109.故选D．]
5．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数，求出圆周率的方法．若在单位圆内随机取一点，则此点取至圆内接正十二边形的概率是( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意，设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR2，可得正十二边形的对应的每个小三角形的顶角为，所以每个小三角形的面积为S1＝R2sin＝R2，所以圆内接正十二边形的面积为S′＝12S1＝12×R2＝3R2，由面积比的几何概型可得概率为P＝＝＝，故选A．]
6．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．－80
B．－40
C．40
D．80
C [由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.]
7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为( )
A．
B．
C．
D．
D [由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率P＝2×＝，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，∴P(X＝2)＝C××＝，故选D．]
8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )
A．70种
B．140种
C．840种
D．420种
D [从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有CA种方法，3名同学全是男生或全是女生有(C＋C)A种方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA－(C＋C)A＝420种．]
9．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10
000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )
附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ7，P(μ－2σ5.
A．3
413件
B．4
772件
C．6
826件
D．8
186件
D [由题意知μ＝100，σ＝2，则P(986，所以质量在[98,104]内的产品估计有10
000×0.818
6＝8
186件．故选D．]
10．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>，则p的取值范围是________．
[由已知得，P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝p(1－p),
P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>，或p<，又因为p∈(0,1)，所以p∈.]
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