解析几何
[回归教材]
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2?k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.
【易错提醒】 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
【易错提醒】 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝.
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝.
7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝(0＜e＜1)
e＝＝(e＞1)
e＝1
准线
x＝－
渐近线
y＝±x
8.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，
或|AB|＝|y1－y2|.
9．椭圆中焦点三角形的相关结论
由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．
以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos
θ.
(3)S＝|PF1||PF2|·sin
θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
10．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线的方程为－＝0，即y＝±x.
(2)若渐近线的方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有公共渐近线，其方程可设为－＝λ(λ＞0，焦点在x轴上；λ＜0，焦点在y轴上)．
11．双曲线常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，A，B为实轴两端点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则kPA·kPB＝，S＝，其中θ为∠F1PF2.
(5)P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
12．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
[保温训练]
1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上都有可能
C [由2tx－y－2－2t＝0得：t－＝0，
∴直线2tx－y－2－2t＝0恒过点.
∵1＋4－2－8＝－5<0，
∴在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，
∴直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．故选C．]
2．过点P(3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则＝( )
A．5－
B．5－
C．
D．
D [设A，B，则直线PA的方程为x1x＋y1y＝4，直线PB的方程为x2x＋y2y＝4，
点均在两直线上，故3x1＋4y1＝4,3x2＋4y2＝4，
直线AB的方程为3x＋4y＝4.
点到直线AB的距离d＝，
则＝2＝.故选D．]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )
A．±
B．±1
C．±
D．±
A [设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±.故选A．]
4．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得＝4，且∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
B [F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，且双曲线上的点P满足＝4，
所以解得
因为∠F1PF2＝60°，＝2c，
所以在△F1PF2中，由余弦定理可得
2＝2＋2－2··cos∠F1PF2，代入可得4c2＝a2＋a2－2×××.
化简可得9c2＝13a2，即e2＝＝
.
所以e＝，故选B．]
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
A [如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，
∵F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，
∴＝a，＝＝2a，＝2a，＝2b.
又点M在双曲线上，
∴－＝2a＋2b－2a＝2a，
整理，得b＝a，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A．]
6．已知点P在椭圆τ：＋＝1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设＝，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e＝( )
A．
B．
C．
D．
C [设P(x1，y1)，则A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，D，
设B(x2，y2)，由两式相减，
得＝－
?kPB＝＝－·，
kAD＝kAB?＝，又kPA＝＝，
则由PA⊥PB?kPA·kPB＝－1，可得－4·＝－1
?a2＝4b2＝4(a2－c2)?3a2＝4c2?e＝.]
7．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点的距离为2，则实数a的取值范围是________．
∪ [∵圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，
∴2＋2＝1，其圆心C，半径r＝1.
∵点P到点的距离为2，
∴P点的轨迹为：x2＋(y－1)2＝4.
∵P又在(x－a)2＋(y－a)2＝1上，
∴圆C与圆x2＋2＝4有交点，
即2－1≤≤2＋1.
∴≤a≤0或1≤a≤.
∴实数a的取值范围是∪.]
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．
－1 [如图所示，设左焦点为F1，连接AF1，BF1，由椭圆的对称性及AF⊥BF，可知四边形AF1BF为矩形，∴|OA|＝|OF|＝c.
由直线y＝x得∠AOF＝60°，
∴|AF|＝c，且∠AF1F＝30°，＝c.
由椭圆的定义可得，|AF|＋＝c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.]
9．已知抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.
[由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为y＝x.抛物线的焦点为F1，双曲线的右焦点为F2(2,0)．又y′＝x，故抛物线C1在点M处的切线的斜率为，即x0＝，所以x0＝p，又点F1，F2(2,0)，M三点共线，所以＝，即p＝.]
10．已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是________．
(－3，－2) [函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，即方程x3＋(a－1)x2＋3x＋b＝0有三个不等实根．
由题意得1是方程的根，故1＋(a－1)＋3＋b＝0?b＝－a－3?x3＋(a－1)x2＋3x＋b＝x3＋(a－1)x2＋3x－a－3＝(x－1)[x2＋a(x＋1)＋3]＝0.
因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，故方程g(x)＝x2＋a(x＋1)＋3＝0有两个根，且一个根在(0,1)上，另一根在(1，＋∞)上，
由图得，
g(0)＞0且g(1)＜0?a＞－3且a＜－2，
故满足要求的实数a的取值范围是(－3，－2)．]
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