三角函数与解三角形
阅卷案例
思维导图
(2019·全国卷Ⅲ，T18，12分)△ABC的内角分别为a，b，c，已知asin＝bsin
A．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．本题考查：三角恒等变换、面积公式等知识，等价转化、化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.
答题模板
标准解答
踩点得分
第1步：变式．利用正弦定理变形，化边为角，结合等式的性质约分．第2步：变角．利用三角形内角和为180°、诱导公式、倍角公式将角A、角C统一成角B．第3步：计算．利用三角函数值求出角B的值．第4步：变式．利用面积公式得出面积，用正弦定理、和角公式、三角形内角和为180°，整理得出边a与角C的关系第6步：下结论．求出面积的取值范围，并下结论.
第(1)问得分点及说明：1．正弦定理边角转化正确，并说明sin
A≠0，得2分．2．诱导公式应用、倍角公式拆开正确得2分．3．计算sin
正确，B的角度正确得2分．第(2)问得分点及说明：1．面积表示正确得1分．2．边a与角C的关系式正确得1分．3．由锐角三角形得出角A、角C的范围，由A＋C＝120°得出C的准确范围，进而求出a的范围得3分．4．求出面积范围，并下结论得1分.
命题点1 与三角形有关的边长、角度、面积问题
等价转化思想在解三角形中的应用
(1)利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化．①当出现边角混合时，常利用正弦定理；②当出现三边的平方时，常利用余弦定理．
(2)若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C”；若想“角”往“边”化，常利用sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，cos
C＝等．
[高考题型全通关]
1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acos
A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝S，其中S为△ABC的面积．
(1)求sin
C；
(2)若a－b＝－，求△ABC的周长．
[解]
(1)由正弦定理得
acos
A＝，
∴sin
2A＝1，又0＜2A＜2π，
∴2A＝，则A＝.
又a2＋c2－b2＝·acsin
B，
由余弦定理可得2accos
B＝acsin
B，
∴tan
B＝.
又0＜B＜π，∴B＝，
∴sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
＝.
(2)由正弦定理得＝＝，
又a－b＝－，∴
又sin
C＝，
∴c＝·＝，
∴a＋b＋c＝＋＋.
[点评] 本题求解的关键有两点：一是acos
A＝R＝；二是面积公式S＝acsin
B的代入．
2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin
2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最大值；
(2)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且2sin
B＝3sin
C，求边长b和c的值．
[解] (1)由题意知，函数f(x)＝2cos2x－sin
2x
＝1＋cos
2x－sin
2x＝1＋2cos，
因为y＝cos
x在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，所以令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，
得kπ－≤x≤kπ＋.所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最大值3.
(2)因为f(A)＝1＋2cos＝－1，
所以cos＝－1，
又因为＜2A＋＜，
所以2A＋＝π，即A＝，
因为a＝，由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－3bc＝7，
因为2sin
B＝3sin
C，由正弦定理，
得2b＝3c，所以b＝3，c＝2.
[点评] 在余弦定理中，要强化变形应用：如
①b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a＋c)2－2ac－2accos
B；
②a2＋c2－b2＝2accos
B；
③cos
B＝.
[教师备选]
(2020·江门模拟)在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a>c，△ABC的面积为2，sin
(A－B)＋sin
C＝sin
A，b＝3.
(1)求sin
B的值；
(2)求边a，c的值．
[解] (1)由sin(A－B)＋sin
C＝sin
A，C＝π－(A＋B)，
得sin
AcosB－cos
Asin
B＋sin
(A＋B)＝sin
A，
即2sin
Acos
B＝sin
A，
∵0
A≠0，∴cos
B＝.
∵0B＝.
(2)由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac，
得a2＋c2－ac＝9，①
又∵S△ABC＝acsin
B＝2，∴ac＝6，②
由①②解得或
∵a>c，∴a＝3，c＝2.
命题点2 解三角形的实际应用
利用正、余弦定理求解实际问题的策略
利用正、余弦定理求解实际应用问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．破解此类题的关键如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，抽象出一个或几个三角形．
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在相关的三角形中，建立三角形模型．
③求解作答：选择正、余弦定理求解，并检验解的合理性，然后作答．
④避免误差：解三角形时，应尽可能用原始数据，少用间接求出的量．
[高考题型全通关]
1．(2020·长沙模拟)高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水．如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3,1,2.
(1)求出线段AE的长度；
(2)求出隧道CD的长度．
切入点：(1)结合图形及角的关系得出∠F、∠FAE，△AEF可解．
(2)利用CD＝BE－BC－DE求解．
[解] (1)由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得：＝，
即＝，解得AE＝2(＋1)．
(2)由已知可得∠BAE＝180°－30°－60°＝90°，
在Rt△ABE中，BE＝2AE＝4(＋1)，
所以隧道长度CD＝BE－BC－DE＝4.
2.如图，为了测量A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2
km，CE＝
km，求A，B两点间的距离．
[解] 在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，又DC＝2
km，则AC＝DC＝2
km.
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理可得＝，又CE＝
km，所以BC＝＝＝
km，
在△ABC中，AC＝2
km，BC＝
km，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝9，则AB＝3
km.
命题点3 正、余弦定理的综合应用
角度一 以平面几何为载体的解三角形问题
解决以平面几何为载体的解三角形问题应注意的4个方面
一是充分利用平面几何图形的性质；
二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；
三是四边形问题要转化到三角形中去求解；
四是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围．
[高考题型全通关]
1.如图，在平面四边形
ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－.
(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；
(2)若∠CBD＝45°，求CD的长．
[解] (1)若对角线AC平分∠BCD，
即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD，
∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－，
∵cos∠ACB＞0，∴cos∠ACB＝.
∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，
cos∠ACB＝，
∴由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得，
AC2－AC－3＝0，
解得AC＝，或AC＝－(舍去)，
∴AC的长为.
(2)∵cos∠BCD＝－，
∴sin∠BCD＝＝，
又∵∠CBD＝45°，
∴sin∠CDB＝sin(180°－∠BCD－45°)
＝sin(∠BCD＋45°)
＝(sin∠BCD＋cos∠BCD)＝，
∴在△BCD中，
由正弦定理＝，
可得CD＝＝5，
即CD的长为5.
2．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
[解] (1)如图所示，D为BC的中点，所以BD＝CD．
又S△ABC＝S△CDF，即AB×AC＝CD×DF＝BC×AC，
从而BC＝2AB，
又∠A＝90°，
从而∠ACB＝30°，
所以∠ABC＝90°－30°＝60°.
(2)由∠ABC＝45°，从而AB＝AC，
设AB＝AC＝k，则BC＝k.
又BD＝3CD，所以BD＝BC＝k，CD＝k.
因为DF＝AC＝k，
从而BF＝＝k，CF＝＝k.
法一：由余弦定理，得
cos∠CFB＝
＝＝.
法二：所以cos∠DFB＝＝，
从而sin∠DFB＝＝，cos∠DFC＝＝，
从而sin
∠DFC＝＝.
所以cos∠CFB＝cos＝.
[点评] 求解本题(1)的关键是由S△CDF＝S△ABC求得BC＝2AB；
求解本题(2)的关键是借助勾股定理及条件BD＝3CD，推出DF及BF的长度(或比值关系)．另本题(1)(2)问没有直接联系，在解题上可采用跳步解答，直接求解第(2)问．
角度二 最值(范围)问题
三角形面积的最值问题的两种解决方法
一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；
二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值．
[高考题型全通关]
1．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2bcos
C＝2a－3c.
(1)求tan的值：
(2)若＋＝2，且||＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)△ABC中，2bcos
C＝2a－3c，
由正弦定理得，2sin
Bcos
C＝2sin
A－3sin
C，
即2sin
Bcos
C＝2sin(B＋C)－3sin
C，
所以0＝2cos
Bsin
C－3sin
C．
又C∈(0，π)，所以sin
C≠0，
所以cos
B＝.
又B∈(0，π)，所以B＝，
所以tan＝＝
＝＝＝＝2－.
(2)由＋＝2，所以M为AB中点，如图所示．
在△BMC中，由余弦定理得
CM2＝BM2＋BC2－2BM·BC·cos
B，
所以24＝BM2＋BC2－BM·BC，
即24≥2BM·BC－BM·BC，
所以BM·BC≤＝24(2＋)，
当且仅当BM＝BC时等号成立．
所以S△ABC＝2S△BCM＝2×BC·BM·sin
B
≤24(2＋)×＝24＋12，
所以△ABC面积的最大值为24＋12.
[点评] 解答本题的关键是由＋＝2得出M为AB的中点，进而得出S△ABC＝2S△MBC．在求S△ABC最值时，不等式起了关键作用．
2．(2020·武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
2A－cos
2B＝2sin
sin
.
(1)求角B的值；
(2)若b＝≤a，求a－c的取值范围．
[解] (1)∵cos
2A－cos
2B＝2sinsin＝2
＝2
＝×－×＝＋cos
2A，
∴cos
2B＝－，可得2cos2
B－1＝－，
∴cos2B＝，即cos
B＝±，
∵B∈(0，π)，∴B＝或.
(2)∵b＝≤a，
∴由(1)可得B＝，由正弦定理＝＝＝＝2，可得a＝2sin
A，c＝2sin
C，
∴a－c＝2sin
A－sin
C＝2sin
A－sin
＝2sin
A－sin
cos
A＋cossin
A
＝sin
A－cos
A＝sin.
∵b≤a，
∴≤A<，≤A－<，
∴a－c∈.
[点评] 本题(2)求解的关键是借助正弦定理实现边与角的互化，即a－c＝2sin
A－sin
C，鉴于A＋C＝，从而C＝－A，从而优化边的最值问题为三角函数f(A)＝sin的范围问题，可借助三角函数的性质求解，但需注意b≤a所隐含的角A范围：≤A＜.
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